2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末冲刺卷

**基本信息** 2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末冲刺卷，以代数、几何、概率为核心，融入“人机共跑”“春晚彩排”等真实情境，通过动态几何、函数图像分析等题设计，考查抽象能力、推理意识与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|幂运算、概率事件、平行线性质|结合转盘游戏（第2题）考查不可能事件判断| |填空题|6/18|频率估计概率、函数关系、三角形高|以商场降价销售（第13题）建立函数模型| |解答题|8/72|动态几何、全等证明、函数图像|“人机共跑”行程问题（第21题）分析图像解决实际问题，等腰直角三角形动点探究（第22题）培养推理能力|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的乘方、单项式乘单项式、完全平方公式、合并同类项的运算法则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、与不是同类项，不能合并，D错误． 2．将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 【答案】D 【详解】解：∵每次转出的数字都大于或等于1， ∴两次转出的数字和大于1是必然事件； 两次转出的数字和等于6是随机事件； 两次转出的数字差等于0是随机事件； 最大数字为6，最小数字为1，差的绝对值最大为5， 两次转出的数字差等于6是不可能事件，故D选项符合题意． 3．下列计算结果等于的是（     ） A．（8个a） B．（8个a） C．（4个） D． 【答案】B 【分析】根据乘方的定义和同底数幂的除法法则即可求解，依次计算每个选项的结果即可得出答案. 【详解】解：A、个相加，结果为 ，不等于， ∴A错误； B、根据乘方的定义，个相乘的结果为，符合要求， ∴B正确； C、个相加，结果为，不等于， ∴C错误； D、根据同底数幂除法法则，，不等于， ∴D错误． 4．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 【答案】B 【分析】根据平角定义得出与的关系，根据直角定义得出与 的关系，进而根据变化量进行推导． 【详解】解：点，，在同一条直线上， ． 增加， 减少． ， ． 减少， 增加． 综上所述，减少，增加． 5．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察折线统计图，随着试验次数的增加，频率波动幅度减小并趋于稳定，该稳定值即为概率的估计值． 【详解】解：观察折线统计图可知，随着摸棋子次数的增加，黑色棋子出现的频率逐渐稳定在 附近， 可估计摸到黑色棋子的概率为． 6．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 【答案】D 【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P所在的位置与图象的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、根据题意，动点P在边上时，的面积y值不变， ∴，故A选项说法正确，不符合题意； B、由图象知，动点P在边上运动时间为4秒， ∴， ∴长方形的周长为， 故选项B说法正确，不符合题意； C、当秒时，动点P在边上，此时， 故选项C说法正确，不符合题意； D、当时，有两种情况： 当动点P在边上时，由得； 当动点P在边上时，由得， 综上，当时，秒或3秒， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D． 7．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，角平分线的性质，垂直的定义以及角的和差，逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 但不一定等于，也不一定等于， ∴平分，平分都不一定正确，则③和④都错误； 综上，正确的选项是①②． 8．已知，不等边三角形的两条高分别为4和12，若第三高也是整数，那么，它的长度最大可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系及三角形的面积，难度较大， 根据三角形三边关系及三角形面积相等即可求出要求高的整数值． 【详解】解：∵不等边三角形的两条高的长度分别为4和12， 故根据面积相等可设不等边三角形的两边长为，x； ∵， ∴面积， 根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：第三边长度， ∵要求高的最大长度， ∴当第三边最短时，在第三边上的高就越长， 第三边的长高，高，高， ∴高， ∵是不等边三角形，且高为整数， ∴高的最大值为5， 故选：B． 9．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 【答案】A 【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解． 【详解】解：设点运动秒时，则， ， ， ，， ， ． 与全等， 分两种情况讨论： ①当，时，， ， ， 点的运动速度为（厘米秒）； ②当，时，， ，， ， ， 点的运动速度为厘米秒； 综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等． 10．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，正确画出辅助线是解题的关键． 在上截取，证明，即可得到，同理可得，即可解答． 【详解】解：点到三边的距离相等， 点为三条角平分线的交点， ， 如图，在上截取， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 在上截取， 同理可得， ， 在中，， 即， ， ， 故最小， 故选：C．    二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．______． 【答案】 【详解】解： ， 则原式 12．2026年中央广播电视总台春节联欢晚会合肥分会场设置在骆岗公园，小丽和爸爸妈妈一同受邀参加春晚合肥分会场的彩排．在同一排的3个位置中，他们三人可以随机就座，小丽坐在妈妈的左边的概率是________． 