8.7抛物线 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦抛物线专题，依据课标要求覆盖定义、标准方程、几何性质及简单应用等核心考点，通过教材改编题与模拟题对接高考评价体系，分析定义应用、方程求解、性质探究等高频考点权重，归纳选择、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“考点突破+规律总结+变式训练”策略，如例1利用定义转化距离求最值，培养数学思维；例2结合几何性质解决拱桥问题，强化数学语言表达。总结定义法、待定系数法等解题技巧，设易错警示，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

第7节　抛物线 高考总复习 2027 课标解读　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.了解抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节练习第1题改编)已知抛物线的准线方程为x=1,则该抛物线的标准方程为(　　) A.x2=-4y B.x2=4y C.y2=4x D.y2=-4x D 解析 由题知,抛物线的准线方程为x=1,所以抛物线开口向左,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则=1,即p=2,所以抛物线的标准方程为y2=-4x. 2.(人教B版选择性必修第一册2.7.1节练习B第5题改编)已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,则点M的轨迹方程是　　 　　.  y2=16x 解析 因为点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,所以点M到点F(4,0)的距离与它到直线l1:x+4=0的距离相等,即点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,直线l1:x+4=0为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则=4,即p=8.所以点M的轨迹方程为y2=16x. 3.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节练习第1题改编)抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是　　　　　.  5 解析 抛物线的方程为y2=10x,则p=5,所以抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5. 4.(人教A版选择性必修第一册3.3.1节练习第3(1)题改编)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上一点,若|AF|=3,则点A的横坐标为　　　　　.  2 解析 设A(m,n),由抛物线的方程可知p=2,则由抛物线的定义可得|AF|=m+=m+1=3,所以m=2. 知识梳理 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的　　　　.  (2)数学表达式:P={M||MF|=d}(d为点M到准线l的距离). 微思考 抛物线的定义中,为什么要强调l不经过点F? 相等 准线 提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线. 2.抛物线的标准方程和简单几何性质等于焦点到抛物线顶点的距离 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形         顶点 原点 对称轴 x轴 y轴 焦点 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其 中P(x0,y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 取决于一次项变量(x或y)的取值范围 微点拨 1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确选择抛物线的标准方程. 2.由y2=mx或x2=my(m≠0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可. 研考点•精准突破 考点一　抛物线的定义及应用 例1　(1)(2025·全国2,6)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 C 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 由直线BF的方程:y=-2x+2知F(1,0),所以=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以|AF|=|AB|=+xA=1+4=5,故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 教考链接 (人教A版选择性必修第一册习题3.3第5题)如图,M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,以Fx为始边,FM为终边的角∠xFM=60°,求|FM|. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解 由抛物线的方程y2=4x,可得准线方程为x=-1,焦点坐标为F(1,0), 设M的坐标为(,y),y>0且>1, 又∠xFM=60°,∴y=-1),整理得y2-4y-4=0,解得y=2或 y=-(舍去), ∴由抛物线的定义可得|FM|=-(-1)=4. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)[一题多变]设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F是抛物线y2=4x的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.5 B 解析 如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 AI变式 [变式1](变已知点在抛物线的左侧)将本例(2)中的点B的坐标改为(3,4),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.  2 解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部. ∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0), ∴|PB|+|PF|≥|BF|==2,即|PB|+|PF|的最小值为2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [变式2](变为点线距离)已知抛物线y2=4x,P是抛物线上任意一点,则P到直线l:x=-1的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是　　　.  2 解析 易知直线l:x=-1为抛物线的准线,抛物线y2=4x与直线3x+4y+7=0不相交.由抛物线的定义可知,点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离,∴点P到直线l的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离,即=2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　抛物线定义的应用策略 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　抛物线的标准方程 例2　(1)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M的纵坐标为-4,该点到准线的距离为6,则该抛物线的标准方程为(　　) A.y2=-16x B.y2=8x或y2=4x C.y2=-8x D.y2=16x或y2=8x D 解析 因为抛物线的准线方程是x=-,而点M到准线的距离为6,所以点M的横坐标是6-.所以点M的坐标为(6-,-4).又因为点M在抛物线上,所以32=2p(6-),解得p=8或p=4,故该抛物线的标准方程为y2=16x或y2=8x. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)图中是抛物线形拱桥,当水面在m时,拱顶距离水面2米,水面宽度为8米,则当水面宽度为10米时,拱顶与水面之间的距离为(　　) A.米 B.米 C.米 D.米 D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 以拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 可设拱桥所在抛物线的方程为x2=-2py(p>0).又抛物线过点(4,-2),则16=4p,解得p=4,则抛物线的方程为x2=-8y.当x=5时,y=-,故当水面宽度为10米时,拱顶与水面之间的距离为米.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)在平面直角坐标系Oxy中,已知F(1,0),点M到直线x=-3的距离比到点F的距离大2,记M的轨迹为C,则C的方程是 　　　　.  y2=4x 解析 由点M到直线x=-3的距离比到点F的距离大2,可转化为点M到直线x=-1的距离等于到点F(1,0)的距离.所以M的轨迹是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,可得=1,所以p=2,所以曲线C的方程为y2=4x. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　求抛物线的标准方程的两种常用方法 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](1)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则抛物线的方程为(　　) A.y2=x B.y2=9x C.y2=x D.y2=3x D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点E,D. 设|BF|=a,则|BC|=2a,由抛物线的定义得|BD|=a,故∠BCD=30°, ∴在Rt△ACE中,2|AE|=|AC|. ∵|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a, ∴3+3a=6,解得a=1. ∵BD∥FG,∴,∴p=. 因此抛物线的方程为y2=3x. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知抛物线C的准线与圆M:(x-1)2+(y+1)2=4相切,请写出一个抛物线C的标准方程:　　　 　　　　　.  x2=-4y(答案不唯一) 解析 与圆M:(x-1)2+(y+1)2=4相切且与坐标轴平行或垂直的直线有y=1, y=-3,x=-1,x=3,对应的抛物线方程是x2=-4y,x2=12y,y2=4x,y2=-12x. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　抛物线的几何性质 例3　(1)(2025·安徽逐梦星辰杯大联考)已知点P在抛物线y2=4x上,则点P到点(4,0)的距离的最小值为(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 C 解析 记点M(4,0),P(x0,y0),则=4x0,所以|MP|2=(x0-4)2+ -8x0+16+4x0=(x0-2)2+12,由x0≥0,所以|MP|2≥12⇒|MP|≥2,当且仅当x0=2时,|MP|取最小值2.故点P到点(4,0)的距离的最小值为2.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·江西景德镇模拟)已知圆(x-m)2+y2=4与抛物线C:y2=4mx(m>0)交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若∠AFB=120°,则m的值为　　　　　.  考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 由题意可得抛物线C:y2=4mx(m>0)的焦点为F(m,0),且为已知圆的圆心,又圆(x-m)2+y2=4的半径r=2,其与抛物线有两个交点,所以m<r=2. 交点A,B关于x轴对称,设A(,y1),又∠AFB=120°,则y1=|AF|sin 60°=,所以=m±|AF|cos 60°=m±1,当=m+1时,可得m=(负值舍去); 当=m-1时,可得m=(负值舍去).综上,m=或m=. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何性质,体现了数形结合思想解题的直观性. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](1)抛物线具有一条重要的光学性质:从焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线y2=4x的焦点F发出的入射光线过点(),则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在的直线方程为(　　) A.y=-1 B.y=2 C.y=3 D.y=4 D 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),过抛物线y2=4x的焦点F和点()的直线方程为y=(x-1)=(x-1).联立可得y2-3y-4=0,解得y=4或y=-1,结合已知条件可知反射光线所在的直线方程为y=4.故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为　　　　.  2 解析 由题意知抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1,图略.设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1,则|MM1|=. ∵|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,∴|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3.故点M到x轴的距离d≥2,故最短距离为2. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(十二)　抛物线焦点弦的结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则 (1)x1x2=,y1y2=-p2; (2)弦长|AB|=x1+x2+p=; (3)以弦AB为直径的圆与准线相切; (4)S△AOB=; 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (5)∠CFD=90°; (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (7)|AF|=; (8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上; (9)通径是过焦点最短的弦,p越大,通径越大,抛物线的开口就越大,p越小,通径越小,抛物线的开口就越小. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例(1)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|FB|,则点A到y轴的距离为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 C 解析 已知焦点F到准线的距离为2,得p=2,可得y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+1,与抛物线方程y2=4x联立可得y2-4my-4=0,∴y1y2=-4, ∴x1x2==1.① 又|AF|=3|FB|,∴x1+1=3(x2+1),∴x1=3x2+2.② 根据①②解得x1=3(负值舍去).故点A到y轴的距离为3. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,点A在第一象限,O为坐标原点,且S△AOF=2S△BOF,则直线l的斜率为(　　) A.2 B. C.1 D.-1 A 解析 如图,设直线l的倾斜角为α, 抛物线的准线l1:x=-1,作AM⊥l1于点M,BN⊥l1于点N,根据抛物线的定义,|AM|=|AF|=|DF|+|AF|·cos α =2+|AF|·cos α,所以|AF|=,同理|BF|=. 由S△AOF=2S△BOF知|AF|=2|BF|,得cos α=. 故直线l的斜率k=tan α=2.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练](1)设F为抛物线C:y2=6x的焦点,过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=(　　) A. B.8 C.12 D.7 B 解析 |AB|==8.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),|AF|=8,有以下结论:①p=4;②|AF|=2|BF|;③;④S△AOB=.其中正确结论的序号为　　　　　.  ①③④ 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 (方法1)结论①:过点A作x轴的垂线,垂足为H,则∠AFH=, 所以|FH|=|AF|cos∠AFH=4,|AH|=|AF|sin∠AFH=4. 因为经过点F且斜率为的直线l与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),|AF|=8, 所以A(+4,4). 由点A在抛物线上,得(4)2=2p(+4),解得p=4或p=-12(舍去),故①正确. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 结论②:由①得抛物线的方程为y2=8x,F(2,0),直线AB的方程为y=(x-2),将其与抛物线方程联立,得3x2-20x+12=0,得x=6或x=. 设B(xB,yB),所以xB=,故|BF|=xB++2=,故|AF|=3|BF|,故②错误. 结论③:由|AF|=8,|BF|=,得,故③正确. 结论④:由xB=,得yB=-,故S△AOB=|OF|(4-yB)=4-(-)=,故④正确. 所以正确结论的序号为①③④. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (方法2)由直线的斜率为可得直线l的倾斜角为. 对于①:|AF|==8,得p=4,故①正确. 对于②:结合①可知,|BF|=,故|AF|=3|BF|,故②错误. 对于③:,故③正确. 对于④:S△AOB=,故④正确.所以正确结论的序号为①③④. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 $