8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，按判定方法、性质应用、综合问题逻辑架构知识，通过双基自测明考向、核心梳理明考点、题型突破明方向、限时训练固基础的教学流程，帮助学生系统掌握位置判定、弦长切线、动态最值等问题的解题思路。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新采用表格对比几何与代数判定方法，设计切线方程“留一代一”推导训练、动态最值几何转化策略等教学活动，配合分层练习（基础自测、能力提升、综合应用），有效培养学生推理能力与模型观念，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供精准支持。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 【高考考向预测】 直线与圆可通过圆心到直线的距离、半径判定相交、相切、相离，圆与圆依靠圆心距、两圆半径和差判断位置，常考查弦长、切线方程、公共弦、最值及轨迹问题；近三年多以选填小题为主，考频稳定；预测2027 年侧重几何性质活用、动态最值与参数范围求解，也会结合平面向量、不等式综合命题。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(　 　) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　 　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.(　 　) (4)在圆中最长的弦是直径.(　 　) 2.圆x2+y2=1与直线x+y+1=0的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 3.圆C1：(x-3)2+y2=4与圆C2：x2+y2=1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 4.若直线x+y-m=0被圆C：(x-1)2+(y+1)2=4截得的弦长为2，则m等于(　　) A.±2 B. C.2 D.2 【核心梳理●明考点】 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量 化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=2. (2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|=·. 1.牢记三个相关结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换. 2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 【题型突破●明方向】 题型一　直线与圆的位置关系 命题点1　位置关系的判断 例1　已知圆C：x2+y2-8y+15=0，直线l：x+ky-1-4k=0，则直线l与圆C的位置关系为(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切 命题点2　弦长问题 例2　(2025·天津)已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　　　　. 命题点3　切线问题 例3　(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为(　　) A.x=4 B.15x+8y-36=0 C.y=-3 D.8x-15y-3=0 命题点4　直线与圆位置关系中的最值问题 例4　(2026·长治模拟)从点P(m，2-m)向圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为(　　) A.5 B. C. D.3 跟踪训练1　(1)(多选)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0，下列选项正确的是(　　) A.直线过定点(-2，1) B.直线与圆必相交 C.圆截y轴所得弦长为2 D.直线被圆截得的最短弦长为2 (2)(2025·全国Ⅰ卷)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3) C.(3，+∞) D.(0，+∞) 题型二　圆与圆的位置关系 例5　(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2有三条公切线时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10 C.若圆C1和圆C2有2条公切线，则a的取值范围是 D.当a=时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 圆的曲线系方程 我们把具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系.常见的圆系方程有如下几种： (1)以(a，b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0). 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0(D2+E2-4λ>0). (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. (3)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1，此圆系不含圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0). 特别地，当λ=-1时，上述方程为根轴方程，即两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ=0. 典例　(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知动圆C：(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2(m≠0)，则下列说法中正确的有(　　) A.存在圆C经过原点 B.存在圆C，使圆上所有点均在第一象限 C.动圆C的圆心在一条定直线上 D.所有动圆C仅存在唯一一条公切线 跟踪训练2　(多选)已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x-4 C.线段AB的长为 D.过点A，B的圆系方程可以记为(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R，且λ≠-1) 题型三　直线与圆的位置关系的综合问题 例6　已知直线l：2x-y+2=0与圆O：x2+y2=r2(r>0)交于M，N两点，且|MN|=. (1)求r的值； (2)过l上且在圆O外的一动点P作圆O的两条切线l1，l2，切点分别为A，B. ①当点A的坐标为(r，0)时，求点B的坐标； ②证明：直线AB过定点. 跟踪训练3　已知点A(-2，0)，B(1，0)，动点P满足|PA|=2|PB|，点T为线段AP的中点. (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点(1，3)作直线l与曲线C交于M，N两点，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1+k2. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知直线3x+4y+4=0与圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 2.已知直线x-y-2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A.2 B.2 C.2 D.3 3.已知直线l：x-y+4=0，圆C：x2+y2=r2(r>0)，若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为2，则r等于(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 4.如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点(2，1)，若圆C经过点A(2，15)，则圆C的半径为(　　) A.8 B.7 C.10 D.8 5.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，则点Q(cos α，sin α)到点P的距离的最大值为(　　) A.4 B.8 C.5|sin α| D.|3sin α+4cos α| 6.(2026·衡水检测)已知A，B是圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点，A在y轴左侧，动点M满足|MA|=|MB|，记点M的轨迹为E，则(　　) A.E与圆O相切 B.E是两条平行的直线 C.∠MAB的最大值为 D.E上的点到原点O的距离的最大值为6 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知直线l：y=kx-k，k∈R，圆C：x2+y2=4，则下列结论正确的有(　　) A.直线l过定点(1，0) B.直线l与圆C恒相交 C.直线l被圆C截得的弦长最短为2 D.若直线l被圆C截得的弦长为，则k=±1 8.已知圆C1：(x-1)2+y2=1与圆C2：(x+1)2+(y-2)2=4交于A，B两点，则(　　) A.圆C1与圆C2有两条公切线 B.直线AB的方程为4x-4y-1=0 C.|AB|= D.线段AB的垂直平分线的方程为x+y-1=0 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知圆x2+y2=1和圆(x+3)2+(y-a)2=16相切，则a=　　　　　　　. 10.(2026·南京检测)已知圆C：x2+(y+2)2=r2(r>0)与直线l：y=x+2，直线l上存在一点P，过点P可以作两条互相垂直且与圆C相切的直线，则r的取值范围是　　　　　　. 四、解答题(共26分) 11.(12分)已知定点A(1，-3)，点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点，C为AB的中点. (1)求C的轨迹方程；(4分) (2)若过定点P的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线l的方程.(8分) 12.(14分)已知圆C1：(x-1)2+(y+1)2=4，圆C2：(x-m)2+y2=m2(m>0). (1)若两圆内含，求实数m的取值范围；(6分) (2)是否存在实数m，使得两圆的公共弦长为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.(8分) [每小题6分，共12分] 13.(多选)(2025·武汉模拟)已知圆O：x2+y2=8，直线l与圆O交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2+y1y2=-4，x1+y1=x2+y2>0，则(　　) A.∠AOB= B.△PAB面积的最大值为6 C.直线l的方程为y=-2x+2 D.满足到直线l的距离为的点P有且仅有3个 14.(多选)设动直线l：mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C：(x-4)2+(y-5)2=12于A，B两点(点C为圆心)，则下列说法正确的有(　　) A.直线l过定点(2，3) B.当|AB|取得最小值时，m=1 C.当∠ACB最小时，其余弦值为 D.·的最大值为24 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系 【高考考向预测】 直线与圆可通过圆心到直线的距离、半径判定相交、相切、相离，圆与圆依靠圆心距、两圆半径和差判断位置，常考查弦长、切线方程、公共弦、最值及轨迹问题；近三年多以选填小题为主，考频稳定；预测2027 年侧重几何性质活用、动态最值与参数范围求解，也会结合平面向量、不等式综合命题。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(　 　) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　 　) (3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.(　 　) (4)在圆中最长的弦是直径.(　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√ 2.圆x2+y2=1与直线x+y+1=0的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 【答案】A 【解析】圆x2+y2=1的圆心O(0，0)到直线x+y+1=0的距离d==<1， 所以圆x2+y2=1与直线x+y+1=0的位置关系是相交. 3.圆C1：(x-3)2+y2=4与圆C2：x2+y2=1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【答案】B 【解析】对于圆C1：(x-3)2+y2=4，圆心为C1(3，0)，半径r1=2； 对于圆C2：x2+y2=1，圆心为C2(0，0)，半径r2=1. 两圆的圆心距d=3，又r1+r2=2+1=3， 所以d=r1+r2，所以两圆外切. 4.若直线x+y-m=0被圆C：(x-1)2+(y+1)2=4截得的弦长为2，则m等于(　　) A.±2 B. C.2 D.2 【答案】A 【解析】由题意可得圆的圆心为C(1，-1)，半径r=2， 则圆心C到直线x+y-m=0的距离d==， 又因为截得的弦长为2， 所以2=2， 化简得4-=2，解得m=±2. 【核心梳理●明考点】 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 相离 相切 相交 图形 量 化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|) 图形 量的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 3.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=2. (2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|=·. 1.牢记三个相关结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换. 2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 【题型突破●明方向】 题型一　直线与圆的位置关系 命题点1　位置关系的判断 例1　已知圆C：x2+y2-8y+15=0，直线l：x+ky-1-4k=0，则直线l与圆C的位置关系为(　　) A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切 【答案】D 【解析】由x2+y2-8y+15=0可得x2+(y-4)2=1， 直线l的方程x+ky-1-4k=0， 整理得x-1+k(y-4)=0， 则直线l恒过点(1，4)，又点(1，4)在圆C上， 故直线l与圆C相交或相切. 【思维升华】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 命题点2　弦长问题 例2　(2025·天津)已知l1：x-y+6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2(r>0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　　　　. 【答案】2 【解析】由题意得直线l1：x-y+6=0与x轴交于A(-6，0)，与y轴交于B(0，6)， 所以|AB|==6，则|CD|=2， 圆(x+1)2+(y-3)2=r2的半径为r，圆心(-1，3)到直线l1：x-y+6=0的距离为d==， 故|CD|=2=2=2， 解得r=2(负值舍去). 【思维升华】弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长. (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2. 命题点3　切线问题 例3　(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为(　　) A.x=4 B.15x+8y-36=0 C.y=-3 D.8x-15y-3=0 【答案】AB 【解析】由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，-3)的切线斜率存在时，设切线方程为 y=k(x-4)-3， 则圆心到切线的距离d==1， 可得k=-， 所以y=-(x-4)-3，即15x+8y-36=0； 当切线斜率不存在时，切线方程为x=4，显然与圆相切， 综上，切线方程为15x+8y-36=0或x=4. 【思维升华】当切线斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况. 命题点4　直线与圆位置关系中的最值问题 例4　(2026·长治模拟)从点P(m，2-m)向圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为(　　) A.5 B. C. D.3 【答案】C 【解析】圆Q：(x+2)2+(y+2)2=1的圆心为Q(-2，-2)，半径r=1， 易知点P(m，2-m)在直线x+y-2=0上， 则圆心Q(-2，-2)到直线x+y-2=0的距离d==3>1， 可知直线x+y-2=0与圆Q相离， 设其中一个切点为A，如图所示， 则切线长|PA|==≥=， 所以切线长的最小值为. 【思维升华】涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. 跟踪训练1　(1)(多选)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0，下列选项正确的是(　　) A.直线过定点(-2，1) B.直线与圆必相交 C.圆截y轴所得弦长为2 D.直线被圆截得的最短弦长为2 【答案】BCD 【解析】对于A，由直线x+my-m-2=0，整理可得(y-1)m+x-2=0， 令解得则直线x+my-m-2=0过定点(2，1)，所以A错误； 对于B，圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为(1，2)，半径r=2，由定点(2，1)到圆心(1，2)的距离为=<2=r，得直线与圆必相交，所以B正确； 对于C，由圆心为(1，2)，得圆心到y轴的距离为1，所以圆截y轴所得弦长为2=2，所以C正确； 对于D，当定点与圆心的连线垂直于直线x+my-m-2=0时，截得的弦是最短的， 此时最短弦对应的弦心距为定点到圆心的距离d=， 所以最短弦长为2=2=2，所以D正确. (2)(2025·全国Ⅰ卷)已知圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y=x+2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，3) C.(3，+∞) D.(0，+∞) 【答案】B 【解析】由题意，在圆x2+(y+2)2=r2(r>0)中，圆心为E(0，-2)，半径为r， ∵圆心E(0，-2)到直线y=x+2的距离为d==2， 故由图可知，当r=1时， 圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有1个点(A点)到直线y=x+2的距离等于1； 当r=3时， 圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有3个点(B，C，D点)到直线y=x+2的距离等于1，则当r的取值范围为(1，3)时， 圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上有且仅有2个点到直线y=x+2的距离等于1. 题型二　圆与圆的位置关系 例5　(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2有三条公切线时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10 C.若圆C1和圆C2有2条公切线，则a的取值范围是 D.当a=时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】对于A，由圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R， 即(x-4)2+(y+a)2=4，a∈R，可知C1(1，2a)，C2(4，-a)，故直线C1C2的方程为y+a=-a(x-4)， 即y=-a(x-3)，则直线C1C2过定点(3，0)，A正确； 对于B，由A可知圆C1的半径为3，圆C2的半径为2，当圆C1和圆C2有三条公切线时，圆C1和圆C2外切，则当点P，C1，C2，Q共线且C1，C2在线段PQ上时，|PQ|max=3×2+2×2=10，B正确； 对于C，若圆C1和圆C2有2条公切线，则两圆相交，则3-2<|C1C2|<3+2， 即1<<5，解得-<a<，C错误； 对于D，由C可知，当a=时，两圆相交， 圆C1：(x-1)2+=9， 圆C2：(x-4)2+=4， 将两方程相减可得公共弦方程为6x-2y-=0， 则C1到直线6x-2y-=0的距离为=， 则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2=，D正确. 圆的曲线系方程 我们把具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系.常见的圆系方程有如下几种： (1)以(a，b)为圆心的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0). 与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同心的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+λ=0(D2+E2-4λ>0). (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0. (3)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1，此圆系不含圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0). 特别地，当λ=-1时，上述方程为根轴方程，即两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ=0. 典例　(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知动圆C：(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2(m≠0)，则下列说法中正确的有(　　) A.存在圆C经过原点 B.存在圆C，使圆上所有点均在第一象限 C.动圆C的圆心在一条定直线上 D.所有动圆C仅存在唯一一条公切线 【答案】ABC 【解析】对于A，将(0，0)代入动圆C的方程， 则有(2m+1)2+(m+1)2=4m2， 即m2+6m+2=0，Δ=62-4×1×2=28>0，此方程有解，所以存在圆C经过原点，故A正确； 对于B，圆C的圆心为(2m+1，m+1)，半径为2|m|，要使得圆上所有点均在第一象限，则解得-<m<1，且m≠0，则存在圆C使得圆上所有点均在第一象限，故B正确； 对于C，令消去m得a-2b+1=0，故动圆C的圆心在直线x-2y+1=0上，故C正确； 对于D，当公切线斜率存在时，设公切线方程为y=kx+b，则由直线与圆相切有2|m|=，对一切m≠0成立，即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0对一切m≠0恒成立，所以即当公切线斜率不存在时，圆心到直线x=1的距离为2|m|，即半径，故x=1也是所有动圆C的公切线，所以公切线方程为y=-x+和x=1，有两条，故D错误. 【思维升华】(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 跟踪训练2　(多选)已知圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　) A.两圆有两条公切线 B.直线AB的方程为y=2x-4 C.线段AB的长为 D.过点A，B的圆系方程可以记为(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R，且λ≠-1) 【答案】ABC 【解析】因为圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2-4x+2y+4=0相交， 所以两圆有两条公切线，故A正确； 圆O：x2+y2=4，圆M：x2+y2-4x+2y+4=0，两方程相减得y=2x-4， 所以直线AB的方程为y=2x-4，故B正确； 因为圆O的半径r=2，圆心O(0，0)到直线AB的距离d==， 所以线段AB的长|AB|=2=2=，故C正确； 方程(x2+y2-4)+λ(x2+y2-4x+2y+4)=0(λ∈R，且λ≠-1)表示圆系，但此圆系不包括圆M，故D不正确. 题型三　直线与圆的位置关系的综合问题 例6　已知直线l：2x-y+2=0与圆O：x2+y2=r2(r>0)交于M，N两点，且|MN|=. (1)求r的值； (2)过l上且在圆O外的一动点P作圆O的两条切线l1，l2，切点分别为A，B. ①当点A的坐标为(r，0)时，求点B的坐标； ②证明：直线AB过定点. (1)【解析】圆O的圆心为O(0，0)，半径为r. 点O到l的距离为d==， 所以r===2. (2)①【解析】因为A，B分别是过点P的两条切线与圆O的切点，所以点A，B关于直线OP对称. 由(1)知点A的坐标为(2，0)， 则l1：x=2， 由得 则P(2，6)，所以直线OP的方程为y=3x. 设B(xB，yB)，则 解得 即B. ②【证明】设点P(t，2t+2). 由题意知PA⊥OA，PB⊥OB，所以A，B在以OP为直径的圆上，如图所示， 以OP为直径的圆的方程为x(x-t)+y(y-2t-2)=0， 与x2+y2=4作差，可得直线AB的方程为4-tx-(2t+2)y=0， 整理得t(-x-2y)+4-2y=0， 由解得 即直线AB过定点(-4，2). 【思维升华】直线与圆中定点问题的解题策略 (1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为 ①设直线方程为y=kx+m(或x=ny+t)，联立直线与圆的方程，得出根与系数的关系； ②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值； ③将②的结果代入y=kx+m(或x=ny+t)，得到定点坐标. (2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为 ①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)； ②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)； ③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法) 跟踪训练3　已知点A(-2，0)，B(1，0)，动点P满足|PA|=2|PB|，点T为线段AP的中点. (1)求点T的轨迹C的方程； (2)过点(1，3)作直线l与曲线C交于M，N两点，设直线BM，BN的斜率分别为k1，k2，求k1+k2. 【解析】(1)设T(x，y)，由A(-2，0)，点T为线段AP的中点，可得P(2x+2，2y)， 又|PA|=2|PB|，则 =2， 即=， 化简得x2+y2=1. (2)当直线l的斜率不存在时，不满足题意， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为y-3=k(x-1)， 即y=kx+3-k，与x2+y2=1联立可得x2+(kx+3-k)2=1， 化简得(k2+1)x2+2k(3-k)x+k2-6k+8=0， 则x1+x2=，x1x2=. 由Δ=4k2(k-3)2-4(k2+1)[(k-3)2-1]>0， 解得k>. 又k1+k2=+ =+=++2k =+2k =+2k =+2k =+2k=-， 即k1+k2=-. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知直线3x+4y+4=0与圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 【答案】C 【解析】圆M：x2+y2-2ax=0(a>0)的圆心M(a，0)，半径r1=a， 由直线3x+4y+4=0与圆M相切，得=a，解得a=2， 圆N：(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1，1)，半径r2=1，M(2，0)，r1=2，r1+r2=3，r1-r2=1， 而|MN|==∈(1，3)，所以圆M和圆N相交. 2.已知直线x-y-2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A.2 B.2 C.2 D.3 【答案】B 【解析】方法一　设圆心(0，0)到直线x-y-2=0的距离为d， 由点到直线的距离公式得d==， 因为圆的半径为2，所以|AB|=2=2. 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 消去y化简得x2-2x=0， 则x1+x2=2，x1x2=0， 所以|AB|=·=×2=2. 3.已知直线l：x-y+4=0，圆C：x2+y2=r2(r>0)，若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为2，则r等于(　　) A.2 B.4 C.2 D.4 【答案】D 【解析】圆x2+y2=r2的圆心C(0，0)到直线l的距离d==2， 若圆C上有且仅有三个点到直线l的距离为2，则2=，即r=4. 4.如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1)，图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点(2，1)，若圆C经过点A(2，15)，则圆C的半径为(　　) A.8 B.7 C.10 D.8 【答案】B 【解析】由图可知，直线过点(3，0)，(0，3)，所以直线方程为+=1， 即y=-x+3，斜率为-1. 由切点为(2，1)，而A(2，15)在圆C上， 所以圆心的纵坐标为=8. 设圆心坐标为(a，8)， 则·(-1)=-1，解得a=9， 所以圆心坐标为(9，8). 所以半径为=7. 5.已知P为圆(x-3)2+(y-4)2=4上一点，则点Q(cos α，sin α)到点P的距离的最大值为(　　) A.4 B.8 C.5|sin α| D.|3sin α+4cos α| 【答案】B 【解析】由(x-3)2+(y-4)2=4知圆心为C1(3，4)，半径r1=2， 又Q(cos α，sin α)， 所以点Q的轨迹方程为x2+y2=1， 则圆心为C2(0，0)，半径r2=1， 故|C1C2|==5>r1+r2=3，两圆外离， 所以|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=5+2+1=8. 6.(2026·衡水检测)已知A，B是圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点，A在y轴左侧，动点M满足|MA|=|MB|，记点M的轨迹为E，则(　　) A.E与圆O相切 B.E是两条平行的直线 C.∠MAB的最大值为 D.E上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【解析】对于B，设M(x，y)，由题意得，A(-1，0)，B(1，0)，因为|MA|=|MB|，代入坐标可得=·， 整理得x2-6x+y2+1=0，即(x-3)2+y2=8， 故点M的轨迹E是圆心为C(3，0)，半径为2的圆，故B错误； 对于A，因为圆O与圆C的圆心距|OC|=3，满足2-1<|OC|<1+2，故两圆相交，故A错误； 对于C，如图，当AM与圆C相切时，∠MAB取得最大值，此时记切点为M1， 因为∠AM1C=，则sin∠M1AB===，故∠MAB的最大值即∠M1AB=，故C正确； 对于D，因为圆C的圆心C(3，0)与原点O都在x轴上， 故圆C与x轴的右交点D(3+2，0)到原点O的距离最大，且距离的最大值为3+2，故D错误. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.已知直线l：y=kx-k，k∈R，圆C：x2+y2=4，则下列结论正确的有(　　) A.直线l过定点(1，0) B.直线l与圆C恒相交 C.直线l被圆C截得的弦长最短为2 D.若直线l被圆C截得的弦长为，则k=±1 【答案】ABD 【解析】对于A，直线l：y=kx-k，即y=k(x-1)，则直线l过定点(1，0)，故A正确； 对于B，因为12+02=1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2+y2=4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确； 对于C，当直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x=1，直线l被圆C截得的弦长为2=2，但此时直线l的斜率不存在，不符合题意，故C错误； 对于D，直线l：kx-y-k=0，圆心C(0，0)到直线l的距离d==，得k=±1，故D正确. 8.已知圆C1：(x-1)2+y2=1与圆C2：(x+1)2+(y-2)2=4交于A，B两点，则(　　) A.圆C1与圆C2有两条公切线 B.直线AB的方程为4x-4y-1=0 C.|AB|= D.线段AB的垂直平分线的方程为x+y-1=0 【答案】AD 【解析】对于A，由圆C1：(x-1)2+y2=1，则圆心C1(1，0)，半径r1=1， 由圆C2：(x+1)2+(y-2)2=4，则圆心C2(-1，2)，半径r2=2， 所以|C1C2|=2∈(1，3)，即r2-r1<|C1C2|<r2+r1，故两圆相交， 所以圆C1与圆C2有两条公切线，故A正确； 对于B，两圆作差有(x+1)2+(y-2)2-(x-1)2-y2=3， 整理得4x-4y+1=0，故B错误； 对于C，由C1(1，0)到4x-4y+1=0的距离d==， 则|AB|=2=，故C错误； 对于D，由B知kAB=1，则线段AB的垂直平分线的斜率k=-1，且直线过C1， 故线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-1)，即x+y-1=0，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知圆x2+y2=1和圆(x+3)2+(y-a)2=16相切，则a=　　　　　　　. 【答案】0或4或-4 【解析】由圆x2+y2=1可知圆心C1(0，0)，半径r1=1， 由圆(x+3)2+(y-a)2=16可知圆心C2(-3，a)，半径r2=4， 所以当两圆内切时，圆心距|C1C2|=r2-r1=3=，解得a=0； 当两圆外切时，圆心距|C1C2|=r2+r1=5=，解得a=4或a=-4， 所以a的值为0或4或-4. 10.(2026·南京检测)已知圆C：x2+(y+2)2=r2(r>0)与直线l：y=x+2，直线l上存在一点P，过点P可以作两条互相垂直且与圆C相切的直线，则r的取值范围是　　　　　　. 【答案】[，+∞) 【解析】设两切点分别为A，B，则|PA|=|PB|，由题意知PA⊥PB，则四边形PACB是正方形， 故|PC|=r， 因此只要直线l上存在点P，使得|PC|=r即可满足题意. 又C(0，-2)，直线l：y=x+2，即x-y+2=0， 所以d==2≤r，解得r≥， 所以r的取值范围是[，+∞). 四、解答题(共26分) 11.(12分)已知定点A(1，-3)，点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点，C为AB的中点. (1)求C的轨迹方程；(4分) (2)若过定点P的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线l的方程.(8分) 【解析】(1)设C点的坐标为(x，y)， 则点B的坐标为(2x-1，2y+3)， ∵点B为圆(x+1)2+(y+1)2=4上的动点， ∴(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4， 化简得x2+(y+2)2=1， 故C的轨迹方程为x2+(y+2)2=1. (2)圆x2+(y+2)2=1的圆心为(0，-2)，半径r=1， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=， 此时圆心到直线x=的距离是， ∴|MN|=2=，满足条件； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k， 化简得kx-y-k-1=0， ∵|MN|=， ∴圆心到直线l的距离d==， 由圆心到直线l的距离公式得 d===， 即2=， 整理得4k-3=0，解得k=， 故直线l的方程为y+1=， 即6x-8y-11=0. 综上，直线l的方程为x=或6x-8y-11=0. 12.(14分)已知圆C1：(x-1)2+(y+1)2=4，圆C2：(x-m)2+y2=m2(m>0). (1)若两圆内含，求实数m的取值范围；(6分) (2)是否存在实数m，使得两圆的公共弦长为2？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.(8分) 【解析】(1)由题意，得C1(1，-1)，半径r1=2，C2(m，0)，半径r2=m(m>0). 因为两圆内含，所以|C1C2|<|r1-r2|， 所以<|2-m|， 即(m-1)2+1<(2-m)2，解得m<1， 又因为m>0，所以0<m<1， 故实数m的取值范围为(0，1). (2)两圆方程相减，可得两圆的公共弦所在直线的方程为(m-1)x+y-1=0. 假设存在实数m，使得两圆的公共弦长为2， 因为C1(1，-1)，半径r1=2， 所以点C1到直线(m-1)x+y-1=0的距离d==. 又因为d=， 所以=， 解得m2=，因为m>0，所以m=. [每小题6分，共12分] 13.(多选)(2025·武汉模拟)已知圆O：x2+y2=8，直线l与圆O交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2+y1y2=-4，x1+y1=x2+y2>0，则(　　) A.∠AOB= B.△PAB面积的最大值为6 C.直线l的方程为y=-2x+2 D.满足到直线l的距离为的点P有且仅有3个 【答案】BD 【解析】对于A，依题意，O(0，0)，·=x1x2+y1y2=-4，||=||=2， 则cos∠AOB==-，而0<∠AOB≤π，解得∠AOB=，A错误； 对于B，|AB|=2|OA|cos=2，圆心O到直线AB的距离为|OA|sin=， 因此点P到直线AB距离的最大值为+2=3，△PAB面积的最大值为×2×3=6，B正确； 对于C，由x1+y1=x2+y2，得x1-x2=-(y1-y2)，直线l的斜率k=-1， 设直线l的方程为y=-x+m，则=，解得m=±2，由x1+y1=x2+y2>0， 得m=x1+y1>0，因此m=2，则直线l的方程为y=-x+2，C错误； 对于D，由圆O的半径为2，圆心O到直线l的距离为， 得圆O上到直线l的距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点P有且仅有3个，D正确. 14.(多选)设动直线l：mx-y-2m+3=0(m∈R)交圆C：(x-4)2+(y-5)2=12于A，B两点(点C为圆心)，则下列说法正确的有(　　) A.直线l过定点(2，3) B.当|AB|取得最小值时，m=1 C.当∠ACB最小时，其余弦值为 D.·的最大值为24 【答案】AD 【解析】对于A，由mx-y-2m+3=0有m(x-2)-y+3=0，令 所以所以直线l过定点(2，3)，故A正确； 对于B，点(2，3)在圆C内，圆C的圆心为C(4，5)，当|AB|取得最小值时，直线l与过点C(4，5)和(2，3)的直线垂直， 所以m·=-1，解得m=-1，故B错误； 对于C，当∠ACB最小时，此时|AB|最小，即直线l与过点C(4，5)和(2，3)的直线垂直， 则==2⇒|AB|=4，又|AC|=|BC|=2，由余弦定理有cos∠ACB==，故C错误； 对于D，·=||||cos〈，〉=≤=24，即·的最大值为24，故D正确. / 学科网（北京）股份有限公司 $