【答案】 【分析】先确定三人随机就座的所有等可能结果数，再找出小丽坐在妈妈左边的结果数，利用概率公式求解即可. 【详解】解：设小丽、爸爸、妈妈分别为、、， 则三人在个位置随机就座，所有等可能的结果为、、、、、，共6种，其中小丽坐在妈妈左边的结果数有、、，共3种， ∴小丽坐在妈妈左边的概率为. 13．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，即可解答． 【详解】解：由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件， 则当售价为260元时，该商品日销售量为（件）； y与x之间的关系式是． 14．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质，角度的相关计算．由已知条件可得出，过点H作，由平行线的性质可得出②，设，则，，可判断③④． 【详解】解：∵， ∴， ∴①正确； 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∴②正确． 设，则，， 由②知， 作， ， ， ∴，无法判断是否为， ∴③错误； ∴， ∴④正确． 综上所述，错误答案为③． 故答案为：③． 15．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 【答案】或4 【分析】先得出t的取值范围，然后分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含t的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 分情况讨论： ①如图，当点在延长线上时，． ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， 当时，有． ，， ， 解得； ②如图，当点在线段上时，．    同①得， 又， 当时，有． ，， ， 解得； 综上，当与全等时，t的值为秒或4秒． 16．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】由折叠可得，，，由，得，则，当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小，根据的面积为，，求出，即可求解． 【详解】解：、分别沿、向外翻折，得到，， ，，， ， ， ， 当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小， 的面积为，， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 三、解答题(本大题共8小题.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） 18．某校九年级共5个班，计划开展足球对抗赛．先确定一个班级轮空，剩余班级再通过抽签确定对阵双方． (1)若安排五班轮空，求一班与二班对阵的概率； (2)若随机抽取一个班轮空，则一班与二班对阵的概率是________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）列举出所有可能的情况和一班与二班对阵的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）解：∵安排五班轮空， ∴可能与一班对阵的有二班，三班，四班， ∴一班与二班对阵的概率为； （2）解：若安排一班轮空，可能与二班对阵的有三班，四班，五班，共3种情况； 若安排二班轮空，可能与一班对阵的有三班，四班，五班，共3种情况； 若安排三班轮空，可能与二班对阵的有一班，四班，五班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； 若安排四班轮空，可能与二班对阵的有一班，三班，五班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； 若安排五班轮空，可能与二班对阵的有一班，三班，四班，共3种情况，其中一班与二班对阵的情况有1种； ∴共有15种等可能的情况，其中一班与二班对阵的情况有3种， ∴一班与二班对阵的概率是． 19．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 20．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 【答案】(1)等边三角形 (2)11或12或13 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可得出结论； （2）根据三角形的三边关系结合c是整数即可求解； （3）根据三角形的三边关系得出，，，然后化简绝对值，再去括号合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴，即， ∵c为整数， ∴， ∴当时，的周长， 当时，的周长， 当时，的周长， ∴的周长是11或12或13． （3）解：∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴，，， ∴原式 ． 21．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 【答案】(1)800；甲 (2)100 (3)3； (4)1或或或 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间即可求解； （3）观察图象即可知乙机器人因发生故障停留的时间；恢复运行后，乙机器人跑完了余下的行程，可求得此时乙的速度并与甲的速度比较即可； （4）分四种情况考虑，利用一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由图象知，本次比赛全程是，机器人甲先到达终点； （2）解：由图象知，甲机器人跑完了全程， 故甲机器人的平均速度为； （3）解：观察图象知，乙机器人因故障在途中停留了； 恢复运行后乙机器人的平均速度为，而， 即恢复运行后，机器人乙的速度大于机器人甲的速度； （4）解：乙机器人发生故障前的平均速度为， 当时，， 解得； 当时，， 解得或； 当时，， 当时，， 解得； 综上，当出发或或或时，甲乙两个机器人相距． 22．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再证明，即可得证； （3）分3种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ①当点在线段上时，如图1， 由（1）知，； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图2， 由（2）可知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在线段的延长线上时，作交的延长线于点，如图： 同法可得：，， ∴，，， ∴ ∴， ∴； 综上：或或. 23．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 (3)①或；② 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义，建立方程求解即可； （2）根据角的和差关系以及新定义进行判断即可； （3）①按照“伙伴角”的定义可得或，再建立方程解答即可；②按照“伙伴角”的定义可得，再结合折叠的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）解：如图， 两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， 设其伙伴角为， ， 则或， 由图知，， 的伙伴角是或或． （3）①∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或； ②由对折可得：，， ∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 24．已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：平分， ， ， ， ； (2)①； ②与之间的数量关系为或，理由如下： 当点在线段的延长线上时，设， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ，即， ； 当点在线段上时，设， 平分，平分， ， ， ，即， ， ，即， ； 综上，与之间的数量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合已知条件推出，即可得证； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版七年级数学下册期末冲刺卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．将一个能自由转动的转盘平均分为六个扇形，每个扇形区域分别标有1到6的数字．转动转盘两次，下列事件是不可能事件的是（     ） A．两次转出的数字和大于1 B．两次转出的数字和等于6 C．两次转出的数字差等于0 D．两次转出的数字差等于6 3．下列计算结果等于的是（     ） A．（8个a） B．（8个a） C．（4个） D． 4．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，形成（小于），，．当增加时，下列说法正确的是（     ） A．增加 B．减少 C．增加 D．∠1减少 5．围棋起源于中国，棋子分黑白两色，一个不透明的盒子中装有黑白两色棋子共枚，每枚棋子除颜色外都相同．将盒子中的棋子搅拌均匀，从中随机摸出一枚棋子，记下颜色后再放回盒子中．不断重复这一过程，发现黑色棋子出现的频率如图所示，则可估计摸到黑色棋子的概率为（     ） A． B． C． D． 6．如图1所示，长方形中，动点从点出发，以的速度沿着 运动至点A停止，设点P运动的时间为x秒，的面积为，y与x 的关系如图2所示，那么下列说法错误的是（    ）    A． B．长方形的周长为 C．当秒时， D．当时，秒 7．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②④ D．①②④ 8．已知，不等边三角形的两条高分别为4和12，若第三高也是整数，那么，它的长度最大可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 9．已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（     ）厘米/秒时，与全等． A．1或 B．1 C．1或3 D．3 10．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．______． 12．2026年中央广播电视总台春节联欢晚会合肥分会场设置在骆岗公园，小丽和爸爸妈妈一同受邀参加春晚合肥分会场的彩排．在同一排的3个位置中，他们三人可以随机就座，小丽坐在妈妈的左边的概率是________． 13．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 14．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论：①；②；③；④．其中错误的结论是__________（填序号）． 15．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________． 16．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 三、解答题(本大题共8小题.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．某校九年级共5个班，计划开展足球对抗赛．先确定一个班级轮空，剩余班级再通过抽签确定对阵双方． (1)若安排五班轮空，求一班与二班对阵的概率； (2)若随机抽取一个班轮空，则一班与二班对阵的概率是________． 19．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 20．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b，c满足，试判断的形状； (2)若，，且c为整数，求的周长； (3)直接写出化简结果：________． 21．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 22．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 23．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 24．已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $