期末培优卷-2025-2026学年沪科版数学七年级下册

**基本信息** 以冬奥会吉祥物平移、球形容器体积计算等真实情境为载体，融合代数推理与几何应用，突出运算能力与模型意识的培优导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|平移、角平分线、方程解、规律探究|以冰墩墩平移考几何直观，定义“溯源值”考抽象能力| |填空题|6题|新运算、幂运算、因式分解、不等式组|结合正方形与长方形面积考空间观念| |解答题|8题|因式分解、化简求值、应用题、几何证明|衬衫销售问题考模型意识，角平分线与平行线结合考推理能力|

2025-2026学年七年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移后的对应点移动的距离都相等（即对应点的连线平行或在同一直线上且相等）判定． 【详解】∵B图案上的每个点都移动了相同的方向，相等的距离， ∴冰墩墩通过平移后得到的图案是B： 故选B． 【点睛】本题主要考查了平移，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质特征． 2．如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题意可得，，再根据平角的定义列方程，求出，即可得解． 【详解】解：设， ，， ，， 是的平分线， ， ， ， ， ． 3．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】先解含参分式方程，用含的代数式表示方程的解，再根据解是非负数、分式分母不为0两个条件，列不等式求解即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以去分母得， 整理得 ， ∵方程的解是非负数，且分式分母不能为0， ∴， 解得且． 4．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 5．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 6．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】平方数与算术平方根都是非负数，若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，由此求出和的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ， ∴. 7．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 8．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 9．定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，列出方程，求出的值，再根据，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：由题意，的“溯源值”是方程的解， 解，得， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小值是. 10．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把当作常数解方程组，再代入，根据、、都为正数，求出的取值范围，从而求解． 【详解】解：，， ，， ， 、、都为正数， ∴， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题是不定方程和不等式组的综合题是一道难度不小的综合题，求出c的取值范围是解题的关键． 二、填空题 11．规定，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据新定义的运算法则，列出关于，的二元一次方程组，解方程组得到，的值，再代入计算即可． 【详解】解：规定，，， ∴，解得 ． 12．若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先估算无理数的取值范围，再根据不等式的性质推导 的范围，结合已知不等式求解正整数． 【详解】解：因为 ，， 所以 ， 不等式三边同乘正数，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 不等式三边同减，得 ， 因为为正整数，且满足 ， 所以 13．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得到，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 14．如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算法则，先根据法则展开两个多项式的乘积，合并同类项后，根据项的系数为列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：展开并化简多项式乘积： ， ， ， 乘积化简后项的系数为， ，化简得，解得． 15．如图，正方形的边长为，，长方形的面积是700，四边形和都是正方形，是长方形，则图中阴影部分的面积是______．（结果必须是一个具体的数值） 【答案】 【分析】正方形的边长为，设，可得到，，表示阴影部分的面积，变形后即可求答案． 【详解】解：由题意，得长方形的面积为． 设， 则． 四边形和都是正方形， ， 阴影部分的面积为． 16．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，根据解为整数得出为，，，，，，根据不等式组有个整数解得出关于的不等式组，然后根据题意得到整数为，，，再求其和即可． 【详解】解：解方程组， 由得，代入得：， 解得， 方程组的解为整数， 是的整数约数，即可取，，， 则为，，，，，， 解不等式组， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 不等式组有且仅有个整数解，其整数解为，，，，， ， 解得， 结合的所有可能取值，符合条件的整数为，，，它们的和为 ， 故答案为：． 三、解答题 17．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 18．化简求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算-化简求值，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把、的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 19．已知的算术平方根是1，的立方根是2，解关于x的方程． 【答案】 【详解】解：∵的算术平方根是1，的立方根是2， ∴ 由①，得．③ 将③代入②，得．解得． 将代入③，得． ∴关于x的方程可化为． 解得． 20．