抛物线 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦抛物线专题，覆盖定义、标准方程、几何性质及应用等核心考点，依据高考评价体系分基础、能力、素养三层训练，通过近五年真题分析明确轨迹方程、焦半径等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“回归教材+真题精讲+思维建模”策略，如2025新高考Ⅱ卷焦半径题用定义转化距离，最值问题结合导数法，培养数学抽象与逻辑推理素养。设“解题路径库”和“易错警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可精准定位考点实现高效复习。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第7节　抛物线 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第7节　抛物线 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 抛物线的定义 1.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则P的轨迹方程为(　　)[命题点❶❷] A.y2=2x B.y2=4x C.y2=-4x D.y2=-8x D 解析:由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=-8x. 返回目录 2.(2025·贵州遵义模拟)已知点P(1,m)在抛物线C:y2=4x上,C的焦点为F,则|PF|=　　　　　. [命题点❶❻]  2 解析:由题意,抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1,所以点P(1,m)到准线的距离d=1-(-1)=2,则|PF|=d=2. 返回目录 关键点2 抛物线的方程 3.(多选)(人教A版选择性必修第一册教材改编)过点P(-2,3)的抛物线的标准方程为(　　)[命题点❷] A.y2=-x B.x2=y C.y2=x D.x2=-y AB 解析:当焦点在x轴上时,设抛物线标准方程为y2=-2px.因为9=-2p×(-2),所以2p=故所求抛物线方程为y2=-x.当焦点在y轴上时,设抛物线方程为x2=2py.因为4=2p×3,所以2p=故所求抛物线方程为x2=y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=y. 返回目录 关键点3 抛物线的简单几何性质 4.(2025·河北二模)已知P(2,m)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,且点P到x轴的距离为1,则p=(　　) [命题点❶❷] A.1 B.2 C.4 D.6 B 解析:由题意知点P的坐标为(2,1),将其代入x2=2py,得4=2p,p=2. 返回目录 5.(人教A版选择性必修第一册教材改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(　　)[命题点❶❼] A.9 B.8 C.7 D.6 B 解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8. 返回目录 6.(2023·北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若点M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=(　　) [命题点❹❻] A.7 B.6 C.5 D.4 D 解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|, 又M到直线x=-3的距离为5, 所以|MF|+1=5,故|MF|=4. 返回目录 7.(2025·福建漳州模拟)已知点N(1,1),抛物线C:x2=4y的焦点为F,P是C上的动点,则|PN|+|PF|的最小值为(　　)[命题点❶❹] A. B.2 C. D.3 B 解析:如图,过点P作PQ垂直于抛物线C的准线l:y=-1于点Q,由抛物线定义可得|PQ|=|PF|, 则|PN|+|PF|=|PN|+|PQ|≥|NQ|, 当且仅当N,P,Q三点共线,NQ垂直于抛物线C的准线, 即xP=1时,|PN|+|PQ|有最小值2. 返回目录 8.(2025·四川模拟)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则C的焦点坐标为　　　　　. [命题点❸❹]  (3,0) 解析:设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|AF|=xA+=12,又xA=9,所以=3,所以抛物线C的焦点坐标为(3,0). 返回目录 9.(2025·河北张家口模拟)已知直线l:3x-4y-12=0,若P为抛物线x2=4y上的动点,则点P到直线l的距离最小时点P的坐标为　　　　　.[命题点❺] 解析:因为P为抛物线x2=4y上的动点,所以可设P,则P到l的距离为d=,则当x0=时,dmin=,此时P 返回目录 回归教材•考教衔接 1.抛物线的定义 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. [❶] 动点M到定点F与到定直线l的距离相等是动点M的轨迹是抛物线的必要不充分条件 返回目录 2.抛物线的标准方程和几何性质 求抛物线标准方程时先定位再定量 标准方程[❷] y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 返回目录 标准方程[❷] y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 对称轴 x轴 y轴 焦点[❸] F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-) 离心率 e=1 准线方 程[❹] x=- x= y=- y= 范围[❺] x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 变量的范围可由抛物线方程分析得到 返回目录 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　抛物线的定义及应用 角度 1 求轨迹方程 命题视角:直接考查定义理解,根据抛物线定义判断轨迹类型并求方程或通过分析将条件转化为符合抛物线定义的形式. 例1 (1)(一题多解)已知点F(0,1),动点M在直线l:y=-1上,过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P,记点P的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为(　　) A.x2=-4y B.x2=4y C.x2=-2y D.x2=2y B 返回目录 考点1 考点2 解析: (方法1)设点P(x,y),则点M(x,-1),连接PF,由题意知|PF|=|PM|,即=|y+1|,整理得x2=4y,则曲线C的方程为x2=4y. (方法2)由题意知,点P到点F(0,1)的距离等于其到直线y=-1的距离,则点P的轨迹为以点F(0,1)为焦点,以y=-1为准线的抛物线,则曲线C的方程为x2=4y. 返回目录 考点1 考点2 (2)已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y+5|,则动点P的轨迹是 (　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 D 返回目录 考点1 考点2 解析:因为5=|3x+4y+5|, 所以, 由两点间距离公式得方程左侧为点P(x,y)到点(1,2)的距离, 由点到直线的距离公式得方程右侧为P(x,y)到直线3x+4y+5=0的距离,可得P(x,y)到点(1,2)的距离和到直线3x+4y+5=0的距离相等,而且点(1,2)不在直线3x+4y+5=0上,结合抛物线定义得到点P的轨迹是抛物线,故D正确. 返回目录 考点1 考点2 对点训练1 (2026·山东开学考试)与直线y=2相切,且与圆x2+(y+3)2=1外切的圆的圆心轨迹为(　　) A.椭圆 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.圆 C 解析:记与圆x2+(y+3)2=1外切的圆为圆C,设圆C的圆心为C(x,y),半径为r,圆x2+(y+3)2=1的圆心为A,因为圆C与圆x2+(y+3)2=1外切,所以|CA|=r+1,设圆C圆心到直线y=2的距离为d,则d=r,所以|CA|=d+1,即动点C到定点A的距离等于到定直线y=3的距离,由抛物线的定义知动点C的轨迹为抛物线. 返回目录 考点1 考点2 角度 2 焦半径问题 命题视角:常结合具体抛物线方程,求特定点的焦半径长度或利用焦半径关系求参数. 例2 (1)(2025·新高考Ⅱ,6)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|=(　　) A.3　　　　　　B.4　　　　　　C.5　　　　　　D.6 C 返回目录 考点1 考点2 解析:由直线BF的方程:y=-2x+2知F(1,0),所以=1,p=2,所以抛物线方程为y2=4x,准线方程为x=-1,所以B(-1,4),所以yA=4,代入抛物线方程得A(4,4),所以|AF|=|AB|=+xA=1+4=5,故选C. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·安徽蚌埠三模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过C上一点A作其准线的垂线,设垂足为B,若cos∠BAF=,|AF|=10,则p=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 返回目录 考点1 考点2 解析:由题意可知,抛物线C的焦点为F,准线为x=-,且|AF|=|AB|=10,因为cos∠BAF=, 所以由余弦定理得2|AF|2-2|AF|2cos∠BAF=200=80=|BF|2,即|BF|=4; 由|AF|=xA+=10,所以xA=10-=2pxA=20p-p2; 设E为准线与x轴的交点,|EF|=p, 则|EF|2+=p2+20p-p2=|BF|2=80,则p=4. 返回目录 考点1 考点2 对点训练2 (1)(2025·河北保定一模)已知抛物线y2=2px的焦点为F,点A,B,C在抛物线上,F为△ABC的重心,且||+||+||=12,则p的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 B 解析:如图,由题意可知,F(,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由抛物线定义知,||+||+||=x1++x2++x3+=x1+x2+x3+=12, 又F为△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3,所以3p=12,p=4. 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·江苏南通三模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l,点A在C上,过A作l的垂线,垂足为A1.若|AF|=|A1F|,则|AF|=(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 B 解析:因为点A在C上,则|AF|=|A1A|,又|A1F|=|AF|, ∴△AFA1为正三角形, 如图,准线l与y轴交于点M,在Rt△A1FM中,∠MA1F=30°, 所以|A1F|==4, 即|AF|=4. 返回目录 考点1 考点2 角度 3 最值问题 命题视角:常会结合抛物线的定义、几何性质(如焦点、准线、通径等),并通过转化思想(如将距离转化为线段关系),考查学生的数形结合能力和综合运用知识的能力. 例3 (1)(2025·北京大兴三模)已知点P(x,y)是准线为l的抛物线x2=4y上一动点,PM⊥l于点M,点Q(2,0),则|PM|+|PQ|的最小值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 返回目录 考点1 考点2 解析:由题意抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),由抛物线的定义可得|PM|=|PF|, 则|PM|+|PQ|=|PF|+|PQ|≥|QF|==3,当且仅当F,P,Q三点共线时等号成立,即|PM|+|PQ|的最小值是3. 返回目录 考点1 考点2 (2)已知点P(x,y)满足=|x+1|,Q(4,0),则|PQ|的最小值为(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 C 返回目录 考点1 考点2 解析:因为表示点P(x,y)到点(1,0)的距离;|x+1|表示点P(x,y)到直线x=-1的距离,又=|x+1|,所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=-1的距离,由抛物线的定义知,点P的轨迹为抛物线,抛物线方程为y2=4x,设P,则|PQ|= 2,当且仅当 t=±2时,等号成立,故PQ最小值为2 返回目录 考点1 考点2 对点训练3 (1)(2025·湖南模拟)已知点A在抛物线C:y2=8x上,记点A到y轴,到直线y=2x+3的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值为(　　) A. B. C. D.-2 A 解析:易知抛物线C的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,设点F到直线y=2x+3的距离为d,则d1+d2=(d1+2)+d2-2=|AF|+d2-2≥d-2=-2= 返回目录 考点1 考点2 (2)(2025·广东梅州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知定点Q(3,0),点P在抛物线C:y2=4x上运动,则|PQ|的最小值为(　　) A.2 B.3 C.2 D.2 A 解析:不妨设点P(t2,2t),其中t∈R,则|PQ|=2,当且仅当t=±1时,等号成立,故|PQ|的最小值为2 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 方法导引 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.如抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=x0+,也称为抛物线的焦半径. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点2　抛物线的几何性质 命题视角:通过抛物线的弦长计算、最值问题等几何性质,考查数形结合及综合运用知识解决问题的能力,常通过条件转化、隐含条件挖掘等方式增加题目难度. 例4 (1)(多选)(2025·河南一模)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F(0,1),过点F的直线l交x轴的负半轴于点M,交抛物线C于A,B两点,|AF|<|BF|, |BF|=|MF|,过点B作抛物线C的切线交x轴于点N,则(　 　) A.p=2 B.直线l的斜率为 C.|AB|=9 D.△MBN的面积为3 ABD 返回目录 考点1 考点2 解析:因为F为(0,1),所以p=2,故A正确; 设M(-m,0)(m>0),因此B(m,2),由m2=4×2,从而m=2,直线l的斜率为,故B正确; 直线l的方程为y=x+1,所以联立方程可得则x2-x-4=0,解得 返回目录 考点1 考点2 因此可求得A,B(2,2),可得|AB|=,故C错误; 由y=x2,得y'=x,所以直线BN的斜率为y',方程为y=x-2,因此N(,0),所以△MBN的面积为|MN|×yB=3,故D正确. 返回目录 考点1 考点2 (2)(多选)(2025·新高考Ⅰ,10)已知抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的一条直线交C于A,B两点,过A作直线l:x=-的垂线,垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交l于点E,则(　 　) A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB| C.|AB|≥6 D.|AE|·|BE|≥18 ACD 返回目录 考点1 考点2 解析:由题意知,F,抛物线的准线方程为x=- 由抛物线定义知|AD|=|AF|,故A正确; 设AB的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去x可得y2-6my-9=0,则y1+y2=6m,y1y2=-9, x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3, 则|AB|=x1+x2+p=6m2+6,|AB|≥6,故C正确; 返回目录 考点1 考点2 当m=0时,E(-,0),|AB|=6,|AE|=3,此时|AE|≠|AB|,故B错误; 当m=0时,|AE|=|BE|=3,|AE|·|BE|=18;当m≠0时,直线EF的方程为 x=-y+,E(-,3m),|EF|=, S△AEB=|AE|·|BE|sin∠AEB=(6m2+6)=9(m2+1)>9, 则|AE|·|BE|>>18, 综上可知,|AE|·|BE|≥18,故D正确. 故选ACD. 返回目录 考点1 考点2 对点训练4 (1)(多选)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(　　) A.p=2 B.|MN|= C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 AC 返回目录 考点1 考点2 解析:对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确; 对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确; 返回目录 考点1 考点2 对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=, 故以MN为直径的圆与l相切,故C正确; 对于D,因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC. 返回目录 考点1 考点2 (2)(多选)(2025·安徽模拟)已知O为坐标原点,P(5,3),直线l过抛物线C:y2=4x的焦点F,且与C交于A,B两点,则(　　 ) A.|AF|+4|BF|≥9 B.当S△AOF=2S△BOF时,|AB|= C.∠AOB可以为 D.△PAF周长的最小值是11 ABD 返回目录 考点1 考点2 解析:由题意F(1,0),设直线AB的解析式为x=my+1,联立消去x得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,∴yA+yB=4m,yAyB=-4. 对于A,由抛物线定义知,|AF|=xA+1,|BF|=xB+1, ∴|AF|+4|BF|=xA+4xB+5=+5=+5≥9,当且仅当=8时等号成立,故A正确; 对于B,设点O到直线AB的距离为d,则S△AOF=d·|AF|,S△BOF=d·|BF|, ∴ =2,∴|AF|=2|BF|,∴xA+1=2(xB+1), 返回目录 考点1 考点2 即xA-2xB=1.∵xAxB==1, ∴xB=,∴xA-2xB=xA-=1,解得xA=2或xA=-1(舍去),则xB=, ∴|AB|=xA+1+xB+1=,故B正确; 对于C,=xAxB+yAyB=1-4=-3<0,∴∠AOB>,故C错误; 对于D,由抛物线的定义知,|PA|+|AF|的最小值是点P到抛物线准线x=-1的距离,∴|PA|+|AF|的最小值为6,又|PF|=5,∴△PAF周长的最小值是11,故D正确. 返回目录 考点1 考点2 解题思维路径 1.定义转化:将|PF|转化为点P到准线距离,再求最值或证明等量关系. 2.焦点弦处理:设弦AB方程(考虑斜率存在性),联立抛物线方程,利用韦达定理及焦半径公式建立联系. 3.活用几何特性:利用对称性(关于x轴对称)、切线性质等简化问题. 返回目录 考点1 考点2 方法导引 与抛物线焦点弦有关的几个常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α为弦AB的倾斜角,则: (1)x1x2=,y1y2=-p2; (2)弦长|AB|=x1+x2+p=; (3); (4)以弦AB为直径的圆与准线相切; (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (6)过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p(通径). 返回目录 考点1 考点2 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:抛物线的定义、标准方程、焦点、准线等基本概念是近几年高考数学高频考点. 1.(2025·北京,11)抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=　　　　　.  6 解析:由题意得=3,∴p=6. 返回目录 命题趋势2:通过抛物线的几何性质或代数方法,求解与抛物线相关的最值(如距离、面积、斜率等)或参数的取值范围. 2.(2025·广东模拟)已知O为坐标原点,已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,点P在C上,点Q满足=4,则直线OQ斜率的最大值是　 .  返回目录 解析:由题意得抛物线y2=2px的焦点为F,准线方程为x=-,因为拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,且该抛物线焦点到准线的距离为=p=2, 所以该抛物线的方程为y2=4x. 如图,设Q(x0,y0),则=4=(4-4x0,-4y0), 返回目录 所以P(5x0-4,5y0),由P在抛物线上可得(5y0)2=4(5x0-4), 即x0=,所以直线OQ的斜率为, 当y0=0时,kOQ=0;当y0<0时,kOQ<0; 当y0>0时,kOQ=,当且仅当25y0=,即y0=时,等号成立, 综上,直线OQ的斜率的最大值为 返回目录 模块内融合:抛物线与其他知识(如立体几何、向量、函数导数等)相结合,结合新情境,考查学生的综合运用能力和创新思维. 3.(2025·辽宁沈阳二模)古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线,如图1,设圆锥轴截面的顶角为2α,用一个平面Γ去截该圆锥面,随着圆锥的轴和Γ所成角β的变化,截得的曲线的形状也不同.据研究,曲线的离心率为e=,比如,当α=β时,e=1,此时截得的曲线是抛物线.如图2,在底面半径为1,高为2的圆锥SO中,AB,CD是底面圆O上互相垂直的直径,E是母线SC上一点,SE=2EC,平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为(　　) 返回目录 图1 图2 A. B. C. D. 答案:C　 返回目录 解析:由题意得∠OSC=α,∠EOS=β,则∠SCO=90°-α,∠EOC=90°-β, 所以e=, 在△SOC中,SE=2EC,SO=2,CO=1,且SO⊥OC, 则SC==3,EC=1, )=, 则||2=,所以OE=, 由正弦定理得,, 即 返回目录 4.(2025·上海三模)某公园有一个长方形地块ABCD,边AB为千米,AD长4千米,地块的一角是水塘(图中阴影部分),已知边缘曲线AC是以A为顶点,以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分.现要经过曲线AC上某一点P(异于A,C两点)铺设一条直线隔离带MN,点M,N分别在边AB,BC上,隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘,设点P到边AD的距离为t(单位:千米), △BMN的面积为S(单位:平方千米),则隔离出来的△BMN的面积S的最大值 为　　　　　平方千米.  返回目录 解析:如图建立平面直角坐标系, 则A(0,0),B(,0),C(,4),D(0,4), 由题意设抛物线方程为y=ax2,代入点C(,4),得4=2a, 解得a=2,所以抛物线方程为y=2x2,由题意知直线MN为 抛物线的切线,因为点P到边AD的距离为t(0<t<),所以 切点P的坐标为(t,2t2),由y=2x2,得y'=4x,所以直线MN的斜率为4t,所以直线MN的方程为y-2t2=4t(x-t),即y=4tx-2t2,令y=0,得x=,所以M,令x=,得y=4t-2t2,所以N(,4t-2t2), 返回目录 所以S=|MB||BN|=(4t-2t2)=t3-2t2+4t, 则S'=t2-4t+4=(t-2)(3t-2), 因为0<t<,所以当0<t<时,S'>0,S单调递增,当<t<时,S'<0,S单调递减,所以当t=时,S取得最大值为-2+4平方千米. 返回目录 $