上海市杨浦区2025-2026学年高二下学期期末样题数学试卷

2025学年度第二学期期末（样题） 高二年级数学学科 试卷 2026年6月 考生注意： 1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟，可以使用计算器． 2．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．务必用钢笔或水笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名等信息． 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果． 1．2和4的等差中项为_________． 2．抛物线的焦点坐标为_________． 3．抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为_________． 4．半径为1的球的表面积为_________． 5．等比数列的首项为1、公比为2，其前6项的和的值为_________． 6．圆的圆心坐标为_________． 7．某校统计一组学生的单日志愿者服务时长（单位：分钟），如下是根据统计数据绘制的茎叶图，以时长的十位数字为“茎”排列在左侧、以时长的个位数字为“叶”排列在右侧： 该组学生单日志愿者服务时长的中位数为_________分钟． 8．已知向量，，若与垂直，则实数的值为_________． 9．某社区开展青少年实践活动，现有15人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这15人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的1人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 10．正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 11．如图，在空间中，由点引出三条射线、、，从中任取两条射线与点构成的角均为．在上取点，使得线段的长度为1．过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；过点作直线交于点，且；…，以此类推，得到一系列点（为正整数）．连接点和，则直线与直线所成角的余弦值为_________． 12．已知双曲线：的左右焦点分别是、，在双曲线的右支上取2026个不同的点、、…、，要求同时满足下列两个条件： ①，（且）是锐角三角形； ②令，数列是共有2026项的等差数列， 则数列的公差的一个可能的值为_________（答案不唯一）． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑． 13．下列平面图形旋转后能得到如右图所示几何体的为（ ） A．； B．； C．； D．． 14．已知事件和互斥，下列等式一定成立的为（ ） A．； B．； C．； D．． 15．若数列满足，则称是差增数列． 对于以下两个命题： ①若是差增数列，则是严格增数列； ②若由的奇数项组成的子数列和偶数项组成的子数列都是差增数列，则是差增数列， 下列判断正确的为（ ） A．①是真命题，②是假命题； B．①是假命题，②是真命题； C．①是真命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 16．甲同学要计算图中伞面布料的面积．他观察发现伞面有8根伞骨支撑，测量得到伞口处长为90厘米，伞拱高为28厘米． 甲作假设： ①忽略伞面布料重叠和接缝的面积；②___________________________________． 甲根据假设和已知条件建立数学模型，计算得到伞面布料的面积约为6905平方厘米，则假设②为（ ） A．将伞面视作圆锥的侧面； B．将伞面视作正八棱锥的侧面； C．将伞面视作圆台的侧面和上底面之和，其上底面的半径视作下底面半径的三分之二； D．将伞面视作正八棱台的侧面和上底面之和，其上底面边长视作下底面边长的三分之二． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分12分） 如图，已知四棱锥的底面是正方形，平面，． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：平面． 18．（本题满分14分） 已知三条直线：，：，：，． （1）若，求的值； （2）若、、不能围成三角形，求的值． 19．（本题满分16分） 为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 （1）已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； （2）用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； （3）现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 20．（本题满分18分） 如图，“斗”是中国古代标准容积量器，其形状可视作一个正四棱台．已知该正四棱台的高为厘米，厘米，厘米． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小； （3）古代的米店里用“斗”给顾客量米时，为了显示诚信，用斗量米并用木尺刮平斗口后，会特意再抓一把米小心翼翼地添在斗口中央，让米堆起来形成一个“尖”的形状．假设将这个“尖”视作以为底面的正四棱锥，记作．根据物理学中“休止角”的理论，大米的休止角约为，即可视作二面角的最大值为．若忽略“斗”壁的厚度，求这个“斗”加上“尖”最多可以装大米多少立方厘米．（保留到整数位） 21．（本题满分18分） 已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． （1）求椭圆的离心率； （2）设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； （3）点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点做垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $