精品解析：上海市静安区2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

高二数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 请注意： 1.本资料共21道题目. 2.本资料包括题目和答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，其中1——6题每题正确得4分，7——12题每题正确得5分，否则一律得零分. 1. 一组数据10.22，10.24，10.25，10.35，10.35，10.50，10.53，10.80，10.90的中位数是___________． 2. 已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 4. 若复数（其中是虚数单位）的实部、虚部均为 十个数字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是___________． 5. 已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状大小材质等都一样.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是_________ 6. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 7. 已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得___________个不同的对数值． 9. 已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是______ 10. 已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 11. 若曲线与圆（>0）有且仅有一个交点，则=_________． 12. 若对于任意，函数都有，则的最小值为____________. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，其中第13——14题选对得4分，第15——16题选对得5分，否则一律得零分. 13. 求函数的导数，下列四个选项中正确的一项是（ ） A. B. C. D. 14. 已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（ ） A. 1个驻点 B. 1个极值点 C. 1个极小值点 D. 1个极大值点 15. 如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ） A. B. C. D. 16. 以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（ ） A. B. C. D. . 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查. （1）在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ （2）从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ （3）经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小数） 18. （1）若二项式的展开式中的系数是84，求实数的值； （2）若（其中为正整数）的展开式中含有常数项，求的最小值； （3）设，已知，求展开式中的常数项. 19. 已知椭圆：（）. （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）若，过点作斜率为的直线，依次交椭圆于两点，且点在第一象限.设，连接延长交轴于点，记的面积为，的面积为（为坐标原点），求. 20. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为.设直线与双曲线相交于不同两点、． （1）求双曲线的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，且、两点都在双曲线的右支上，设线段AB的中点为M，斜率为的直线经过点M．试将直线在轴上的截距m表示成关于的函数，求出该函数表达式并求出函数的值域． 21. 设函数在区间I上可导，若对任意，都有，则称函数在区间I上具有“非负增长性质” . （1）设，若函数在上具有“非负增长性质”，求实数的取值范围； （2）设，试判断函数在区间上是否具有“非负增长性质” ？并说明理由； （3）设，设、（）是曲线上的两点，过点、分别作曲线的切线，设两条切线的交点为，若点的纵坐标大于2，求的最小整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 请注意： 1.本资料共21道题目. 2.本资料包括题目和答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，其中1——6题每题正确得4分，7——12题每题正确得5分，否则一律得零分. 1. 一组数据10.22，10.24，10.25，10.35，10.35，10.50，10.53，10.80，10.90的中位数是___________． 【答案】10.35 【解析】 【分析】由中位数的定义求解． 【详解】将数据从小到大排成一列： 10.22，10.24，10.25，10.35，10.35，10.50，10.53，10.80，10.90，共9个数据， 则中位数为第5个数据，为10.35 2. 已知圆C的一般方程为，则圆C的半径为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆的标准方程，从而求得圆的半径. 【详解】圆即， 所以圆的半径为. 故答案为： 3. 已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 4. 若复数（其中是虚数单位）的实部、虚部均为 十个数字中的一个，则该复数为纯虚数的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为实部、虚部均为十个数字中的一个，所以复数共有个， 若该复数为纯虚数，则且，故这样的纯虚数有9个， 所以该复数为纯虚数的概率是. 5. 已知6个球，其中3个白球，红、黄、黑球各1个，除了颜色外，球的形状大小材质等都一样.现将这6个球排成一排，则任意2个白球不排在一起的排法总数是_________ 【答案】24 【解析】 【分析】先排无限制的不同球，再利用插空法排白球，最后由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】红、黄、黑三个球颜色不同，全排列的排法为： ； 3个排好的球共产生 个空隙（包括两端），要保证任意2个白球不相邻， 需要从4个空隙中选3个各放入1个白球，由于3个白球颜色相同，无顺序区别， 因此选空隙的组合数为： ； 根据分步乘法计数原理，总排法为： . 6. 已知为抛物线上的任意一点，为抛物线的焦点，点坐标为，则的最小值为____________________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义将问题转化为点到准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为，过点作，垂足为， 由抛物线定义可知，所以， 当时取取得最小值，又点到准线的距离， 故的最小值为4. 故答案为： 7. 已知双曲线的标准方程为（其中，.若过两点、的直线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式、双曲线的离心率的定义计算即可. 【详解】由题意，得，即， 所以双曲线的离心率为. 8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数，共可得___________个不同的对数值． 【答案】53 【解析】 【详解】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取两个不同的数作为对数的真数N和底数共有：种情况， 当时，不管取何值，相应的对数值都是0； 当时，，，，，共有4对相同的对数值. 所以共可得不同的对数值的情况为：种. 9. 已知单位圆与x轴相交于A、B两点，点M是直线上的任意一点，若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】先确定单位圆与轴交点、的坐标，设点的坐标为，将用的坐标展开化简，得到关于的表达式，因为在直线上，所以可将表达式转化为仅含的不等式，最后利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】令，代入，得，所以， 设直线上任意点， ， 所以 . 由题对任意恒成立，即对满足的所有恒成立， 将代入不等式得 ， 整理为关于的二次不等式 ，对任意恒成立， 因为，二次函数开口向上，只需判别式： 得到 ， 解得. 所以的取值范围是. 10. 已知函数(常数)在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据极值，求出，进而检验是否符合题意，再由函数的单调性可求得的取值范围． 【详解】因为，则， 故，得； 当时，，， 当或时，，所以在和是单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以是极值点，所以符合题意， 由在和上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，当时，， 所以关于x的方程有3个不同的实根，所以， 所以实数m的取值范围为． 11. 若曲线与圆（>0）有且仅有一个交点，则=_________． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程消去得方程,由题设可知此方程只有唯一解.设函数, 因此函数只有唯一零点,再利用导数研究的单调性,根据其有唯一零点的条件可求得的值. 【详解】联立方程,消去得. 令. 由题设可得函数存在唯一零点. ∴. 令. ∴. ∴函数在区间上单调递增. 又∵, ∴当时, ,即,当时, ,即. ∴函数在区间上单调递减, 在区间上单调递增. ∴. ∴. 12. 若对于任意，函数都有，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出的最值后可得的取值范围. 【详解】, 故当时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数，故 且， 而， 因，故， 所以， 故，故， 故的最小值为. 故答案为：. 二、选择题(本大题满分18分)本大题共4题，每题有且只有一个正确答案，请在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，其中第13——14题选对得4分，第15——16题选对得5分，否则一律得零分. 13. 求函数的导数，下列四个选项中正确的一项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得. 14. 已知函数（）的导函数是，导函数的图像如图所示，则在内只有（ ） A. 1个驻点 B. 1个极值点 C. 1个极小值点 D. 1个极大值点 【答案】C 【解析】 【详解】由导函数的图像可知，在区间内： 驻点为的点，由图像可得的点有4个，故A错误； 分析各零点处的符号变化： 第一个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 第二个零点：左侧，右侧，为的极小值点； 处：左右两侧均为正，符号不变，不是极值点； 第三个零点：左侧，右侧，为的极大值点； 因此在内有2个极大值点，1个极小值点，共3个极值点，故B、D错误，C正确. 15. 如图，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，，，，其大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据椭圆越扁离心率越大判断，的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断，的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1，抛物线离心率大于1进行判断可得答案. 【详解】解：根据椭圆越扁离心率越大，可得， 根据双曲线开口越大离心率越大，可得， 故可得：， 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的离心率的性质，熟悉椭圆越扁离心率越大、双曲线开口越大离心率越大的性质是解题的关键. 16. 以连续抛掷两次正方体骰子分别得到的点数作为点的坐标，，则点落在直线和两坐标轴所围成的三角形区域（包括边界）的概率是（ ） A. B. C. D. . 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点的总个数，再列举出满足条件的点，即可得答案. 【详解】由题意可得点共有个， 而满足条件的点有： ，，，，，共6个点， 故所求概率为. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 某高中学校高一年级有600人，高二年级有400人，高三年级有300人.为了了解该校高中学生课外阅读达标情况，统计该校高中学生每周用于课外阅读的时长.现按照年级分层随机抽取130名学生开展抽样调查. （1）在这项抽样调查中，总体是什么？样本量是多少？ （2）从高一、高二、高三各年级抽取的学生数分别是多少？ （3）经调查，抽取的高一年级学生中50人课外阅读达标，求从抽取的高一年级学生中随机抽取3人，这3名同学课外阅读全部达标的概率.（结果保留三位小数） 【答案】（1）总体：该校全体高中学生每周用于课外阅读的时长；样本量：130. （2）抽取高一年级学生60名，高二年级学生40名，高三年级学生30名 （3）0.573 【解析】 【详解】（1）该高中学校每名学生每周用于课外阅读的时长组成该项抽样调查的总体，样本量是130． （2）抽取高一年级学生人，高二年级学生人，高三年级学生人． （3），抽取的这3名同学课外阅读全部达标的概率是0.573. 18. （1）若二项式的展开式中的系数是84，求实数的值； （2）若（其中为正整数）的展开式中含有常数项，求的最小值； （3）设，已知，求展开式中的常数项. 【答案】（1）；（2）5；（3）40 【解析】 【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式计算可求实数的值； （2）利用二项式展开式的通项公式计算可得，结合n为正整数且关于r递增，可求的最小值； （3）由可求实数的值，结合乘法分配律与二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】（1）． 当时，． 由的系数是84得，，所以． （2）， 展开式中含有常数项，则存在r使得， ，由于n为正整数且关于r递增，当时，n最小，值为5． （3），即，所以， 此时， 按照乘法运算的分配律，的常数项由两部分构成： x与展开式中含项的乘积，与展开式中含x项的乘积． 的通项， 展开式中含项为；展开式中含x项为． 于是展开式中的常数项为． 19. 已知椭圆：（）. （1）若椭圆的离心率为，求椭圆的方程； （2）若，过点作斜率为的直线，依次交椭圆于两点，且点在第一象限.设，连接延长交轴于点，记的面积为，的面积为（为坐标原点），求. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式及的关系求解即可； （2）将直线的方程代入椭圆方程，求出两点的坐标，再求出直线的方程，即可求出点的坐标，最后求出，，即可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以焦点在x轴上，， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 直线的方程为， 代入椭圆方程，得， 解得两点的坐标分别为， 所以直线的方程为：， 令，得，所以， ，所以． 20. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为.设直线与双曲线相交于不同两点、． （1）求双曲线的方程； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，且、两点都在双曲线的右支上，设线段AB的中点为M，斜率为的直线经过点M．试将直线在轴上的截距m表示成关于的函数，求出该函数表达式并求出函数的值域． 【答案】（1）或； （2）； （3），． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线两条渐近线的斜率等于倾斜角的正切值，列出等式得到参数a的值； （2）根据a的取值范围可确定双曲线方程，根据直线与双曲线交于两点，可联立方程，利用二次项系数不为0，且判别式大于0计算k的取值范围； （3）根据两交点位置都在右支上可确定k的取值范围，通过联立方程韦达定理可得到中点为M的坐标，则可以得到的方程，代入可得截距关于k的函数解析式，根据解析式以及k的取值范围计算值域． 【小问1详解】 因为是双曲线，所以， 两条渐近线方程为； 两条渐近线的夹角为，则的倾斜角为或， 当倾斜角为时，则，解得； 当倾斜角为时，则，解得； 故双曲线方程为或； 【小问2详解】 若，则双曲线的方程为， 将直线代入双曲线方程得，， 方程有两不相等的实数根，所以， 解得； 【小问3详解】 设，由两点都在双曲线的右支上， 所以且，解得； 设中点M坐标，则， 于是直线的方程为：， 令得在y轴上的截距， 所以截距m表示成关于k的函数表达式为， 由； 因为，则，故， 则，故； 所以此函数的值域为． 21. 设函数在区间I上可导，若对任意，都有，则称函数在区间I上具有“非负增长性质” . （1）设，若函数在上具有“非负增长性质”，求实数的取值范围； （2）设，试判断函数在区间上是否具有“非负增长性质” ？并说明理由； （3）设，设、（）是曲线上的两点，过点、分别作曲线的切线，设两条切线的交点为，若点的纵坐标大于2，求的最小整数值. 【答案】（1） （2）函数在区间上具有“非负增长性质”，理由如下：  因为，所以， 所以， 由于，只需判断在上的符号即可. 当时，，且函数不能同时取到0，故； 当时，函数均为减函数，且，， 所以， 综上，当时，均有成立， 所以函数在区间上具有“非负增长性质” . （3）17 【解析】 【分析】（1）根据新定义，代入运算问题转化为二次不等式恒成立问题，运算得解； （2）根据新定义，问题转化为判断在上的符号即可，分和讨论判断即可； （3）分别求出过点和点的切线方程，联立求出点的纵坐标，由，得，令，，利用导数判断单调性，进而判断零点，得解. 【小问1详解】 因为，所以， 由定义，对任意，有， 即恒成立，则需使， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 所以过点的切线方程为，过点的切线方程为， 联立方程，解得， 由，得，又，可整理得， 令，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因，则函数在上无零点， 又， 而， 由零点存在定理，函数在上存在唯一零点，且， 所以满足题意的最小正整数的值为17. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $