8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”专题，依据课标要求梳理位置关系判定、切线方程、弦长计算等核心考点，结合高考评价体系分析位置关系判断、切线弦长问题等高频考点分布，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题引领+方法建模+素养提升”，如以2021新高考Ⅱ卷多选题为例，解析几何法与代数法判断位置关系，培养数学思维与模型观念，总结弦长公式、公切线条数判断等规律方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高考冲刺。

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系 2027 课标解读　1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册2.5.1节例1改编)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 B 解析 圆心(0,0)到直线y=x+1,即x-y+1=0的距离d=,而0<<1,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心. 2.(人教A版选择性必修第一册2.5.2节例5改编)圆O1:x2+y2=1与圆O2: x2+y2-4x+1=0的位置关系为(　　) A.相交 B.外离 C.外切 D.内切 A 解析 圆O1:x2+y2=1的圆心为O1(0,0),半径为r1=1.圆O2:x2+y2-4x+1=0的圆心为O2(2,0),半径为r2=.|O1O2|=2,r2-r1<|O1O2|<r2+r1,所以两圆相交. 3.(人教A版选择性必修第一册习题2.5第13题改编)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:y=x+b的距离为2,则实数b的取值范围为(　　) A.(-2,2) B.[-2,2] C.[0,2] D.[-2,0] B 解析 圆x2+y2-4x-4y-10=0整理为(x-2)2+(y-2)2=18,所以圆心坐标为(2,2),半径为3.要求圆上至少有三个不同的点到直线l:y=x+b的距离为2,则圆心到直线的距离d=,所以b的取值范围是[-2,2].故选B. 4.(人教A版选择性必修第一册第93页2.5.1节练习第3题改编)直线 2x-y+2=0被圆(x-1)2+(y-2)2=4截得的弦长为　　　　　.  解析 圆的圆心坐标为(1,2),半径r=2.圆心到直线的距离 d=,所以弦长l=2=2×. 知识梳理 1.直线与圆的位置关系 直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判定方法 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2  1 0 判定方法 几何法:圆心到直线的距离d= d　r  d　r  d　r  代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ　0  Δ　0  Δ　0  直线和圆相交,两交点之间的线段叫做相交弦 < = > > = < 2.圆与圆的位置关系 设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0), 圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). 　判断两圆的位置关系一般用几何法 位置关系 几何法:圆心距d与r1,r2的关系 代数法:两圆方程联立组成的方程组的解的情况 外离 　　　　　  　　 　  外切 　　　　　  一组实数解 相交 　　　 　　  两组不同的实数解 内切 d=|r1-r2|(r1≠r2) 　　 　  内含 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 　 　　  d>r1+r2　 无实数解 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 一组实数解 无实数解 微点拨 两圆的位置关系与公切线的条数 (1)内含:0条;(2)内切:1条;(3)相交:2条;(4)外切:3条;(5)外离:4条. 误区警示 对于圆与圆的位置关系,从交点的个数,也就是方程组的解的个数来判断,有时得不到确切的结论.如当Δ<0时,需要再根据图形判断两圆是外离,还是内含;当Δ=0时,还需要判断两圆是外切,还是内切. 研考点•精准突破 考点一　直线与圆的位置关系 例1　(1)(2025·全国1,7)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个,则r的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞) B 考点一 考点二 考点三 解析 由题知,该圆的圆心为C(0,-2),半径为r,圆心C到直线的距离d==2, ∴要使圆C上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有2个,则d-1<r<d+1,即1<r<3.故选B. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版选择性必修第一册习题2.5第13题)已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.b为何值时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1? 考点一 考点二 考点三 解 如图,由已知得圆x2+y2=4的半径长是2, 圆心O到直线l的距离为. 令=1, 则b=±. 当b=时,与直线y=x+平行且距离等于1的直线是y=x和y=x+2. 直线y=x+2与圆x2+y2=4相切,切点到直线y=x+的距离是1; 直线y=x与圆x2+y2=4相交,两个交点与直线y=x+的距离是1. 因此当b=时,圆x2+y2=4上有三个点到直线l的距离都是1. 同理,当b=-时,圆x2+y2=4上也有三个点到直线l的距离都是1. 综上,当b=±时,圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ,11)已知直线l:ax+by-r2=0,圆C:x2+y2=r2,点A(a,b).下列命题中的真命题有(　　) A.若A在C上,则l与C相切 B.若A在C内,则l与C相离 C.若A在C外,则l与C相离 D.若A在l上,则l与C相切 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 圆心(0,0)到直线ax+by-r2=0的距离d=,若点A在圆上,则a2+b2=r2,则d==|r|,所以直线l与圆C相切,故A正确;若点A在圆内,则a2+b2<r2,则d==|r|,所以直线l与圆C相离,故B正确;若点A在圆外,则a2+b2>r2,则d==|r|,所以直线l与圆C相交,故C错误;若点A在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,则点A也在圆C上,d=|r|,所以直线l与圆C相切,故D正确. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断直线与圆的位置关系的两种方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·北京十一学校模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:mx-y-2m=0,则直线l与圆C的公共点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.与m有关,不能确定 C 解析 直线l的方程可化为(x-2)m-y=0,直线l恒过定点A(2,0),而(2-1)2+(0-2)2 =5<25,所以点A在圆C内,故直线l恒与圆C相交,有两个交点.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)(2022·新高考Ⅱ,15)设点A(-2,3),B(0,a),直线AB关于直线y=a的对称直线为l,已知l与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围为　　　　　.  [] 解析 因为kAB=,所以直线AB关于直线y=a的对称直线为 (3-a)x-2y+2a=0.由题意得≤1,解得≤a≤. 考点一 考点二 考点三 考点二　圆的切线、弦长问题 考向1　切线问题 例2　(1)(多选题)(2025·河北邯郸一模)已知直线l过点(2,1),且直线l与圆C:x2+y2-2x+2y-2=0相切,则直线l的方程可能是(　　) A.y=1 B.x=2 C.4x+3y-11=0 D.3x-4y+3=0 AC 考点一 考点二 考点三 解析 圆C:(x-1)2+(y+1)2=4的圆心C(1,-1),半径r=2. 当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=2,点C到直线x=2的距离为1,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,由直线l与圆C相切得=2,解得k=0或k=-,所以直线l的方程为y=1或4x+3y-11=0.故选AC. 考点一 考点二 考点三 (2)由直线x-y-2=0上的一点P向圆(x+3)2+y2=1引切线,切点为Q,则|PQ|的最小值为　　　　.  解析 圆(x+3)2+y2=1的圆心坐标为C(-3,0),半径为r=1, 所以圆心C(-3,0)到直线x-y-2=0的距离为d=>1. 因为|PC|2=|PQ|2+r2,所以当|PC|取得最小值时,|PQ|取得最小值,而|PC|的最小值为d=,所以|PQ|min=. 考点一 考点二 考点三 规律方法　解决直线与圆相切问题的策略 考点一 考点二 考点三 考向2　弦长问题 例3　(1)(2020·全国Ⅰ,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 考点一 考点二 考点三 解析 圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O1(3,0),A(1,2),当弦BC与O1A垂直时弦最短. 因为|O1A|==2,|O1B|=3, 所以|AB|==1,所以|BC|=2|AB|=2. 考点一 考点二 考点三 教考链接 (人教A版选择性必修第一册2.5.1节例1)已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆C的位置关系;如果相交,求直线l被圆C所截得的弦长. 解 (方法1)联立直线l与圆C的方程,得 消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.所以,直线l与圆C相交,有两个公共点. 把x1=2,x2=1分别代入方程①,得y1=0,y2=3. 所以,直线l与圆C的两个交点是A(2,0),B(1,3).因此|AB|=. 考点一 考点二 考点三 (方法2)圆C的方程x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,因此圆心C的坐标为(0,1),半径为,圆心C(0,1)到直线l的距离d=. 所以,直线l与圆C相交,有两个公共点. 如图,由垂径定理,得|AB|=2. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山西大同一模)若直线4x-3y-m+2=0被圆x2+y2=16所截得的弦的长度为4,则实数m=(　　) A.12 B.8 C.12或-8 D.8或-12 C 解析 由题意得,圆x2+y2=16的圆心坐标为(0,0),半径r=4.∵弦长l=4, ∴圆心到直线的距离d==2,即点(0,0)到直线 4x-3y-m+2=0的距离为2,∴d==2,解得m=12或m=-8.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　直线被圆截得的弦长的两种求法 考点一 考点二 考点三 考点三　圆与圆的位置关系 例4　(1)(2025·山东部分学校高三模拟)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:(x+a)2+(y+2)2=9有三条公切线,则实数a=(　　) A. B. C.± D.± D 解析 由题知,两圆外切,由圆C1的方程得C1(0,0),半径r1=2,由圆C2的方程得C2(-a,-2),半径r2=3,则=2+3=5,解得a=±.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·广东广州二中模拟)圆x2+y2-4x+4y+4=0与圆x2+y2=4的公共弦长为　　　　.  2 解析 (方法1)圆x2+y2-4x+4y+4=0与圆x2+y2=4均过点(2,0),(0,-2),故公共弦长为2. (方法2)两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为x-y-2=0,圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线x-y-2=0的距离d=,圆x2+y2=4的半径为r=2,故公共弦长为2=2×=2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.处理与两圆的位置关系相关的问题时,多用圆心距与两圆半径的和或差的绝对值的大小关系判断,一般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-6y+12=0的公切线有(　　) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条 A 解析 圆C1:(x+1)2+(y+1)2=4,所以圆心C1(-1,-1),半径r1=2. 圆C2:(x-2)2+(y-3)2=1,所以圆心C2(2,3),半径r2=1.因为|C1C2|==5,r1+r2=3,所以|C1C2|>r1+r2. 所以圆C1与圆C2相离.所以两圆有4条公切线.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2025·甘肃白银模拟)已知圆M:(x-1)2+(y+2)2=4与圆N:(x+m)2+(y-1)2=m2相切,则实数m的取值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.3 D.4 BC 解析 若这两个圆外切,则|MN|==2+|m|,解得m=-1或m=3. 若这两个圆内切,则|MN|==||=|2-|m||,m不存在.故选BC. 考点一 考点二 考点三 $