陕西西安交通大学附属中学2025-2026学年第二学期高三第六次模拟考试数学试卷

班级 交大附中2025~2026学年第二学期 高三第六次模拟考试数学试题 I 注意：本试题共4页，四道大题。 姓名 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.在等差数列{an}中，am=n,an=m(m,nEN+),则atn=() A.mn B.0 C.m+n D.m-n 2.已知集合A={x2-x-2≤0，xER,B={l2-3y<0,yEZ,则AnB=( 考号 A.0 B.{x0<x≤2}C.{0<x≤1} D.{x1≤x≤2，xeZ 3.已知(2+1)(1-b)(其中i为虚数单位)是纯虚数，则实数b的值为() A.-2 B.-1 C.2 D.3 4.下列结论正确的是（) : A.[in(2x-1 B.t-42f@=f四 I C.若y=cos平则y'=-sim牙 D.若f(x)=f'(1)x2-x,则f'(1)=1 5.设a,bER,则“a>b”的一个必要不充分条件可以是( A.23a>36 B.a5-bs E.logia>logib D.a>b 6.平面a的斜线1与平面a交于点4，且斜线1与平面a所成的角是2 则1与平面a内 所有不过点A的直线所成的角的范围是() I A.(0, B.(0, c.匠，引 D.匠， I 7.已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是() A数列[an2不是等比数列 I B.若a3=2,a=32,则a5=士8 C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列 I D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1 I ◆ 第1页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 8.已知函数g()=a-x2(是≤x≤e,e为自然对数的底数)的图象上存在2个点A、A2分 别与h(x)=2lx的图象上2个点B1、B2关于x轴对称，则实数a的取值范围是() A.(1,是+2 1B.[1,e2-2 1C.2+2,e2-2 D.[e2-2,+∞) 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的得0分) 9.已知抛物线C:y=司x2的焦点为R,准线为h,点M(x0,o)在抛物线C上，则下列 说法正确的是() A.准线1的方程为y=一立 1 B.若MF=3,则0=1 C.过点M总能作出两条直线与抛物线C仅有1个交点 D.若xo=4,延长MF与抛物线C交于点N,则NF=2 10.已知f(x)=(3x-4)"的展开式的二项式系数的和为512，且f(x)=a0+a1(x-1)+ a2(x-1)2+…+an(x-1)n,下列选项正确的是() A.a2=-324 B.a1+a2++am=512 C.laol lal+la21+...+lanl =49 D.f(3)除以6所得的余数为5 11.函数f,(x)=sm2”x+cos2"x(n∈N),记，(x)的最小值为a,则下列说法正确的是() A4+a+a,= B.对任意的正整数n,,()的图象都关于直线x=T对称 c.2m+a)<2 D.设b,=√m·an,Sn为{b,}的前n项和，则Sn<25-4b2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知角a的终边过点(3,1)，则tn2a+出 cos2a 13.已知a>2,b>0,42-6a+2b=0,则2+的最小值为 a-2 b 14.平面内互不重合的点A1、A2、A3、B1、B2、B3、B4,若1A1B:+A2B:+A3B=i, 其中=1,2,3,4，则B1B2+B2B3+B3B4的取值范围为 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15.(13分)如图，四边形ABCD中，∠DAB=120°，AD=5,AB=3, (I)若∠CDA=∠CBA=90°，求AC的长 (2)若∠BCD=60°，当四边形ABCD面积最大时，求AC的长 D 16.(15分)已知函数f(x)=x2+ad-xna,a>1. (1)若a=e,求f(x)的单调区间. (2)r≥1，求f(x)在[-t,t上的最小值与最大值 17.(15分)自2021年以来，某地区新能源产值规模呈快速增长态势，如表给出了近5年 该地区的新能源产值y（单位：亿元) 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份编号x 1 2 3 4 5 产值y 1.5 2.5 3.4 4.9 7.8 (1)若用夕=x+à作为回归模型，且y-}=1.61,求此模型的方程及其决定系 数R2(精确到0.01)： (2)若用)=cd作为回归模型，求此模型的方程： (3)己知回归模型)=cd的决定系数≈￥0.96，请说明哪种回归模型拟合效果更好， 并用拟合效果好的模型预测2026年该地区的新能源的产值（精确到0.01）. 参考数据： 名 e0058 e04 1.5 i=l 3 4.02 1.24 75.3 104.91 16.16 22.54 1.1 1.5 11.4 附：①表中z=ly: ②对于一组数据(x,y),(2，y),,(x,y),其经验回归方程为少=x+, CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 2k-0-列 6= 立y- ;a=y-旋： 84-时 快定系数引士9明 20- -=1- 20,- 22- 18.(17分)如图，圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1,AC=2AA=2A1C1=4,B为 底面圆周上异于A,C的任一点. C 图1 图2 (1)若劣弧BC中点为E（如图1)，过点E作出平面α⊥平面BCC1,请说明平面a的 作法，并证明平面α⊥平面BCC1: (2)现定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线 与两条直线的交点所形成的线段叫做两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线 段的长度，叫做这两条异面直线的距离.当B为半圆弧AC的中点（如图2)所示，设 平面A1AB∩平面C1CB=l,El,求异面直线CQ与A1A距离的最大值. 19.(17分)已知椭题c:兰+荐=1a>功>0的短轴长为2，离心率为号 (1)求椭圆C的方程； (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点，C,D为椭圆上不同的两点， ()若C,D关于直线y=一x+1对称，求实数k的取值范围： ()若C,D关于x轴对称，直线AC和BD交于点E.过点F(2,O)的动直线与点 E的轨迹交于P,O两点，在x轴上是否存在定点M,使得aPFM= (PMI? 若存在， SAQFM IQMI 求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由. 第4页，共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP,5L,uC1LJu八HJALn 高三第六次模拟考试数学答案解析 题号 1 3 N 6 6 7 答案 B D C D c C A 思号 9 10 11 答案 BC ACI) BCD 12. 2. 13.2 14.[1.5]. 15. 【解答】解：(1)圆内接四边形ABCD中，∠DAB=120,AD=5,AB=3. 由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos120°=25+9+15=49，即BD=7, 3分 设圆内接四边形1BCD的半径为n由正孩定理得20o=立=2r,即2r= 7 3 因为∠CDA=∠CBM=90°，所以AC为圆内接四边形ABCD的直径，所以AC=1 -6分 3 （2)四边形面积ABCD为：SaAo+aoc=×3×5×号+CB·CD×号 要使四边形ABCD的而积最大，只要CB·CD最大， 设CB=m、CD=n,由余弦定理得BD2=m2+n2-mn=49,即m2+n2=mn+49, 又m2+n2≥2m1、故m+49≥2mm,mn≤49，当且仅当m=n=7时取等号. 此时AC2=AB2+m2-2AB"mcos∠ABC=9+49-42cos∠ABC, 此时CB=CD,∠BCD=60°，所以△BCD为等边三角形， -9分 所以∠BDC=60°，所以cos∠ABC=cOs(∠ABD+∠DBC)=coS(∠ABD+60°)， 在△MBD中.n29=o即sn∠MBD=0in∠120°=×9=9 AD BD 2 14 所以cos∠ABD=VT-stn2ZABD=共. -11分 141 所以cos∠ABC=cos(∠/BD+60°)=cosABDco60-Sin∠ABDsin60°=os∠ABD-号n∠ABD=×告 9×=-月所以4C=9+49-42×(-月=8。 一13分 16.【解答】解：(1)当a=e时，函数f(x)=r2+e-x,因此导函数(x)=2+er-1, 一1分 设函数g（x)=了（x)=2r+e-1,那么导函数g'(x)=2+e. 因为导函数g'（x)>0,x∈R,所以函数g(x)在R上单调递增. -2分 从而得导函数了（x)在（-∞，+∞)上单调递增，又因为了(0)=0， 因此当xE(0,+∞)时，(x)>0,当xE（-∞，0)时，了(x)<0. -4分 所以函数∫(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调增区问为(0，+)· 5分 （2)导函数(x）=2x+cma-ma, 设函数g(x)=(x)=2x+ana-lma,那么导函数g'(r)=2+an2a. 因为导函数g'(x)>0.xER.所以函数g(x)在R上单调递增、 7分 从而得导函数了(x)在（-∞，+∞)上单调递增，又因为.(0)=0， 所以当x∈(0，+∞)时，(x)>0Yxe（-∞，0)时，/(x)<0, 所以函数∫(x)的单调减区间为(-∞，0)，单调增区问为(0.+∞)· -8分 ≥1，∫(x)则(-1,0)单调递减，在(0，)单调递增， 因此函数∫(x)的最小值为∫(0)=1，∫(.r)mr=mar{f(-),∫(l), 10分 因为f(1)=+d-la,∫(-1)=2+a+lna,所以f(1)-(-1)=d-a‘-2la. p (1)=d-a!-2tlna,p (1)=a'lnata 'lna-2lna=Ina (a'ta!-2). 因为a>1,1≥1，所以d>1,所以d+a≥2，llma>0,所以p'()>0, 则函数p()[.+∞)单调递增，所以p()>p(1)=a-。-2na, 设@)=a-2na.a>1.则'(@)=1+片-是=a4-ag>0. 02 则h(a)>h(1)=0,所以p()>0,即∫(1)>f(-)、 -14分 所以∫(x)在-，上的最人值为f(1)=+a-lma,最小值为f(0)=l. 15分 六模物化生3/16 31化八的住州y日国Ap月 17.【解答】解：(1)由题意知，b=n受= 75.3-5×3×4.02 2第1-n=+49+16+z5-5x=1.5. 一一1分 ∴.a=-bx=4.02-15×3=-0.48,故此模型的方程为y=1.5x-0.48: -3分 -10y1-习2=7-1y7-52=104.91-5×16.16=24.11, 好=1-是g=1-=098 -5分 (2)将y=cdx两边同时取对数，得my=ln(cdr)=(lmd).x+lnc, 令z=lmp,则z=(lmd)x+lnc, -7分 六lnd=受=2255x124=0.394,d=e0则=15. -9分 说1x好-5x2 55-5×32 .lnc=z-lnd.x=1.24-0.394X3=0.058,c=eo.os8=l.1. 一1分 故此模型的方程为y=1.1×1.5x. -12分 （3)R3≈0.96>R?≈0.93，y=1.1×1.5*的拟合效果更好， 一13分 当x=6时，y=1.11.56=12.54,即预测2026年该地区的新能源的产值为12.54亿元. -15分 18.【解答】解：(1)连接O1E、EO2,O1O2,平而E01O2即为所求作的平而a, 一2分 证明：，在圆台O1O2中，O1O2⊥平面CBA,BCc平面CBA,.O1O2⊥BC, -4分 :E为劣弧配中点，OE为圆O2的半径，∴.O2E⊥BC, -6分 又O1O2∩02E=02,O102,02Ec平而01O2E,.BC⊥平而O1O2E, -7分 又，BCc平面BCC,∴.平面OO2E⊥平面BCC,即a⊥平面BCC1: 一8分 （2)延长AA,CC交于点D,故DEAAIC平而ABA1,DECC1C平而CC1B, 故平面A1AB∩平面CCB=BD,BD即l,在△ACD中，DC,DA,DB均为圆谁母线. 由AC=2A41=2A1C1=4,得DC=2CC,BC=2V2,故D02=2V3, 以02为原点，02B,02C,0201方向为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系， 则C(0,2,0),B(2,0.0),D(0,0,2③)，A1(0,-1,V③)，C(0,1,V),AA1=(0,1,V③)，AB= (2,2,0),CC1=(0,-1,V3),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,2W3), 一10分 设BQ=1BD,(ER且λ≠1)，则CQ=BQ-BC=1BQ-BC=(-21+2,-2,23). 一一11分 将41，C2平移至平而B,设平面B的法向量平而n=(xo,yo,2o), 分 则：A=0.即%+5，=0 员.c0=0'x(2-2)-2%+2W32=0 取n=(3(+1),V3(1-),1-1), --一14分 AC=(0,4,0), 则异而直线C2与AM的距离d为AC在上的投影向量的长度即c司 则==4W3二令=1，则d=元 43 l 当1=0时，入=1，此时CQ与小M相交，不为异而直线（舍）： 当1≠0时，0<d= 分 w5一≤2V3, 及-兴+72+4 当且仅当λ=-1，异而直线CQ与AM的距离有最大值23， 一17分 0分 (2b=2 19.【解答】解：(1)根据∈= a、3 ，得6=1，a=V3,c=V瓦.因此椭圆为：号+x2=1.—3分 a2=b2+c2 (2)(i)由题意可知：直线：)=一+1对称，则设直线y=+m,C(x,),D（2,2)· (y=kx+m 分 若+x2=1整理得：(3+)42m+m2-3=0. 由韦达定理可知：0=一=是 3+k2 4分 根据题意：△=42m2-4(3+2)(m2-3)=12(k2-m2+3)>0, 一5分 六榄物化生4/16 S扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP 设线段B的中点P(o,为)，则0=轻=一梁，o=aotm= 3+k2 一6分 友P在直线y=-+1上，器=-()+1，m= 代入△>0，可得3+2-4<0，解得：<1，则k∈(-1,0)U(0,1) N分 (ii)设D(xo,-%),C(xo,yo），E(x,y), 那么AC:y=+1,BD:y=兴K-1), 相乘可得yy=6+)·兴（-1.即y2=碧器2-1). 因为C在椭圆上.兰+好=1.即-器=3代入得)P=3公1)， 化简得x2-号=1，由于点E不与A,B重合，因此y≠0. 即动点E的轨迹为x2-苦=1，不包含顶点。 11分 由于aPPM= PMH-IFMIsInLPMF PMI SAQFM GIQMI-IFMI-SInZQMF IQMI' 因此sin∠PMF=sin∠QMF,即∠PMF=∠2MF,所以kPAr+kQN=O. 13分 设M,0》,那么名+是=- +,=0,即2my0+(2-)(y1ty2)=0. my+2-(中my2+2-( 根据韦达定理可y+%二一：%~h=n 所以2m3n2二+2-0=0，化简得18m+（-12m）(2-0)=0. 又由于PQ斜率存在，因此有m≠0.因此=， -16分 因此在x轴上存在点M(,0),使剁= -17分 SAOPM IQMI M