专题09 排列组合与二项式定理（17大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦排列组合与二项式定理，以17类题型构建从基础计算到综合应用的训练体系，突出重点题型与逻辑递进，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合|9类（3-9题/类）|含相邻/不相邻/特殊元素等重点题型，结合实际场景问题|从排列数组合数计算到具体方法（隔板法/定序倍缩等），构建“概念-方法-应用”逻辑链| |二项式定理|8类（4-9题/类）|涵盖指定项系数、系数和、整除问题等常考点，结合杨辉三角性质|从二项式系数到展开式系数，递进至综合应用，体现“基础-性质-拓展”推导过程|

专题09 排列组合与二项式定理 题型1 排列数与组合数的计算 题型10 指定项的二项式系数 题型2 全排列问题 题型11 二项式系数和 题型3 相邻问题（重点） 题型12 二项式系数的增减性和最值 题型4 不相邻问题（重点） 题型13 求指定项系数（重点） 题型5 特殊元素（重点） 题型14 奇次项与偶次项的系数和（常考点） 题型6 隔板法 题型15 三项展开式（常考点） 题型7 定序倍缩（重点） 题型16 整除和余数问题 题型8 分组分配问题（重点） 题型17 杨辉三角 题型9 涂色问题 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 排列数与组合数的计算（共6小题） 1．（24-25高二下·广东肇庆·期末）若，则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据排列数和组合数的计算公式，列出方程，求出结果即可. 【详解】由题意得，，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·吉林长春·期末）计算（   ） A．6 B．35 C．41 D．45 【答案】C 【分析】根据组合数及排列数计算求解. 【详解】，，， 故选：C． 3．（24-25高二下·广东江门·期末）计算的值是（ ） A．41 B．61 C．62 D．82 【答案】B 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 4．（24-25高二下·广西百色·期末）若，则（   ） A．5 B．6或5 C．7 D．7或8 【答案】B 【分析】根据组合数的性质即可求解. 【详解】∵， ∴由组合数的性质可得或，则或5. 故选：B. 多选题 5．（24-25高二下·河北承德·期末）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】AB选项，利用排列和组合的性质得到BC正确；C选项，可举出反例；D选项，利用组合数公式得到. 【详解】A选项，由组合数性质得，A正确； B选项，由组合数计算公式得，B正确； C选项，不妨设，则， 显然，C错误； D选项，，D正确. 故选：ABD 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据二项式展开式计算结合组合数运算判断各个选项. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； 因为， 所以，D选项正确； 故选：BD. 题型二 全排列问题（共2小题） 7．（24-25高二下·四川南充·期末）用1，3，5，7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是（   ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据全排列规则，计算结果即可. 【详解】可知4个数字组成没有重复数字的四位数的个数是， 故选：B. 8．（24-25高二下·新疆巴州·期末）用2，3，4，5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数； (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 【答案】(1)24 (2)6 (3)12 【分析】（1）根据给定条件，利用全排列列式计算. （2）（3）根据给定条件，利用特殊位置法列式计算. 【详解】（1）能组成的四位数的个数为. （2）能组成可以被5整除的四位数，其个位数字为5，所求个数为. （3）能组成为偶数的四位数，其个位数字为2，4之一，所求个数为. 题型三 相邻问题（共5小题） 9．（24-25高二下·广东韶关·期末）某种产品的加工需要经过道工序，如果其中的、两道工序必须相邻，则加工顺序共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】将、两道工序捆绑，形成一个大元素，与其他三个元素进行排序， 因此，不同的加工顺序种数为种. 故选：D. 10．（24-25高二下·重庆长寿·期末）甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻，则不同的安排方法有（ ） A．24 种 B．16 种 C．12 种 D．4 种 【答案】D 【分析】根据相邻捆绑，不相邻插空和分步乘法计数原理即可分析计算求解. 【详解】甲、乙必须相邻，先将甲、乙两人捆绑作为一人有种排列方法， 丙、丁共有排列有种方法， 所以总的不同的安排方法有种. 故选：D. 11．（24-25高二下·广西百色·期末）校运动会中，某班级选出跑步较好的4人参加米接力赛，其中甲、乙两人跑相邻棒的排法有_____种. 【答案】12 【分析】利用捆绑法进行求解，得到答案. 【详解】先对甲乙两个人进行全排列，有种， 此时将甲、乙两人捆绑在一起再跟其他两人进行排列，有种， 根据分步乘法计数原理，共有种排法. 故答案为：12 12．（24-25高二下·天津滨海新区·期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（   ） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【详解】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 13．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 题型四 不相邻问题（共3小题） 14．（24-25高二下·四川资阳·期末）某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有（   ） A．240种 B．360种 C．480种 D．512种 【答案】C 【分析】根据插空法计算即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 15．（24-25高二下·山东临沂·期末）已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. 【详解】（i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 16．（24-25高二下·河南信阳·期末）某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 【答案】2016 【分析】应用分类计数及排列组合数求同年级的同学不相邻的站法数. 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 题型五 特殊元素（共9小题） 17．（24-25高二下·天津和平·期末）有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一､星期二两天，这两天每天从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（    ） A．100 B．120 C．200 D．210 【答案】D 【分析】分两步完成，第一步确定哪一个人连续参加两天服务，第二步则确定另外安排的一人，即可求解. 【详解】先从7人中任选1人参加两天的服务，再从余下的6人中选2人参加两天的服务（每人各1天）， 所以两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为. 故选：D. 18．（24-25高二下·四川眉山·期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为（  ） A．9 B．18 C．21 D．24 【答案】A 【分析】因为拔河排在最后一场，先排第一场，再排剩余三场，再根据对称性即可得结果. 【详解】因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场， 先排第一场，有种，再排剩余三场，有种， 共有种， 又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为. 故选：A. 19．（24-25高三下·山西大同·期末）在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区．则不同的安排方法共有（   ） A．24种 B．36种 C．6种 D．12种 【答案】A 【分析】分类讨论A小区安排的人数，应用分步分类及排列组合数求不同的安排方法数即可. 【详解】①A小区安排一人，有种， ②A小区安排两人，有种， 所以共24种． 故选：A 20．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五天值班，则值班安排共有（   ） A．1740种 B．1760种 C．1800种 D．1860种 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若A、B不值班，值班安排有种； 若A、B只有一人不值班，值班安排有种； 若A、B都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有1860种. 故选：D. 21．（24-25高二下·江西·期末）小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的乘坐方式一共有（    ） A．18种 B．27种 C．36种 D．54种 【答案】C 【分析】应用分步计数及排列数求不同的乘坐方式数. 【详解】爸爸和妈妈选一人在驾驶座有2种，小华在后排3个座位选一个座位有3种，余下人作全排种. 所以不同乘坐方式有种. 故选：C. 22．（24-25高二下·福建厦门·期末）从名同学中选择人分别去三地调研，每个地方安排一人，其中要求地不安排甲同学，则安排方案共有______种．（用数字作答） 【答案】18 【分析】分为甲同学不被选中和甲同学被选中两种情形分析即可. 【详解】若甲同学不被选中，则共有种； 若甲同学被选中，则共有种； 所以安排方案共有18种． 故答案为：18. 23．（24-25高二下·广西河池·期末）某班级一天排六节课，上午四节，下午两节．有3节不同的文化课、2节不同的艺术课和1节体育课，要求排出一个课表．上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有________种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有________种排法． 【答案】 48 564 【分析】若上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，先安排艺术课，再安排其他课程即可；若上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，分类讨论上午第一节是否为艺术课，结合间接法运算求解. 【详解】若上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课， 则有种排法； 若上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，则有： 1.若上午第一节为艺术课，则有种排法； 2.若上午第一节不为艺术课，则有种排法； 综上所述：共有种排法； 故答案为：48；564. 24．（24-25高二下·四川雅安·期末）某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有______种不同的排法.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据题意，分为体育课排在最后一节和体育课不排在第一节和最后一节，两种情况，分别求得相应的排法数，结合分类计算原理，即可求解. 【详解】根据题意，可分为两类： （1）若体育课排在最后一节，则有种不同的排法； （2）若体育课不排在第一节和最后一节，则有种不同的排法， 由分类计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 25．（24-25高二下·上海·期末）某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3，2，2个节目，若高一的节目彼此都不相邻，则共计有__________种不同的出场顺序. 【答案】1440 【分析】不相邻问题运用插空法求解即可，即先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的4个，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先将高二的2个节目和高三2个节目全排列，共有种方法； 再把高一的3个节目插入高二和高三节目所成的5个空中的3个，共有种方法， 根据分步乘法计数原理可知共有种不同的出场顺序. 故答案为：. 题型六 隔板法（共6小题） 26．（25-26高二下·安徽合肥·期中）现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则名额分配的方法共有（   ） A．56种 B．112种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同元素分组问题，利用隔板法求解即可. 【详解】现有11个优秀团员的名额要分配给8个班级，要求每班至少一个名额， 利用隔板法，把11个元素排成一列形成10个空，再在10个位置放置7个隔板， 则共有种方案， 27．（25-26高二下·河北保定·期中）将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（    ） A．70 B．56 C．35 D．20 【答案】C 【详解】由8棵相同的小多肉，种进4个不同的花盆，每个花盆至少1棵， 相当于把8个相同的元素分成4组，每组至少1个， 需要在8个元素之间的7个空隙中插入3个隔板， 即，所以总的种法数为. 28．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）将9个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子都不空的方法数为________. 【答案】56 【详解】先把9个相同的小球排成一行，然后在9个小球之间的8个空隙中任选3个空隙各插入一块隔板， 每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，故每个盒子都不空的方法数共有种. 29．（25-26高二下·山东青岛·期中）我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223，则所有的“安康数”共有（    ） A．15个 B．27个 C．28个 D．36个 【答案】C 【分析】用隔板法即可求解 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把7个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先把第1个隔板放入从左到右依次插入这一排球所形成的8个空的后7个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空，共有 个安康数. 法二：等价于从左到右三份分别对应 且 ， 若 ，则 ，即求出方程非负整数解的个数，由隔板法有 个安康数.∴选C 30．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中，共有多少项（ ） A．45 B．55 C．120 D．165 【答案】B 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项含有1个字母时，有项， 当展开式的项含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， 所以的展开式共有项. 31．（2026·河南·模拟预测）将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（   ） A． B． C．28 D．84 【答案】C 【分析】本题可采用隔板法求解，通过“借元”将原问题转化为每个盒子非空的情形进行计算. 【详解】将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在9个相同的小球中间所形成的8个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为（种）. 题型七 定序倍缩（共6小题） 32．（24-25高二下·江西·月考）在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为（    ） A．468 B．540 C．720 D．1260 【答案】D 【分析】由排列数的概念可得结果. 【详解】要使排列符合题意，甲在4名男同学的排列中位于最右边，则排列的方法数为1260. 故选：D. 33．（25-26高二下·湖北武汉·期中）小明桌子上有本不同的数学书，本相同的物理书，现将这本书依次全部取走，则不同的取书顺序有（   ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】步骤：先假设所有书都不同， 如果本书全不同，那么取书顺序的总数是， 步骤：考虑相同书的重复情况， 因为有本相同的物理书，这本书的顺序交换不会产生新的取法，所以需要除以这本书的排列数， 所以，不同的取书顺序有． 34．（25-26高二下·上海浦东新·期中）6个人站成一排，若甲在乙左边，则有__________种排法.（结果用数值表示） 【答案】360 【详解】6个人站成一排，共有种站法，其中甲在乙左边共有种排法. 35．（24-25高二下·广东揭阳·月考）某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．28种 【答案】A 【分析】将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列，定序问题用倍缩法可得结果. 【详解】因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菇、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列. 因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅， 所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有种. 故选：A. 36．（24-25高二下·四川广元·期末）2025年4月23日是第三十个世界读书日．将2，0，2，5，4，2，3这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有（   ）个． A．480 B．600 C．720 D．840 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用倍缩法，排除首位为0的情况即可. 【详解】数字：2，0，2，5，4，2，3中数字2出现了3次，则7个数字的所有排列情况有种， 当首位为0时，剩下6个数字：2，2，5，4，2，3出现了3次，排列的情况有种， 所以不同的7位数有个. 故选：C. 37．（2026·山东滨州·一模）春节期间，某人计划去六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，要求在之前，与相邻，则不同的游览顺序有（    ） A．24 B．60 C．120 D．240 【答案】C 【分析】先利用捆绑法求出种类数，再利用倍缩法求出. 【详解】将捆绑看作一个整体，内部有种排列方式； 再将5个元素全排列有：， 故满足与相邻的排列共有种. 在所有排列中，在之前和在之后的排列数相等，各占总排列数的一半， 因此在之前，与相邻，不同的游览顺序有种. 题型八 分组分配问题（共6小题） 38．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（   ） A．180 B．240 C．288 D．360 【答案】B 【分析】5位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解. 【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1， 故不同的总方案数为. 故选：B 39．（24-25高二下·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 40．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（   ）种 A．150 B．180 C．360 D．540 【答案】A 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 41．（24-25高二下·安徽宿州·期末）现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（   ） A．150 B．100 C．25 D．50 【答案】D 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①将5本不同的书籍分为3组，每组至少1本， 若分为1、1、3的三组，有种分组方法， 若分为1，2，2的三组，有种分组方法， 共有种分组方法， ②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况， 则有种分发方式. 故选：D. 42．（24-25高二下·福建泉州·期末）为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校安排A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（   ） A．20 B．24 C．32 D．36 【答案】B 【分析】由题意可知将4人分为1，1，2三组共计种分法，分好的组去三个社区，总共种分法；假设A必须去甲社区，则有两种分法:①三人去乙、丙两个社区或②三人去甲、乙、丙社区；所以总的安排方式为：. 【详解】A，B，C，D 4名学生去甲、乙、丙三个社区，每个社区至少有1名学生 可将4人分为1，1，2三组，共有种分法. 总分法为 令学生A必须去甲社区，则有两种分法:三人去乙、丙两个社区或三人去甲、乙、丙社区,则共有： 学生A不能去甲社区的不同安排方式为： 故选:B. 43．（24-25高二下·四川德阳·期末）根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 【答案】A 【详解】若每个地区至少派送2名支教老师，则不同的分组方案为2人、4人或3人、3人： 若是2人、4人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则共有种方法； 若是3人、3人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则有种方法； 综上，共有 种方法. 题型九 涂色问题（共7小题） 44．（25-26高二下·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 45．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 46．（25-26高二下·重庆·阶段检测）如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是（   ） A．24 B．72 C．20 D．48 【答案】B 【分析】按照的序号分步选择颜色，在4号区域选颜色时根据它与2号区域是否同色分类. 【详解】由题意第一步1号区域有4种方法，第二步2号区域有3种方法，第三步3号区域有2种方法，第四步4号区域有2种方法：与2号相同颜色的一种，则第五步有2种方法，与2号不同颜色的一种，则第五步有1种方法， 所以方法数为. 47．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可. 【详解】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 48．（25-26高二下·山东聊城·期中）如图，某花坛中有5个区域，每个区域只种植一种颜色的花．要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为（    ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】C 【分析】分重复颜色为红色或黄色，或者是蓝色或白色，两类情况讨论求解即可. 【详解】情况1：重复颜色为红色或黄色 重复颜色选红色/黄色，共种选择； 重复位置选或，共2种选择；剩余3个区域排列剩下3种不同颜色，共种排列； 这种情况下红、黄必然相邻（若重复颜色是红，黄仅出现一次，无论黄在哪个位置，都会和相邻区域的红相邻；同理重复颜色是黄也满足）， 总方案数：； 情况2：重复颜色为蓝或白色（非红非黄） 重复颜色选蓝/白色，共种选择，重复位置共2种， 剩余3个区域排列红、黄和剩余非重复颜色，共种排列，总排列数：， 其中红、黄不相邻的情况仅为：红、黄分别在另一组对角（不相邻），共：（重复色）（重复位置）（红、黄交换顺序）种； 因此该情况满足红、黄相邻的方案数：， 总方案数为，因此不同种植方案种数为. 49．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 50．（25-26高二下·河北保定·期中）某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．36 B．60 C．66 D．78 【答案】C 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】若颜色全相同，选颜色共种选法； 涂：每个区域不能是的颜色， 因此每个区域各有种选择，共种.共有种方法. 若用两种不同颜色，选2种颜色种；再分配给三个区域种， 因此共种涂法. 涂，仅夹在两个同色区域之间的那个区域有种选择， 其余两个夹在异色区域之间的区域各只有种选择，共种. 因此共有种方法. 若颜色全不同，用3种颜色，共种涂法； 涂，每个区域夹在两个异色区域之间，仅剩余1种颜色可选，共种. 共有种方法. 将三类相加，总涂色方法为种. 题型十 指定项的二项式系数（共4小题） 51．（24-25高二下·江苏镇江·阶段检测）的展开式的第二项的二项式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式系数为. 故选：B. 52．（24-25高二下·重庆·期中）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 【答案】D 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可. 【详解】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 53．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 54．（24-25高二下·江苏南京·月考）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 题型十一 二项式系数和（共5小题） 55．（24-25高二下·河南南阳·期末）若的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（   ） A． B． C．15 D．60 【答案】D 【分析】首先根据二项式系数和求，再代入通项公式求常数项. 【详解】由条件可知，则， 通项公式，， 令，得，所以常数项为. 故选：D 56．（24-25高二下·云南红河·期末）已知的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数项为（    ） A． B． C．60 D．30 【答案】C 【分析】由展开式的各二项式系数的和为，可得，解出，再利用二项式展开式的通项公式展开化简，即可得常数项. 【详解】因为的展开式的各二项式系数的和为，所以，即. 展开式的通项为. 令，解得，所以. 故选：C. 57．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 58．（24-25高二下·福建厦门·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系数为（    ） A． B．48 C． D．80 【答案】D 【分析】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求解的系数即可. 【详解】二项式系数和为，解得， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D． 59．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式的二项式系数和为（    ） A．1 B．5 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用二项式系数性质求解. 【详解】二项式系数和为， 故选：D. 题型十二 二项式系数的增减性和最值（共6小题） 60．（24-25高二下·陕西榆林·阶段检测）在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（   ） A． B． C．1 D．1024 【答案】C 【分析】由二项式系数的性质及系数最大项可得，再应用赋值法求各项系数之和. 【详解】由的展开式中，只有第6项的二项式系数为最大，所以， 在中，令，得，所以各项系数之和为1． 故选：C 61．（24-25高二下·福建福州·期末）已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则为（   ） A．15 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】展开式共有9项，所以. 【详解】的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，故第5项为中间项， 展开式共有9项，所以. 故选：D 62．（24-25高二下·四川广安·期末）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 【答案】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，结合题干条件可得出关于参数的方程组，解出的值，结合二项式系数的性质可得结果. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 ． 由已知可得，解得， 根据二项式定理的性质可知，该展开式共有7项，则二项式系数最大的是第项． 63．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 【答案】D 【分析】对于A，赋值即可判断；对于BC，由二项式定理即可验算；对于D，由二项式系数的增减性即可判断. 【详解】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A错误； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B错误； 对于C中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以C错误； 对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以D正确. 故选：D. 多选题 64．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是（   ） A． B．所有项系数的和为1 C．二项式系数最大的项为第6项 D．有理项共有3项 【答案】BD 【分析】对于A，由得即可判断；对于B，令即可验算；对于C，由二项式系数的增减性即可判断；对于D，由二项式展开式即可判断. 【详解】对于A，由题意，所以，故A错误； 对于B，在中令，可得，即所有项系数的和为1，故B正确； 对于C，二项式系数最大的项为第7项，即为，故C错误； 对于D，的展开式通项为， 所以第项为有理项，当且仅当，故有理项共有3项，故D正确. 故选：BD. 65．（24-25高二下·内蒙古·期末）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 【答案】ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 题型十三 求指定项系数（共7小题） 66．（24-25高二下·天津西青·期末）的展开式中的系数是（    ） A．0 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】利用二项式展开式通项公式即可求解. 【详解】由的展开式中的项是：， 所以的展开式中的系数是， 故选：B. 67．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 68．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）的展开式中的系数为（   ） A．180 B． C．960 D． 【答案】A 【分析】写出通项公式，令，得，求出的系数. 【详解】的展开式的通项， 令，得，所以的系数为. 故选：A 69．（24-25高二下·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 【答案】B 【分析】化简式子，然后分别按照二项式定理的性质计算即可. 【详解】，展开式中的系数为， 常数项为2，故的系数与常数项之差为． 故选：B． 70．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）的展开式中的系数为21，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据通项的特征即可结合组合数的公式求解. 【详解】由于， 故的系数为，故，解得． 故选：D. 71．（24-25高二下·吉林长春·期末）为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式求出取最小值时的值，得出；再利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】由可得：. 因为为正实数， 所以由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当取最小值时，， 所以的展开式的通项公式为， 令，得，所以， 所以当取最小值时，的展开式中项的系数为. 故选：A. 72．（24-25高二下·广东湛江·期末）在的展开式中，的系数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出通项公式，然后代值计算即可. 【详解】由题意可得，的通项 ， ， 令，得， 所以的系数为， 故选：A. 题型十四 奇次项与偶次项的系数和（共9小题） 多选题 73．（24-25高二下·河北邢台·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】变形给定的等式，再利用赋值法逐项分析计算. 【详解】原等式化为： 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，得，则，B正确； 对于C，取，得，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 74．（24-25高二下·广东深圳·期末）若，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二项式通项公式判断A，利用赋值法来判断BC，利用求导法，结合赋值来判断D. 【详解】由，所以，故A正确； 令得：， 令得：， 所以，故B错误； 再令得：， 与相加得：，故C正确； 由，两边同乘可得; , 两边求导得：， 再令得：，故D正确； 故选：ACD. 75．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由赋值法求系数和及奇偶项系数可判断ACD，对于B，根据，接着求的系数即可. 【详解】当时，，故A错误； ，则的系数为 ，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，， 又，所以， 则，故D正确； 故选：BCD. 76．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 77．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 78．（24-25高二下·青海西宁·期末）已知，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A，直接令进行求解即可；对于B，可以将二项式转化为，然后再根据二项式定理的通式进行求解即可；对于C，先令求出，再令求出的值，由即可求出的值；对于D，首先分别令与后得到两个方程，然后通过联立方程进行求解即可. 【详解】对于A，令，得：，故A正确； 对于B，由 由二项式定理可得：，故B正确； 对于C，令，得：， 再令，得：， 由此可得：，故C错误； 对于D，令，得：， 再令，得：， 由此可得：，故D正确. 故选：ABD 79．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法判断ABC；对两边同时求导，再令，判断D. 【详解】令得，所以A错误； 令得，所以B正确； 令得， 显然都是正数，都是负数， 所以，所以C正确； 对两边同时求导， 得， 取得-2025，所以D正确. 故选：BCD. 80．（24-25高二下·广东中山·期末）设，则下列结论正确的是（    ） A．常数项为2 B．第4项系数为 C．奇数次系数和为32 D．当时，该式的值为2916 【答案】CD 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合赋值法，依次判断各个选项即可. 【详解】的展开式的通项为， 对于A：常数项为，故A错误； 对于B：第4项系数即的系数，， 故的系数，故B错误； 对于C：令，得； 令，得， 将两式相减，得，故，故C正确； 对于D：令，得，故D正确. 故选：CD. 81．（24-25高二下·四川德阳·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A、B、C选项赋予x值进行求解，D选项运用二项式求解. 【详解】对于A选项，令，则原式等于，即，故A选项错误； 对于B选项，令，则原式等于，又因为， 故，故B选项正确； 对于C选项，令，则原式等于， 即，由B选项得，故C选项错误； 对于D选项，， 则，， 故，则D选项正确. 