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 【答案】(1)一本笔记本3元，一支签字笔4元 (2)最多可购进笔记本50本 【分析】（1）设笔记本x元/本，签字笔y元/支，列出方程组求解即可； （2）设购进笔记本m本，根据题意列不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设笔记本x元/本，签字笔y元/支， ， 解得：， 答：一本笔记本3元，一支签字笔4元． （2）解：设购进笔记本m本，则签字笔支， 由题意则有， 解得， 所以的最大值为50， 答：最多可购进笔记本50本． 21．某商户预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，衬衫面市后果然供不应求．该商户又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．该商户销售这种衬衫时，每件定价都是60元，最后剩下1000件打折销售，很快售完． (1)第一批购进衬衫多少件？ (2)若在这两笔生意中，该商户盈利不少于9.2万元，请问最多可以打几折销售？ 【答案】(1)第一批购进衬衫2000件 (2)最多可以打8折销售 【分析】（1）设第一批购进衬衫的数量，根据第二批单价比第一批贵4元列分式方程求解即可． （2）设打折销售，根据盈利不少于9.2万元列一元一次不等式，结合折扣的意义即可求出最多的折扣． 【详解】（1）解：8万元元，17.6万元=176000元，9.2万元元， 设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一批购进衬衫2000件． （2）解：设打折销售， 由（1）得，第一批购进2000件，第二批购进（件），总进货量为（件），总成本为（元）， 由盈利不少于92000元，可得：， 化简得， 整理得， 解得， ∵折扣越小，售价越低，盈利越少， ∴要满足盈利要求，最多可以打8折． 答：最多可以打8折销售． 22．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 23．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3） (1)求用于种花的面积； (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用． 【答案】(1) (2)3780元 【分析】（1）根据圆的面积公式计算即可得出结果； （2）先表示出铺设草坪的面积，再代入，，最后乘以30即可． 【详解】（1）解： ． 答：用于种花的面积为． （2）解： ． 当，时，． （元）． 答：铺设草坪的总费用为3780元． 24．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，则三角形的面积为______； (2)如图②，将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到平移后的线段连接，． ①求三角形的面积； ②是一动点，若，请直接写出点坐标． 【答案】(1)3 (2)①；② 【分析】（1）判断出，的长，利用三角形面积公式求解． （2）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．②利用三角形面积公式，构建方程求解即可． 【详解】（1）∵A(0，-3)，B(-2，0)， ∴OA=3，OB=2， ∴， 故答案为：． （2）如图：， 由题意，， ， ∴P（-1，10）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形面积，学会利用参数构建方程解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．冰墩墩：2022年北京冬季奥运会的吉祥物．请问：由图中所示的冰墩墩通过平移后得到的图案是（    ） A．B． C． D． 2．如图，O为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．若关于的方程的解是非负数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 4．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 5．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 6．已知是实数，且与互为相反数，则的值为（     ） A．1 B． C．3 D． 7．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 8．已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．已知、、满足，，且、、都为正数．设，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．规定，若，，则的值是______． 12．若m为正整数，且满足，则________． 13．已知，，则的值为______． 14．如果多项式与的乘积化简后的系数为6，则m的值为_________． 15．如图，正方形的边长为，，长方形的面积是700，四边形和都是正方形，是长方形，则图中阴影部分的面积是______．（结果必须是一个具体的数值） 16．已知关于，的方程组的解为整数，且关于的不等式组有且仅有个整数解，则所有满足条件的整数的和为____． 三、解答题 17．分解因式： (1) (2) (3) 18．化简求值：，其中，． 19．已知的算术平方根是1，的立方根是2，解关于x的方程． 20．某文具店购进笔记本和签字笔，已知购进2本笔记本和3支签字笔共花费18元；购进4本笔记本和5支签字笔共花费32元． (1)求一本笔记本、一支签字笔的进价分别是多少元？ (2)若商店准备再次采购笔记本和签字笔共50件，总费用不超过200元，最多可以购进笔记本多少本？ 21．某商户预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，衬衫面市后果然供不应求．该商户又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．该商户销售这种衬衫时，每件定价都是60元，最后剩下1000件打折销售，很快售完． (1)第一批购进衬衫多少件？ (2)若在这两笔生意中，该商户盈利不少于9.2万元，请问最多可以打几折销售？ 22．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 23．如图，是某花园的平面示意图，其中四边形是正方形，四边形是长为，宽为的长方形，且，以长为半径作四分之一圆，以长为直径作半圆，园艺师计划在图中阴影部分种花，其余部分铺设草坪．（取3） (1)求用于种花的面积； (2)若铺设草坪每平方米的费用是30元，当，时，求铺设草坪的总费用． 24．在平面直角坐标系中，为原点，点． (1)如图①，则三角形的面积为______； (2)如图②，将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到平移后的线段连接，． ①求三角形的面积； ②是一动点，若，请直接写出点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $