抛物线课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“抛物线”专题，覆盖定义、标准方程、几何性质等核心考点，依据高考评价体系明确定义应用、焦点弦问题等高频考查维度，通过知识清单系统梳理焦半径、焦点弦长等关键公式，归纳定义法求轨迹、待定系数法求方程等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题导向+素养渗透”的复习策略，如典例1利用抛物线定义转化距离关系求轨迹方程，培养数学抽象与几何直观素养，通过焦点弦结论（如x₁x₂=p²/4）解析综合题，特设易错点判断（如直线与抛物线相切的误区）。教师可依托此课件实施精准复习，帮助学生掌握解题技巧，提升高考得分率。

8.4 抛物线 返回目录 知识清单 知识点1　抛物线的定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线, 点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 返回目录 知识点2　抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形         范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 准线 x=-  x=  y=-  y=  焦点         对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 返回目录 顶点 (0,0) 离心率 e=1 焦半径长 x0+  -x0+  y0+  -y0+  焦点弦长 x0+x1+p -(x0+x1)+p y0+y1+p -(y0+y1)+p 其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,且PQ过焦点F,线段PF,QF称为抛物线的焦半径, 线段PQ称为抛物线的焦点弦. 返回目录 知识拓展    1.抛物线的焦点弦的重要结论.以抛物线C:y2=2px(p>0)为例.若AB为抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐 标分别为(x1,y1),(x2,y2),则   (1)x1x2= ,y1y2=-p2; (2)|AF|= ,|BF|= , + = ; (3)弦长|AB|=x1+x2+p= ,抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦; 返回目录 (4)S△OAB= (其中O为坐标原点);   (5)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (6)过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 2.过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交,交点分 别为A,B(如图),则直线AB过定点M(2p,0); 反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. ( ) (2)方程x=ay2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且焦点坐标是 ,准线方程 为x=- . ( ) (3)抛物线y2=2px(p>0)中,p是焦点到准线的距离. ( )     √         ✕         ✕     返回目录 2.已知抛物线的方程为4y=x2,则抛物线的准线方程为____________.     y=-1     返回目录 3.已知点F为抛物线Γ:y2=2px(p>0)的焦点,点A(4,m)在Γ上,且|AF|=5,则m=__________.     4     返回目录 4.已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0=_________. 返回目录 考点清单 考点1　抛物线的定义和标准方程 角度1　抛物线的定义及应用 典例1　在平面直角坐标系xOy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离 小1,则P的轨迹方程为______________.     y2=-8x     解析　由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定 义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,直线x=2为准线的抛物线,则p=4,故轨迹方程为y2=-8x. 返回目录 典例2　抛物线W:y2=4x的焦点为F.对于W上一点P,若P到直线x=5的距离是P到点F距离 的2倍,则点P的横坐标为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     A     解析　由题意得F(1,0),准线方程为x=-1,设点P的横坐标为a,a≥0,由抛物线的定义知|PF| =|a-(-1)|=a+1,则|a-5|=2(a+1),解得a=1或a=-7(舍去).从而点P的横坐标为1.故选A. 解题技巧　看到准线想到焦点,看到焦点想到准线. 返回目录 变式训练 1.(设问条件变式)已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0 的距离为d2,则d1+d2的最小值为     ( ) A.3　　    B.4　　    C. 　　    D.      A     返回目录 解析　设抛物线的焦点为F.因为抛物线上的点P到准线的距离等于它到焦点F的距离, 所以过焦点F作直线4x-3y+11=0的垂线,则点F到直线4x-3y+11=0的距离为d1+d2的最小 值,如图所示.   由F(1,0),直线4x-3y+11=0,可得(d1+d2)min= =3,故选A. 返回目录 角度2　抛物线的标准方程 典例3　抛物线y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为 ( ) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.1     A     解析　由点P(2,2)在抛物线y2=2px(p>0)上得4=4p,则p=1.由抛物线的定义得,点P到焦点 的距离为2+ = .故选A. 方法总结　求抛物线的标准方程的方法 1.定义法. 2.待定系数法.先根据焦点位置设出抛物线的标准方程,再根据条件确定参数的值.若焦 点位置不明确,为避免讨论开口方向,可以设抛物线方程为y2=mx或x2=ny(m,n≠0). 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)若抛物线过点(3,-4),则抛物线的标准方程为____________________.     y2= x或x2=- y     解析　∵点(3,-4)在第四象限,∴抛物线开口向右或向下. 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0). 把(3,-4)分别代入得(-4)2=2p·3或32=-2p1·(-4),则2p= 或2p1= ,故所求抛物线的标准方程 为y2= x或x2=- y. 返回目录 考点2　抛物线的几何性质 典例4    (多选)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,焦点到准线的距离为2,Q为C上的 一个动点,则 ( ) A.C的焦点坐标为(1,0) B.若M(3,5),则△QMF周长的最小值为11 C.若M(0,4),则|QM|的最小值为2  D.在x轴上不存在点E,使得∠QEF为钝角     BCD     返回目录 解析　选项A,抛物线C:x2=2py(p>0),焦点到准线的距离为p=2,则C:x2=4y,焦点F(0,1),错 误;选项B,∵M(3,5),F(0,1),∴|MF|= =5,设Q到准线y=-1的距离为d,M到准线y=-1的 距离为d'=5-(-1)=6,则△QMF的周长为|MF|+|FQ|+|QM|=5+d+|QM|≥5+d'=5+6=11,正确; 选项C,设Q ,由M(0,4),得|QM|= =  =  , 当 =8时,|QM|的值最小,为2 ,正确;选项D,设E(t,0),Q ,则 = ,又F(0, 1),∴ =(-t,1),∴ · =(-t,1)· =-tx0+t2+ = ≥0,∴cos∠QEF=  ≥0,∴∠QEF不可能为钝角,正确.故选BCD. 返回目录 归纳总结　应用抛物线的几何性质解题时,常结合图形思考,通过图形可以直观地看出 抛物线的顶点、对称轴和开口方向等几何特征. 返回目录 变式训练 3.(设问条件变式)(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x-1)(k≠0)与抛物 线C交于A,B两点,则下面说法正确的是 ( ) A.C的准线方程为x=-2 B.∠AOB>  C.k=1时,|AB|=4  D. + =1     BD     返回目录 解析　由题意,可得F(1,0),p=2,准线x=-1,故A错误;设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义 可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,联立得 消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2+ ,x1x2 =1,根据抛物线的定义可得|AB|=x1+1+x2+1=x1+x2+2,当k=1时,2+ =6,故|AB|=6+2=8,故C 错误; + = = =1,故D正确;取AB的中点M,则M是以AB为 直径的圆的圆心,设|AB|=2r,过M作MN⊥准线于N,过A作AA1⊥准线于A1,过B作BB1⊥准 线于B1,根据梯形的性质和抛物线的定义可得|MN|= = = =r,即 以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切,则O在以AB为直径的圆的内部,故∠AOB> , 返回目录 故B正确.故选BD.   返回目录 $