题型十五 三项展开式（共6小题） 82．（24-25高二下·全国·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘，结合二项式定理求解即可. 【详解】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 83．（24-25高二下·江苏南京·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．90 B．60 C．30 D．20 【答案】A 【分析】根据这一项的生成过程，即可求解. 【详解】要生成这一项，相当于从5个含有的括号中，2个取出，1个取出，2个取出， 即，所以的系数为. 故选：A 84．（24-25高二下·陕西西安·期末）的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【分析】根据二项式展开的通项公式来求解展开式中项的系数. 【详解】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得 所以展开式中项的系数为 故选：D 85．（24-25高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】先将三项式变为两项式，再利用展开式的通项可得. 【详解】， 通项为， 令，所以常数项为. 故选：C. 86．（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A 87．（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 题型十六 整除和余数问题（共4小题） 88．（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【详解】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 89．（24-25高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 90．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 91．（24-25高二上·辽宁锦州·期末）若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知能被整除，可得出，结合二项式定理可知能被整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被整除又能被整除，故能被整除， 因为 ， 且能被整除，故能被整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 题型十七 杨辉三角（共7小题） 多选题 92．（24-25高二下·河南信阳·期末）我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据杨辉三角的性质可得，，进而判断各选项即可. 【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误； 当时， ，选项C正确； 当时， ，选项D正确． 故选：ACD． 93．（24-25高二下·重庆·期末）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示.下列关于“杨辉三角”的说法中正确的是（   ） A． B． C． D．第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为 【答案】AD 【分析】根据杨辉三角的性质以及组合数的相关知识，对选项进行分析. 【详解】根据组合数性质，A正确； ，故B错误； 根据A的等式，，故C错误； 第10行中从左往右第5个数与第6个数分别为和，比值为，故D正确， 故选：AD. 94．（24-25高二下·广东广州·期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2022行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项A正确； 选项B：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此，令，则，即，故选项D正确. 故选：ACD. 95．（24-25高二下·湖北·阶段检测）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（   ）    A．第20行中最大的数是第11个数 B．第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 C．记第20行的第个数为，则 D．第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】根据组合数公式及性质计算判断A，B，对于C，，代入利用二项式定理即可判断；对于D，，利用公式即可判断. 【详解】对选项A：第20行中最大的数是第11个数，正确； 对选项B：第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为，正确； 对选项C：记第行的第个数为，则， 则， 则，故C错误； 对选项D： ，则数列的前项和为，故D正确； 故选：ABD 96．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段检测）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（   ）    A． B．第2024行的第1014个数最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为 【答案】AD 【分析】利用组合数运算公式判断A；，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大，如果是偶数，则第个数字最大，即可判断B；根据规律确定数字，即可判断C；第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，即可判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，故A正确； 对于B：由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第行的第个数最大，故B错误； 对于C：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36； 第9行第7个数字是84，故C错误； 对于D：依题意：第34行第14个数字是， 第34行第15个数字是，所以， 即第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为，故D正确. 故选：AD. 97．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 98．（24-25高二下·河南郑州·期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的（    ） A．第8行的第8个数是8 B．第2026行中，第1014个数最大 C．第10行中，第5个数与第6个数之比为 D．第行所有数字的平方和为 【答案】ABD 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于选项A，依题意，第8行的第8个数是，所以A正确； 对于选项B，由题图可知，第行有个数字，如果是奇数， 则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大， 故第2026行中，第1014个数最大，故B正确； 对于选项C，第10行是的展开式的二项式系数， 所以第5个数与第6个数之比为，故C错误； 对于选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 构造等式， 在等式左边展开式中的系数为 ， 等式右边展开式中的系数为， 故第行所有数字的平方和为，故D正确. 故选：ABD. $扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09排列组合与二项式定理 题型归纳·内容导航 题型1排列数与组合数的计算 题型10指定项的二项式系数 题型2全排列问题 题型11二项式系数和 题型3相邻问题（重点） 题型12二项式系数的增减性和最值 题型4不相邻问题（重点） 题型13求指定项系数（重点） 题型5特殊元素（重点) 题型14奇次项与偶次项的系数和（常考点） 题型6隔板法 题型15三项展开式（常考点） 题型7定序倍缩（重点） 题型16整除和余数问题 题型8分组分配问题（重点） 题型17杨辉三角 题型9涂色问题 题型通关·靶向提分 题型一排列数与组合数的计算（共6小题） 1.(24-25高二下广东肇庆期末)若A2=C2,则n=() A.6 B.7 C.8 D.9 2. (24-25高二下.吉林长春.期末)计算A+C；=() A.6 B.35 C.41 D.45 3.(24-25高二下广东江门期末)计算C+2A?的值是() A.41 B.61 C.62 D.82 4.(24-25高二下广西百色期末)若C-3=C(neN,）,则n=() A.5 B.6或5 C.7 D.7或8 多选题 5.(24-25高二下.河北承德期末)己知m,n∈N,且n≥m≥2，则（) 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.C=C0 B.A=CA C.Am+A-=A D.nC-=mC 6.(24-25高二下.江苏南京期末)下列等式正确的是() A. c=2” B. ci-c C. -c=0 D. 名m 题型二全排列问题（共2小题） 7.(24-25高二下.四川南充·期末)用1,3,5,7这4个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是 () A.12 B.24 C.36 D.48 8.(24-25高二下新疆巴州期末)用2,3,4,5这4个数字组成没有重复数字的四位数. (1)求能组成的四位数的个数： (2)求能组成可以被5整除的四位数的个数； (3)求能组成为偶数的四位数的个数. 题型三相邻问题（共5小题） 9.(24-25高二下广东韶关期末)某种产品的加工需要经过5道工序，如果其中的Q、b两道工序必须相 邻，则加工顺序共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 10.(24-25高二下·重庆长寿期末)甲、乙、丙、丁四人站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不相邻， 则不同的安排方法有() A.24种 B.16种 C.12种 D.4种 11.(24-25高二下广西百色期末)校运动会中，某班级选出跑步较好的4人参加4×100米接力赛，其中 甲、乙两人跑相邻棒的排法有种. 12.(24-25高二下·天津滨海新区·期末)有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端， 2名女生必须站在一起，则不同的站法有() A.8种 B.12种 C.20种 D.24种 13.(24-25高二下.贵州六盘水期末)将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需 要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为() A.6 B.12 C.18 D.24 2/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型四不相邻问题（共3小题） 14.(24-25高二下.四川资阳·期末)某学生准备将两颗不同口味的山楂、两颗不同口味的葡萄、一颗圣女 果和一颗草莓串起来制作一串冰糖葫芦，因口味的需求，山楂不相邻，则不同的串法共有() A.240种 B.360种 C.480种 D.512种 15.(24-25高二下.山东临沂期末)己知A、B、C、D四个同学站成一排，要求A和B不相邻，C不站两 端，则不同排法的种数是() A.8 B.10 C.12 D.16 16.（24-25高二下河南信阳期末)某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人)在数学竞赛中获奖. 8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有种. 题型五特殊元素（共9小题） 17.(24-25高二下.天津和平期末)有七名志愿者参加社区服务，共服务星期一、星期二两天，这两天每天 从中任选两人参加服务，则两天服务中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为() A.100 B.120 C.200 D.210 18.（24-25高二下.四川眉山·期末)某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多 人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足 不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为() A.9 B.18 C.21 D.24 19.(24-25高三下.山西大同期末)在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去A、B、C三 个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去一个小区.则 不同的安排方法共有() A.24种 B.36种 C.6种 D.12种 20.(24-25高二下·湖北武汉期末)某单位劳动节共有五天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从A、 B、C、D、E、F、G七人中选择五人值班，每名员工最多值班一天，已知A不在第一天值班，B不在第五 天值班，则值班安排共有() A.1740种 B.1760种 C.1800种 D.1860种 21.（24-25高二下江西期末)小华一家4人（小华，姐姐，爸爸，妈妈）计划去南京自驾游，车子前排 有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位.只有爸爸和妈妈会开车，且小华未成年只能坐在后排，则不同的 乘坐方式一共有() A.18种 B.27种 C.36种 D.54种 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.(24-25高二下.福建厦门期末)从4名同学中选择3人分别去A,B,C三地调研，每个地方安排一人，其 中要求A地不安排甲同学，则安排方案共有 种.（用数字作答) 23.(24-25高二下广西河池期末)某班级一天排六节课，上午四节，下午两节，有3节不同的文化课、2 节不同的艺术课和1节体育课，要求排出一个课表.上午第一节课和下午最后一节课都是艺术课，有 种排法；上午有艺术课，且体育课不排在上午第一节，有 种排法 24.(24-25高二下.四川雅安.期末)某班级周一的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共6 节课，其中要求体育课不能排在第一节，且数学课不能排在最后一节，则共有 种不同的排法.（用数 字作答) 25.(24-25高二下.上海期末)某校艺术节汇演，已知高一，高二，高三分别选送了3,2,2个节月，若 高一的节目彼此都不相邻，则共计有 种不同的出场顺序. 题型六隔板法（共6小题） 26.(25-26高二下安微合肥期中)现有11个优秀团员的名额分配给8个班级，每班至少有1个名额，则 名额分配的方法共有() A.56种 B.112种 C.120种 D.240种 27.(25-26高二下河北保定，期中)将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵 小多肉，则总的种法数为() A.70 B.56 C.35 D.20 28.（25-26高二下河北衡水阶段检测)将9个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，每个盒子 都不空的方法数为 29.(25-26高二下山东青岛期中)我们称各个数位上的数字之和为7的三位数为“安康数”，例如106和223， 则所有的“安康数”共有() A.15个 B.27个 C.28个 D.36个 30.(2026河南郑州模拟预测)(x+2y+3z)的展开式中，共有多少项() A.45 B.55 C.120 D.165 31.(2026河南模拟预测)将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为() A.39 B.6 C.28 D.84 题型士定序倍缩（共6小题） 32.(24-25高二下.江西·月考)在一次交流活动中，有4名男同学（包含甲）和3名女同学共7名同学排 成一行，则男同学甲的右侧（可不相邻）没有其他男同学的排法种数为() 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.468 B.540 C.720 D.1260 33.（25-26高二下.湖北武汉·期中)小明桌子上有3本不同的数学书，2本相同的物理书，现将这5本书依 次全部取走，则不同的取书顺序有()种 A.10 B.20 C.120 D.60 34.(25-26高二下.上海浦东新期中)6个人站成一排，若甲在乙左边，则有 种排法.（结果用 数值表示) 35.(24-25高二下·广东渴阳月考)某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、 茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅， 则制作这道菜时不同的下锅顺序共有() A.12种 B.16种 C.24种 D.28种 36.（24-25高二下.四川广元期末)2025年4月23日是第三十个世界读书日.将2,0,2,5,4,2,3 这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有()个. A.480 B.600 C.720 D.840 37.(2026山东滨州一模)春节期间，某人计划去A,B,C,D,E,F六个不同的景点游览，在确定景点的游 览顺序时，要求A在B之前，C与D相邻，则不同的游览顺序有() A.24 B.60 C.120 D.240 题型八分组分配问题（共6小题） 38.(24-25高二下，贵州贵阳·期末)4月15日，人工智能模型OpenAl推出参数规模达10万亿级的GPT-5, 支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍.小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对Openal、 DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个 模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为() A.180 B.240 C.288 D.360 39.(24-25高二下浙江温州期末)某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语 教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有() A.12种 B.14种 C.24种 D.48种 40.（24-25高二下·新疆乌鲁木齐，期末)某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生， 其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有()种 A.150 B.180 C.360 D.540 41.(24-25高二下.安徽宿州·期末)现将《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《史记》 5/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种 数是() A.150 B.100 C.25 D.50 42. (24-25高二下福建泉州期末)为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份力，学校 安排A,B,C,D4名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区至少有1 名学生，其中学生A不能去甲社区，则不同安排方式的总数是() A.20 B.24 C.32 D.36 43,(24-25高二下四川德阳期末)根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又 支教甘孜州.在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少 派送2名支教老师.则不同派送的种数为() A.50 B.64 C.35 D.128 题型九涂色问题（共7小题） 44.（25-26高二下·安微期中)春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内 有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同， 则不同的栽种方案数有()· A.240种 B.360种 C.420种 D.720种 45.（25-26高二下·重庆期中)给如图所示的花圃中A,B,C,D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现 有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为() A.320 B.630 C.720 D.1560 46.(25-26高二下.重庆阶段检测)如图，某小区的花园分为5个不同区域，现在花园内种植花朵，要求 相邻区域不得种植相同颜色的花朵，已知有4种颜色的花朵可供选择，则不同的种植方法种数是() 6/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.24 B.72 C.20 D.48 47.(2026海南儋州二模)用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的A,B,C，D,E的5个区域 涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数 为() D C A E B A.24 B.36 C.48 D.72 48.(25-26高二下山东聊城期中)如图，某花坛中有A,B,C,D,E5个区域，每个区域只种植一种颜色的 花.要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜 色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，不同的种植方案种数为() A B D A.24 B.32 C.40 D.48 49. (2026上海杨浦模拟预测)一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两 种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为 () 3 7/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.32 B.48 C.64 D.82 50.(25-26高二下河北保定期中)某六角星徽章由A,B,C,D,E,F六个平行四边形区域构成，现有 3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色， 则不同的涂色方法种数为() A.36 B.60 C.66 D.78 题型士指定项的二项式系数（共4小题） 51.（24-25高二下江苏镇江阶段检测)(2x-1)的展开式的第二项的二项式系数为() A.10 B.5 C.-10 D.-5 52.(24-25高二下.重庆期中)己知(1+√F)"的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差 数列，则n=() A.11 B.14 C.11或23 D.14或23 53.(24-25高二下安徽：期末)已知x-衣 1 的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为 4’则展开 式中的有理项的项数为() A.2 B.3 C.4 D.5 54.(24-25高二下江苏南京月考)在 neN)的展开式中，第2、3、4项的二项式系数依 次成等差数列，则n=() A.2 B.5 C.6 D.7 题型十一二项式系数和（共5小题） 55.(24-25高二下.河南南阳期末)若 2x- 的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数 项为() A.-60 B.-15 C.15 D.60 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 56.(24-25高二下.云南红河期末) 已知 2x2- 的展开式的各二项式系数的和为64，则展开式中常数 项为() A.-30 B.-60 C.60 D.30 57.(24-25高二下·天津期末)己知(1-2x)”的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二 项式系数和为() A.128 B.256 C.512 D.1024 58.(24-25高二下.福建厦门期末) 1 2x- 的展开式中二项式系数之和为32，则该展开式中的系 数为() A.-48 B.48 C.-80 D.80 59.(24-25高二下山东聊城期末) 的展开式的二项式系数和为() A.1 B.5 C.16 D.32 题型十二二项式系数的增减性和最值（共6小题） 0(2425商=下碳西检林阶段检)在侯3】 的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则 各项系数之和为() A.-1024 B.-1 C.1 D.1024 61.(24-25高二下，福建福州期末)己知二项式(3x-1)”的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则n为 () A.15 B.10 C.9 D.8 62.(24-25高二下.四川广安，期末)在 的展开式中含x项的系数为15，则展开式中二项式系数最 大的是第 项 63.(24-25高二下.天津南开期末)在(1+2x的展开式中，下列说法正确的是() A.各项系数和为2186 B.第4项与第5项的系数相等 C.x的项的系数为21 D.二项式系数最大为35 9/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 多选题 64.（24-25高二下.山东泰安期末)已知 的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等， 则下列选项正确的是() A.n=14 B.所有项系数的和为1 C.二项式系数最大的项为第6项 D.有理项共有3项 65.(24-25高二下.内蒙古期末)已知 1 的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则() 2x A.n=6 B.各项系数之和为 64 C.第3项的二项式系数最大 D.常数项为5 2 题型士三求指定项系数（共7小题） 66.(24-25高二下·天津西青·期末)(x+y)(x-y)的展开式中x的系数是() A.0 B.2 C.4 D.10 67.(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)二项式 3F-2） 的展开式中常数项为() 3x A.-540 B.540 C.15 D.-15 68.(24-25高二下.甘肃庆阳期末)(x-3°的展开式中x的系数为() A.180 B.-180 C.960 D.-960 69.(24-25高二下.吉林长春.期末)（x-1)4(x2-2x+2的展开式中，xX2的系数与常数项之差为() A.20 B.19 C.-8 D.-15 70.(24-25高二下·贵州铜仁期末)（x+1)”的展开式中x2的系数为21，则n=（) A.4 B.5 C.6 D.7 71.(2425高二下吉林长春期末)4，b为正实数，且a+26=2,当2+取最小值时，(ar->的展 a+l b 开式中x项的系数为() A.16 B.27 1 C.- 27 32 D.- 64 64 10/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、4 72.（24-25高二下广东湛江期末) 在 的展开式中，x2的系数是() A.6 B.-6 C.4 D.-4 题型土四奇次项与偶次项的系数和（共9小题） 多选题 73.(24-25高二下河北邢台·期末)若(2x+1)=a,+a,(x+1)+a2(x+1)2+…+as(x+1,则() A.4=1 B.a1+a2+…+ag=0 318-1 C.a,+a,+a4++a18=2 D.a1g=28 74.(24-25高二下广东深圳期末)若(2-3x)5=a。+a,x+a,x2+ax3+a4x4+ax3,则下列结论中正确的是 () A.a1=-240 B.a1+a2+a3+a4+a5=-1 C.a+a2+a4=1562 D.a0+2a1+3a2+4a3+5a4+6a5=-16 75.(24-25高二下.安微合肥期末)若x+(x+1)=a,+a,(x+2+a,(x+2)2+…+a,（x+2),则下列说法 正确的是（) A.a=1 B.a3=27 C.a+a1+a2+…+a,=1 D.a+a2+a4+a6=-23 76.(25-26高二上黑龙江齐齐哈尔.期中)已知(x-1)=a。+ax+a2x2+…+a,x,则() A.a=1 B.a+a1+a2+…+ag=0 C.ag-a1+a2-a3+…+ag-ag=-512 D.a+a2+a4+a6+ag=256 77.(24-25高二下.河北保定.期末)己知(5x-1)°=a。+ax+a2x2+…+a,x,则() A.ap=-1 B.a2=-900 C.(5x-1)°的展开式的二项式系数之和为49D.a,+a,++4,=4,6 2 78.(24-25高二下.青海西宁·期末)已知(2x-1)°=a。+a,(x-1)+a2(x-1)2+…+a,(x-1)°，则下列结论正确 的有() 11/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.a=1 B.a2=144 C. D. 39+1 i=l 2 79.(24-25高二下.河南商丘期末)若(2-x)2025=a+a,x+ax2+…+a02sx2025，则（) A.a。=2 B.a+a1+a2+…+a2025=1 C.laol+la+a++lazo2s=32035 D.41+2a2+3a3+…+2025a2025=-2025 80.（24-25高二下广东中山期末)设(3x-2)(1+x)°=a。+a,x+a2x2+ax3+…+a,x’，则下列结论正确的 是() A.常数项为2 B.第4项系数为-5 C.奇数次系数和为32 D.当x=2时，该式的值为2916 81.(24-25高二下.四川德阳期末)若a。+a(x-1+a2（x-12++a（x-1)8=x8-x6,则() A.a=1 B.a1+a2++ag=192 C.a1+a3+a5+a7=98 D.a3+a4=91 题型土五三项展开式（共6小题） 82.(24-25高二下.全国期末)(x+ 2”展开式中的常数项为() 1 A.-671 B.671 C.-1342 D.1342 83.(24-25高二下江苏南京·期末)在(x2+3x+y的展开式中，xy2的系数为() A.90 B.60 C.30 D.20 84.(24-25高二下陕西西安期末)(x2+2x-y的展开式中，xy项的系数为（) A.10 B.20 C.30 D.60 2 85.(24-25高二下山东济南期末) 1 x2+ 2+2 的展开式中，常数项为() A.2 B.4 C.6 D.12 86.(24-25高二下·安微宣城期末)(x2+2x+y的展开式中，xy2的系数是() A.60 B.30 C.20 D.10 87.(24-25高二下.山东聊城期末)(1-x+2x2)°的展开式中x4的系数为() A.75 B.135 C.180 D.195 12/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型士六整除和余数问题（共4小题） 88.(24-25高二下.河南郑州期末)若aeN,且0≤a<9,若44225+a能被9整除，则a的值为（) A.1 B.3 C.6 D.8 89.（24-25高二下山东滨州期末)155+15被8除的余数为() A.2 B.4 C.6 D.7 90.(24-25高二下·陕西咸阳期末)95除以128的余数为() A.51 B.43 C.41 D.33 91.(24-25高二上·辽宁锦州期末)若23+α既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（) A.18 B.19 C.54 D.55 题型十士杨辉三角（共7小题） 多选题 92.(24-25高二下河南信阳期末)我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一 张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是() 第0行 第1行 1 第2行 12 第3行 1 3 3 第4行 4 6 4 第5行 51010 5 第6行 61520156 1 第n-1行 1 Ch-1 C- …Cl C…C1 第n行1CC … C%C1. C11 A.Cr=C B.C=C-+C C.C+C2+C+…+C=C2(n≥2）D.C;+C;+C++C2=C(n≥3） 93.(24-25高二下·重庆期末)“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的一种几何排列规律，在我国 南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，如图所示.下列关于“杨辉三角"的说法中 正确的是() 13/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第0行 第1行 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 46 4 1 第5行 1510105 1 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 A.C=C+C B.C,+C2+…C"=2 C.C?+C?+C2+C3+C=126 D.第10行中从左往右第5个数与第6个数之比为5：6 94.(24-25高二下广东广州期末)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名 的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的 是() 第0行 第1行 第2行 1 2 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 e。8sg 8年08 A.第6行从左到右第4个数是20 B.第2022行的第1011个数最大 C.210在杨辉三角中共出现了6次 D.记第n行的第i个数为a,则∑2a=3” 95.（24-25高二下.湖北阶段检测)杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算 法》、《日用算法》和《杨辉算法》杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成 就是非常值得中华民族自豪的杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研 究，则下列结论正确的是() 14/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 轰有 本积白 商除白 平方 立方Q) 第0行 1 第1行 1 1 三乘四分四口 第2行 1 2 1 四乘国①①运白 第3行 13 3 1 第4行 1 46 4 五乘G白 1 第5行 15101051 中 第6行 1615201561 实 袋 藏 而 左袤 第n-1行1CC2…CC…CiC好1 之 方 廉 算 积数 第n行1ChC层…C…C2C1 图1 图2 A.第20行中最大的数是第11个数 B.第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 记第20行的第1个数为a,则∑2a三 D.第四斜行的数：1,4,10,20，，构成数列an},则数列an}的前项和为C+3 96.(24-25高二下.安微蚌埠阶段检测)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示 了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是( 杨辉三角 第0行 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行 15101051 第6行 1615201561 第7行 172135352171 第8行 18285670562881 第9行 193684126126843691 第10行1104512021025221012045101 第11行1115516533046246233016555111 A.1+C6+C3+C=C B.第2024行的第1014个数最大 C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数 D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3 97.(24-25高二下·内蒙古赤峰期末)“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》 一书中首次记载的，比欧洲早393年.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数 15/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是() 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 。 。e。 A.第6行中，有两个相等的最大数 B.C+C+…+C2=219 C.第n行所有数之和为2 D.在第3行以后，还会出现全为奇数的行 98.(24-25高二下河南郑州期末)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项展开式中的 各项系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，下列说法正确的() 第0行…1 第1行…11 第2行…121 第3行1331 第4行…14641 第5行…15101051 A.第8行的第8个数是8 B.第2026行中，第1014个数最大 c.第10行中，第5个数与第6个数之比为6：7D.第n行所有数字的平方和为Cm 16/16