计数原理、条件概率与全概率公式（作业）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

二项式定理、条件概率与全概率公式(回归课本) 班级：_________,姓名：___________ 1．（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项为__________； （2）求的展开式的常数项为________； （3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n=_______； （4）求的展开式中的系数为___________； （5）求的展开式中的系数为_________． 【答案】（1）；（2）；（3）或23；（4）135；（5）30. 【详解】（1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项， ． （2）展开式的通项公式为：； 令可得：； 故展开式的常数项为：． （3）展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，， ； 化简得， 即：， 解得或23． （4）， 展开式中含的系数为：的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数， 展开式的通项为， 令，3，2分别得展开式含，，项的系数为，，， 故展开式中含的系数为：， （5） 设其展开式的通项公式为， 令， 得的的通项公式为， 再，得， 的展开式中，的系数为． 即的展开式中，的系数为30． 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，求： （1）两个点数都出现偶数的概率； （2）已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率． 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件共有个，两个点数都是偶数的基本事件有共9个，概率为． （2）记第一枚骰子的点数是偶数为事件，第二枚骰子的点数是偶数为事件， 则，由（1），所以． 3.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________. 解：设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则.，且与互斥，根据题意得 ，，. 由全概率公式，得 . 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 4．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率为______. 【答案】【详解】设第一次抽到的事件为，第2次抽到的事件为， 则第一次和第二次都抽到事件的事件为， 在第一次抽到的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张， ，， 第1次抽到，第2次也抽到的概率为： ． 5．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．（1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）取出的零件是次品的概率为； （2）设取出的是次品的事件为,此次品是从第一箱取出的事件为, 则,, 所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为. 6. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为 . 事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 . 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为. （2）设“最后1位密码为偶数”，则 . 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为. 7．现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率为_________. 【答案】 则，，，， 由全概率公式可得. 8．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率为_______. 【答案】0.75【详解】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为， 又因为甲命中目标的概率为， 所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率. 9．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率为_________. 【答案】【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为. 10．一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率为________. 【答案】【详解】抽检第1件产品不合格的概率为， 抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为. 11．安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 【答案】480【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为中方法. 所以不同排法的种数为种. 故答案为：480 12．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 【答案】243【详解】根据题意，每名同学可自由选择听3个讲座中的任意一个，所以每位同学有3种选择方法， 所以5名同学共有种选择方法.故答案为：. 13．正十二边形的对角线的条数是________； 【答案】54【详解】任意两点连线的条数，再排除边数， 故正十二边形的对角线的条数是.故答案为：54. 14．的展开式中，系数最大的项是第________项． 【答案】【详解】解：因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大， 所以第项的系数最大，故答案为： 15．已知，那么________； 【答案】【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去）故答案为： 16．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 【答案】【详解】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种 再排其余4节，有种， 根据乘法原理，共有种方法，故答案为：． 17．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________； 【答案】58【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况，6个对角面有6个四点共面情况， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是.故答案为：58. 18．在的展开式中，各项系数的和是________． 【答案】【详解】令，则， 即二项式的展开式中各项系数的和是.故答案为：. 19．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率． 【答案】 【详解】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”， 设次传球后球再甲手中的概率为， 则有， 所以 ， 即， 所以，且， 所以数列表示以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 即n次传球后球在甲手中的概率是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 计数原理、条件概率与全概率公式（作业） 班级：_________,姓名：___________ 1．（1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项为__________； （2）求的展开式的常数项为________； （3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n=_______； （4）求的展开式中的系数为___________； （5）求的展开式中的系数为_________． 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，求： （1）两个点数都出现偶数的概率； （2）已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率． 3.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________. 4．从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率为______. 5．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．（1）求取出的零件是次品的概率； （2）已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率． 6. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. 7．现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为.张君从这道题中随机选择题，求他做对该题的概率为_________. 8． 甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率为_______. 9．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率为_________. 10．一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率为________. 11．安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 12．5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是________； 13．正十二边形的对角线的条数是________； 14．的展开式中，系数最大的项是第________项． 15．已知，那么________； 16．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________； 17．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是________； 18．在的展开式中，各项系数的和是________． 19．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $