精品解析：四川省彭州中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

绝密·启用前 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期末考试 数学试卷 命题人：黄宇静 审题人：蔡乐达 *祝愿你们考试顺利！* 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 2. 已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ） A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用共线向量的定义可判断A选项；利用空间任意两个向量共面可判断B选项；利用共面向量的定义可判断C选项；利用空间向量的基本定理可判断D选项. 【详解】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 3. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条直线的位置关系求解. 【详解】因为直线：，：，且， 所以，解得， 故选：D 4. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（　　） A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：右焦点为，斜率不存在时直线的方程为，代入双曲线方程可得弦长，斜率存在时设，，设出直线的方程与双曲线方程联立，利用弦长公式求出，求出得值即可得出正确答案. 方法二：求双曲线过右焦点的通径，由此判断当直线与双曲线的交点都在右支上时，满足条件的直线的条数，再求双曲线的实轴长，由此判断直线与双曲线的左右两支各有一个交点时，满足条件的直线的条数，由此确定结论. 【详解】双曲线的右焦点为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入双曲线可得：，即，满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， 代入双曲线可得：， 方程的判别式， 设，则：，， 所以 化简可得：，解得：， 所以斜率存在且满足条件的直线有条，所以共有条， 故选：C. 方法二：过右焦点且垂直于实轴的弦长为， 因为， 所以当直线l与双曲线的两交点都在右支上时这样的直线只有一条. 又实轴长为，， 所以当直线l与双曲线的两交点分别在左、右两支上时这样的直线应该有两条， 所以满足条件的直线共三条. 故选：C. 5. 已知直线与椭圆交于两点，且线段中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法求解可得直线和斜率间的关系，进而得到，再根据椭圆离心率的定义可得所求． 【详解】设， ∵点在椭圆上， ∴， 两式相减整理得， ∴，即， ∴， ∴， ∴椭圆的离心率为． 故选D． 【点睛】求椭圆离心率或其范围的方法：①根据题意求出的值，再由离心率的定义直接求解．②由题意列出含有的方程(或不等式)，借助于消去，然后转化成关于的方程(或不等式)求解． 6. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点，且与轴相交于点，若，|，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设，过点分别作作轴的垂线，利用相似三角形和推得得，结合焦半径公式代入可得答案. 【详解】如图，不妨设，则，， 则，（*） 过点分别作轴的垂线，垂足分别为， 易得， 因，故，即， 将（*）代入，可得，解得. 故选：D. 7. 已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离，    所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D. 【详解】因为，所以，不垂直，A错， 因为，所以，B对， 因为，所以，所以不是钝角，C错， 因为在方向上的投影向量，D对， 故选：BD. 10. 已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若与至少有一个公共点，则 B. 若与有且仅有两个公共点，则 C. 若，则上到的距离为5的点只有1个 D. 若，则上到的距离为1的点只有3个 【答案】BCD 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据公共点个数判断的符号求m的范围，利用直线到椭圆切线的距离判断直线与椭圆的交点个数. 【详解】联立，消去得，则判别式， A：令，则有，错误； B：令，则有，正确； C：令直线与椭圆相切，则，即， 直线与的距离，正确； D：如图，直线分别与和的距离均为1，因此，上到的距离为1的点只有3个，正确. 故选：BCD 11. 设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 过的直线交于两点，则的周长为 B. 的最大值为 C. 存在点，使得为直角 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由椭圆方程求出，依托椭圆的定义逐一分析，选项A：利用椭圆的定义拆分三角形周长得；选项B：由焦点三角形面积公式结合纵坐标最大值求面积极值；选项C：通过短轴顶点处顶角最大，算出最大角为判定无直角；选项D：设焦半径，结合定义表示另一焦半径，构造函数，利用单调性求取值范围，最终确定正确选项． 【详解】由题可知，，， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，当为上下顶点时，最大值为，B错误； 对于C，当为上下顶点时，最大，此时，故这样的点不存在，C错误； 对于D，设（，即），则，所以， 是增函数， 因为，，所以的值域为， 即的取值范围为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间中任意四个点，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】解：． 故答案为： 13. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 14. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故， 所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）x＝4或3x＋4y-8＝0. （2） 【解析】 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程； （2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 16. 如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）先证明平面，结合等体积法即可求解. 【小问1详解】 由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法、点到平面的距离的向量求法可得答案. 【小问1详解】 在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，设点，， 设平面的法向量，，， 令，可得，又， 所以直线与平面所成角的正弦值， 化简可得，即， 所以或（舍）， 即点，由可得，，， 所以点到平面的距离． 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出直线AM与BM的斜率，由已知直线AM与BM的斜率之积为−，可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与BM有斜率的条件； （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出P，Q两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形； （ii）由（i）可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为； （2）（i） [方法一]【分别求得斜率的表达式利用斜率之积为即可证得题中的结论】 依题意设， 直线的斜率为，则， 所以． 又，所以， 进而有，即是直角三角形． [方法二]【利用三点共线和点差法真的斜率之积为即可证得题中的结论】 由题意设，则． 因为Q，E，G三点共线，所以， 又因为点P，G在椭圆上，所以， 两式相减得， 所以，所以． （ii） [方法一]【求得面积函数，然后求导确定最值】 设，则直线的方程为，联立解得 所以直线的方程为． 联立直线的方程和椭圆C的方程，可得， 则， 所以． 令，即 ． 注意到，得，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当时，． [方法二]【利用弦长公式结合韦达定理求得面积表达式，然后求导确定最值】 设的中点为N，直线的斜率为k，则其方程为． 由解得．由（Ⅰ）得．直线的方程为，直线的方程为，联立得，． 又，从而，进而．以下同解法一． 【整体点评】(2)(i)方法一：斜率之积为是证明垂直的核心和关键； 方法二：利用三点共线和点差法使得问题的处理更加简单. (ii)导数是求最值的一种重要方法，在求最值的时候几乎所有问题都可以考虑用导数求解； 19. 如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案； （Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值 【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为； （Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法 设， 由， ， 由在抛物线上，所以， 又， ，， . 由即 ， 所以，，， 所以，的最大值为，此时. [方法二]【最优解】： 设直线，. 将直线的方程代入椭圆得：， 所以点的纵坐标为. 将直线的方程代入抛物线得：， 所以，解得，因此， 由解得， 所以当时，取到最大值为. [方法三] ：点差和判别式法 设，其中． 因为所以． 整理得，所以． 又， 所以，整理得． 因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ① 由得． 因此，将此式代入①式解得． 当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为． [方法四]：参数法 设， 由，得． 令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得． 所以，此时M坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密·启用前 2025-2026学年度四川省彭州中学高2024级高二上期末考试 数学试卷 命题人：黄宇静 审题人：蔡乐达 *祝愿你们考试顺利！* 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ） A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D. 对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 3. 已知直线：，：，若，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 4. 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（　　） A. 一条 B. 两条 C. 三条 D. 四条 5. 已知直线与椭圆交于两点，且线段中点为，若直线（为坐标原点）的倾斜角为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点，且与轴相交于点，若，|，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为钝角 D. 在方向上的投影向量为 10. 已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（ ） A. 若与至少有一个公共点，则 B. 若与有且仅有两个公共点，则 C. 若，则上到的距离为5的点只有1个 D. 若，则上到的距离为1的点只有3个 11. 设为椭圆：上一动点，为左、右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 过的直线交于两点，则的周长为 B. 的最大值为 C. 存在点，使得为直角 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间中任意四个点，，，，则________． 13. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 14. 如图，已知抛物线：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点，轴于点N.若四边形的面积等于，则p的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 16. 如图，，，，,为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到的距离. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 18. 已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 19. 如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）． （Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $