精品解析：上海市静安区2024-2025学年高二下学期6月期末教学质量调研数学试卷

静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 2. 函数在闭区间上的零点_______． 3. 函数的导函数为______． 4. 10件产品中有8件合格，2件次品，一次取两件产品，其中有次品的概率是______． 5. 已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________． 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是_______． 7. 在第三十个世界读书日到来之际，为扎实推进学习型社区建设，大力推广全民阅读．某街道在A、B两个社区按照住户比例分别抽取成年居民15人和30人，进行连续15天业余读书时间调查．收集数据整理如下： 社区 调查人数 15天每人平均读书用时（分钟） 15天读书时间的方差 A 15 818 125 B 30 862 380 两个社区调查数据合并成45人后，估计这两个社区15天读书时间的总体方差为_______．（结果保留一位小数） 8. 设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 9. _______． 10. 若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11. 下列关于排列组合的等式成立的个数为（ ）． ① ； ②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 自2016年起，每年4月24日设立为“中国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号火箭将我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，搭乘陈冬、 陈中瑞、王杰3名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前夕凯旋回家． 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个问题编号依次为（ ） A. 28，03，36，24，40 B. 03，36，24，40，04 C 28，03，65，67，52 D. 28， 03，40，01，11 13. 圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A. B. C D. 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14. 从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据） 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本区间和中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在，1人体重在的概率． 15. 质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. （1）抛掷一次骰子，求点数是偶数概率； （2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 16. 设． （1）求函数图象上以点为切点的切线方程； （2）经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 17 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 18. 已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为．椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． （1）若，求的值； （2）现分别过点P、Q作椭圆Γ两条切线相交于点T，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 静安区2024学年第二学期期末教学质量调研 高二数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，18道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有10题，满分35分，其中1～5题每题3分，6～10题每题4分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 2. 函数在闭区间上的零点_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性结合特殊角三角函数值计算求解. 【详解】函数在闭区间，. 因为在单调递增，所以函数在闭区间上只有一个零点. 所以函数在闭区间上的零点只有一个且为0. 故答案：0 3. 函数的导函数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的运算法则计算 【详解】函数的导函数为． 故答案为： 4. 10件产品中有8件合格，2件次品，一次取两件产品，其中有次品的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式、对立事件概率关系以及组合数即可得解. 【详解】一次取两件产品，其中有次品的概率是. 故答案为：. 5. 已知圆C过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质可知圆C的圆心的横坐标为4，进而求出圆心坐标，利用两点坐标求距离公式计算即可. 【详解】由双曲线的方程知，顶点坐标为，焦点坐标为， 又圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点， 所以圆C的圆心的横坐标为4．将代入， 解得，故圆心坐标， 所以圆心到中心（0，0）的距离为. 故答案为： 6. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，并记录朝上的一面是正面还是反面，则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】设连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次正面朝上的次数为，则，根据二项分布的概率公式即可求解. 【详解】设连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次正面朝上的次数为，则， 则恰好出现正面与反面朝上都是2次的概率是. 故答案为：. 7. 在第三十个世界读书日到来之际，为扎实推进学习型社区建设，大力推广全民阅读．某街道在A、B两个社区按照住户比例分别抽取成年居民15人和30人，进行连续15天业余读书时间调查．收集数据整理如下： 社区 调查人数 15天每人平均读书用时（分钟） 15天读书时间的方差 A 15 818 125 B 30 862 380 两个社区调查数据合并成45人后，估计这两个社区15天读书时间的总体方差为_______．（结果保留一位小数） 【答案】725.2 【解析】 【分析】由题意，先求出总体均值，再根据混合模型的总体方差公式计算即得. 【详解】由表格数据可得这两个社区15天读书时间的总体平均用时为：， 则总体方差为 . 故答案：. 8. 设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定椭圆左顶点坐标，然后设建立距离平方函数化简，分析的值，即可求得. 【详解】易知椭圆左顶点，因为点在抛物线上，设， 此时， 易知当，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 9. _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理及逆用求解即得. 【详解】 . 故答案为：. 10. 若焦点在x轴上的椭圆与双曲线有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个交点，则的面积是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，由它们有相同的焦点，得到．根据双曲线和椭圆的定义可得，，在中由三边的关系得出其为直角三角形，由的面积公式即可运算得到结果． 【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为， 椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为， 由它们有相同的焦点，得到，即． 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，① 由椭圆的定义，② 得， 即有， 又， 可得， ，即， 则的形状是直角三角形 即有的面积为. 故答案为：1. 二、选择题（本大题共有3题，满分12分，每题4分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得相应分值，否则一律得零分．】 11. 下列关于排列组合的等式成立的个数为（ ）． ① ； ②；③；④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列，组合的定义，逐一分析各个等式即可. 【详解】对①，由，可知等式①不成立； 对②，由阶乘的定义，得，等式②成立； 对③，由排列组合的定义可知：等式左边， 等式右边，等式③成立； 对④，等式左边, 等式右边=， 与左边相等，等式④成立. 综上，等式②、③、④成立，等式①不成立，成立的个数为 3. 故选：C 12. 自2016年起，每年4月24日设立为“中国航天日”，以纪念1970年4月24日长征一号火箭将我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功送入太空．2025年4月24日是第10个“中国航天日”，搭乘陈冬、 陈中瑞、王杰3名航天员的神舟二十号载人飞船成功发射，以更有纪念意义的太空行动完成了对中国第10个航天日的庆祝活动，同时神舟十九号载人飞船航天员蔡旭哲、宋令东、王浩泽也于五一国际劳动节前夕凯旋回家． 某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，同学们踊跃参与了活动．现从同学们提出的问题中初选40个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：01，02，03，…39，40，从中随机抽取5个问题请大家投票排名．从下列随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出的5个问题编号依次为（ ） A. 28，03，36，24，40 B. 03，36，24，40，04 C. 28，03，65，67，52 D. 28， 03，40，01，11 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机数表依次抽取即可. 【详解】从随机数表第1行第16个数字2开始由左向右依次选取两个数字为：28,03,65（舍去），67（舍去），52（舍去），40,44（舍去），01,85（舍去），11. 所以选出的5个问题编号依次为：28,03,40,01,11. 故选：D 13. 圆心在抛物线上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆心坐标为,则由所求圆与抛物线的准线及x轴都相切可得  所以，故圆心为半径所以圆心在抛物线上,并与抛物线的准线及x轴都相切的圆方程为即，所以D选项是正确的 三、解答题（本大题共有5题，满分53分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 14. 从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据） 分组 频数 5 25 40 20 10 （1）估计样本的中位数； （2）从样本区间和中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在，1人体重在的概率． 【答案】（1）65 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位数定义易得； （2）根据分层抽样确定抽取的6人中中应抽取4人，在中应抽取2人，再运用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 因体重有序样本的第50个值和第51个值都在内，所以估计样本的中位数为. 【小问2详解】 样本和中分别有40人和20人，分层抽样按照2:1抽取6人， 即从样本中抽取4人，在中抽取2人. 6人抽取3人，其中2人体重在，1人体重在的概率为：. 15. 质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6. （1）抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率； （2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7.分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？ 【答案】（1） （2）事件A和B不独立，事件A和C独立 【解析】 【分析】（1）因抛掷骰子得到的点数奇偶各占一半，易得题中概率； （2）依题分别求出事件的概率，以及与的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即可判断. 【小问1详解】 抛掷一次骰子，奇偶点数各占一半，故点数是偶数的概率是； 【小问2详解】 依题易得，因“两次点数和为6”包括“”5种情况，故； 又“两次点数和为7”包括“”6种情况，故， 当第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6，所以， 而，故事件和B不独立． 第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7，所以， 而，故事件和C独立． 16. 设． （1）求函数图象上以点为切点的切线方程； （2）经过点是否还存在函数图象的另一条切线？如果存在，求出该切线与（1）中切线的夹角大小（用反三角函数值表示），如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， .(或) 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再由点斜式求切线方程即得； （2）设另一条切线对应的切点为，写出切线方程，代入点，得到方程，解方程得，利用两条切线的斜率和到角公式即可求出两切线的夹角. 小问1详解】 由，可得，且， 故， 故以点为切点的切线方程为，即. 【小问2详解】 设经过点与函数图象切于另一点的切线存在， 则切线方程为：， 将代入直线方程得， 化简得：， 解得，即存在另一条切线，其斜率为． 设两条切线夹角为，则，或， 则夹角.(或) 17. 函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，当时，函数 在上单调递增，在上单调递减 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，按照，分类讨论函数的单调性； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，当时，不等式化为恒成立，令，则只需，通过求导研究函数的单调性进而求出最小值. 【小问1详解】 ，定义域为， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，所以函数 在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 综上，当时，函数上单调递增； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，对恒成立， 当时，不等式化为恒成立，令，则只需， ，因为，所以 ， 所以当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以函数的最小值为， 所以，即的取值范围为． 18. 已知为二次曲线上一点，则过点的二次曲线的切线方程为．椭圆Γ：的左焦点是、右焦点是，过点的直线l分别交Γ于两点P、Q，其中点P在x轴上方，O为坐标原点． （1）若，求的值； （2）现分别过点P、Q作椭圆Γ的两条切线相交于点T，求的面积的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意设直线l的方程，设和，由列出关于的等量关系式即可求解； （2）先分析直线l垂直于x轴时的面积，再分析直线l不为x轴且不垂直于x轴时，设，与椭圆联立求出韦达定理，再利用弦长公式求出，接着设两直线交点T的坐标为，根据两切线方程得直线的方程，进而由PQ恒过点求出点，于是可得点T到直线l的距离，再由=结合偶函数性质和导函数工具即可求解. 【小问1详解】 由题， 由题意直线l垂直于x轴时或者为x轴时不成立，故可设直线l的方程为， 设，，则由，得， 由，得， 又，故，故， 【小问2详解】 当直线l垂直于x轴时，将代入椭圆方程得点， 根据已知条件切线的方程分别为：， 联立求得两直线交点T的坐标为，此时△TPQ的面积为； 直线l显然不为x轴，当直线l不垂直于x轴时，设， 代入椭圆方程得， 设，，则， 则， 设两直线交点T的坐标为， 根据已知结论有：，因此直线即直线l的方程为， 又PQ恒过点，代入此方程得， 从而直线的方程为，所以， 点到直线l的距离， 故的面积=， 这是关于k的偶函数，只需考虑， 时，， 所以在时单调递减，在时递增，在即直线l垂直于x轴时取得最小值，此时的面积为． 综上，的面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$