期末题型分类突破：解答题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 以题型为纲，融合模型方法与知识逻辑，强化几何直观、推理意识和模型观念的解题能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明|4题（含一线三垂直模型）|全等判定、模型迁移|从基础证明到模型应用，构建“性质-判定-模型”逻辑链| |不等式与不等式组|4题（含实际应用）|解集数轴表示、参数讨论|解法步骤→实际应用→综合拓展，体现运算能力与应用意识| |图形的平移与旋转|4题（含坐标变换）|坐标变换、对称作图|平移/旋转性质→坐标表示→动态问题，培养空间观念| |因式分解|4题（含整体思想）|提公因式法、公式法、整体代换|基本方法→几何意义→代数推理，渗透数形结合| |分式与分式方程|4题（含规律探究）|分式运算、方程求解、规律归纳|运算性质→实际应用→规律探究，强化代数表达| |平行四边形|4题（含动态几何）|性质与判定、动点问题|定义→性质→判定→综合应用，构建平面图形认知体系|

期末题型分类突破：解答题-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 题型导航 题型一：三角形的证明 题型二：不等式与不等式组 题型三：图形的平移与旋转 题型四：因式分解 题型五：分式与分式方程 题型六：平行四边形 题型特训 题型一：三角形的证明 1．如图，是的平分线，．求证：． 2．如图，在中，，D，E分别是上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 3．直线经过点，点．过点的直线交直线于点D，交y轴于点E． (1)求D点坐标； (2)点M为y轴上一动点，的面积为5，求点M的坐标； (3)连接，点G是直线上一点，且满足，直接写G的坐标． 4．“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索． 【模型呈现】 (1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由； (2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________； (3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由． 题型二：不等式与不等式组 5．解不等式，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 6．解不等式组． (1)解不等式，得 (2)解不等式，得 (3)如图，把不等式和的解集在数轴上表示出来 (4)原不等式组的解集为 ． 7．今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：购进45个肉粽和50个蛋黄粽，总费用为240元；购进50个肉粽和45个蛋黄粽，总费用为235元． (1)求肉粽和蛋黄粽每个的进价； (2)超市将肉粽的售价定为4元/个，蛋黄粽的售价定为5.5元/个．若超市计划购进这两种粽子共500个． ①设购进肉粽个，全部售完后的总利润为元，求关于的函数表达式； ②根据市场需求，超市计划在不超过1050元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 8．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， 求m的取值范围，并化简； (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 题型三：图形的平移与旋转 9．在如图所示的平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上． (1)分别写出三角形的三个顶点的坐标； (2)点D的坐标为，将三角形平移，使点A平移到点D，画出平移后的三角形，其中点B、C的对应点分别为点E、F． 10．如图，在中，平分，交于点，经过平移得到，点，，分别移至点，，的位置．求证：． 11．如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图1中，画出图中向下平移3个单位后的图形； (2)在图2中，画出图中关于直线对称的图形： (3)在图3中，在的下方取一个格点，连接，使． 12．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，将线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点、的坐标； (2)点、分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若点是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的倍时，求点的坐标． 题型四：因式分解 13．因式分解： (1)； (2)． 14．先阅读材料，再解答问题： 已知，求的值． 解：将“”看成一个整体，设， 则原式可变形为． 将代入，得， 则，所以． 以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． (1)因式分解：； (2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长． 15．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． (1)用若干个类、类、类卡片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用张卡片、张卡片、张卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 16．初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 题型五：分式与分式方程 17．计算 (1) (2) 18．解方程：． 19．金银花是河南传统特色经济作物，多地盛产优质金银花．已知加工前每千克鲜金银花的售价比加工后每千克干金银花的售价便宜80元，用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等． (1)求每千克鲜金银花的售价． (2)某医药公司计划本月购买鲜金银花与干金银花共300千克，且干金银花的质量不少于鲜金银花质量的，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 20．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 题型六：平行四边形 21．如图，E、F是平行四边形的对角线上的点，．求证：． 22．如图，在中，点在上，点是线段的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：； (2)若点为的中点，，求的度数． 23．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点B在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，A，E，H三点重合（即，），点B与点M重合，四边形和四边形都是平行四边形，，． (1)求的长度； (2)若，，，求E，H两点之间的距离． 24．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点，且a、b、c满足，点P在上从点C开始向点D运动． (1)求点D的坐标； (2)若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点P运动的时间为t秒，当时，求t的值； (3)当是等腰三角形时，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末题型分类突破：解答题-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024）》参考答案 1．见解析 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，作于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 2．(1)证明：在中，， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， 由（1）可知：， ，， ， 平分， ． ∴． 3．(1) (2)点M的坐标为或 (3)点G的坐标为或 【分析】（1）由待定系数法求出直线表达式为，然后和直线联立求解即可； （2）先求出点的坐标，再根据求解即可； （3）分两种情况进行讨论，通过构造等腰直角三角形，再构造“一线三等角”的全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， 代入点，点得，， 解得， ∴直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； （2）解：如图， 对于直线，当时，， ∴， ∵， ∴， ， ， 解得， 当点M在点E上方时，， ∴； 当点M在点E下方时，，此时点M位于y轴负半轴； ∴； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：如图，当点在y轴左边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 如图，当点在y轴右边时，过点B作交于点H，过点H作于点I， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴同理可得，直线的表达式为， ∴将和联立得，， 解得， ∴； 综上所述，点G的坐标为或． 4．(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下： 如图1所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (2)8 (3)，理由如下： 如图3，过点D作于点F， ，， ∴同理得：， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系； （2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度； （3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系． 【详解】（1）略； （2）如图2所示： 在等腰直角中，，， ， 于点D，于点E， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ，， ； （3）略． 5．， 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示：略． 6．(1) (2) (3)解集在数轴上表示如解图： (4) 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得； （3）略 （4）解：由上可得，原不等式组的解集为． 7．(1)肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元 (2)① ②购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元 【分析】（1）设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y，然后根据题意列出函数关系式即可；②先根据题意列不等式求得x的取值范围，再根据一次函数的性质求最大利润即可． 【详解】（1）解：设肉粽每个x元，则蛋黄粽每个y元， 根据题意得，，解得． 答：肉粽每个2元，则蛋黄粽每个3元． （2）解：①设购进肉粽x个，则购进蛋黄粽个，总利润为y， 得，即； ②根据题意得，，解得：， 由题意得：， ∵，y随x的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为. 答：购进肉粽450个，则购进蛋黄粽50个，最大利润为1025元． 8．(1)； (2)，10； (3)． 【分析】（1）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，进一步计算即可求解， （3）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵，， ∴； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，且，解得：且． 综上，． 9．(1) (2) 【分析】（1）根据图象可直接得出点的坐标； （2）根据题意得，将图形先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度即可． 【详解】（1）解：三角形的三个顶点的坐标为； （2）略 10．见解析 【详解】证明：是由平移而来， ，， ．     平分， ， ． ， ． 11．(1)如图，即为所求： (2)如图，即为所求： (3)如图所示： 【分析】（1）取点、、下方3个单位的格点，连接成三角形即可； （2）作点、关于的对称点、，与点连接成三角形即可； （3）取点下方1个单位的格点，即为所求点，连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 由图可知，四边形和四边形都是正方形， ∴点与点，点与点都关于直线对称， ∴与关于直线对称； （3）解：如图， 由图可知，是等腰直角三角形， ∴， 由图可知，，， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴． 12．(1)点的坐标为、的坐标为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据平移的方向和距离写出点、的坐标； （2）设运动秒后轴，把点、的坐标分别用含的代数式表示出来，根据平行于轴的点的纵坐标相等，即可得到关于的方程，解方程求出即可得到运动的时间； （3）设点的坐标为，把和的面积用含的代数式表示出来，根据三角形的面积是三角形面积的倍列方程求解． 【详解】（1）解：线段向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到线段，点、的坐标分别为、， 点的坐标为、的坐标为； （2）解：设运动秒后轴， 运动秒后点的坐标为，点的坐标为， 轴， ， 解得； （3）解：如图所示，设与轴交于点，则， 设点的坐标为， 则，， 点的坐标为、的坐标为， ，， ，， 三角形的面积是三角形面积的倍， ， 整理得：， 当时，可得： ， 解得：， 点的坐标为； 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为； 当时，可得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，点的坐标为或． 13．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．(1) (2) 【分析】（1）设，则原式可变形为，据此可得答案； （2）设，则可推出，得出，可得到答案． 【详解】（1）解：设，则原式可变形为， 将代入，得原式； （2）， 设， ， 解得： ，即， 该长方形的周长为． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）拼成的长方形长为 ，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解； （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据类纸片对应的面积项，分别确定的值，最后计算的值； （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为 ，宽为， ∴长方形面积为 ：， ∵长方形面积等于所有纸片面积和：， ∴； （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， ∴类卡片对应，故；类卡片对应，故；类卡片对应，故； ∴ ； （3）解：由完全平方公式可得： ， ∴ ， ∴ ， ∵为正数， ∴ ． 16．(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 【详解】解： 去分母，得：， 移项并合并同类项，得：， 解得， 经检验，是原方程的解． 19．(1)每千克鲜金银花的售价为20元． (2)最省钱的购买方案为购买250千克鲜金银花、50千克干金银花． 【分析】（1）设每千克鲜金银花的售价为元，则加工后每千克干金银花的售价为元，根据用1000元收购的鲜金银花的质量与用5000元收购的干金银花的质量相等列分式方程求解即可； （2）设购买鲜金银花千克，则购买干金银花千克．根据题意列不等式，求出的取值范围，设总费用为元，则．求出y取得最小值时的的值即可． 【详解】（1）解：设每千克鲜金银花的售价为元，则加工后每千克干金银花的售价为元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每千克鲜金银花的售价为20元． （2）解：设购买鲜金银花千克，则购买干金银花千克． 由题意，得，解得． 由（1），知每千克鲜金银花的售价为20元， ∴每千克干金银花的售价为100元． 设总费用为元，则． ，∴y随x的增大而减小． ∴当时，y取得最小值，此时． ∴最省钱的购买方案为购买250千克鲜金银花、50千克干金银花． 20．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）对二次根式进行通分、化简，最终开方得到整式或分式形式，并观察规律得出下一个等式的表达形式. （2）通过观察等式的分子、分母、结果的变化规律，用含的代数式表示第个等式，并进行分式的混合运算，化简得出结论． （3）利用前面的规律，将多个二次根式的乘积转化为分式的连乘，通过 “中间项全部抵消” 的连锁约分简化计算，得到答案． 【详解】（1）解：根号内的分子为：是连续奇数，第个为， 根号内的分母为：，第个为， 等式右边为：，第个为， ∴第个等式为：，即； （2）解：根号内的分子：是连续奇数， ∴第个为， 根号内的分母：， ∴第个为， 等式右边:， ∴第个为， ∴第个等式为：， 证明：左边， 为正整数， ， 原等式成立； （3）解：， ， 根据（2）中结论可得， 上式． 21．证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 【详解】略． 22．(1)证明：点是线段的中点， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由中点的性质得到，再由证明三角形全等； （2）根据已知可证为的中位线，得到，由平行线的性质结合全等的性质等量代换可得，即可得解． 【详解】（1）略； （2）解：当点为的中点时， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答； （2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得， ∴． 24．(1) (2)5 (3)P的坐标为，，， 【分析】（1）先求出点A，点B，点C的坐标，再由平行四边形的性质求解即可； （2）先判断出四边形是平行四边形．再由列式求解即可； （3）分类讨论，，，三种情况，结合勾股定理求解坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 所以，． ∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴； （2）解：当时，又， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵点P的运动速度为每秒1个单位长度，点P运动的时间为t秒， ∴，则， ∴，解得； （3）解：当时， 如图，作，垂足为点E． 在中，，， ∴． ∴． 同理可得． 当时， 如图，作，垂足为点F． ∴， ∴． 当时， 如图，作，垂足为点G． 在中，，， ∴． ∴． ∴． 综上，点P的坐标为，，，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $