浙江省杭州市萧山区2025-2026学年八年级下学期期末模拟数学试卷

**基本信息** 立足八年级数学核心内容，融合文化传承（如《九章算术》折竹问题）、生活实践（如滑梯坡比计算）与动态探究（如动点四边形问题），全面考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、反比例函数、反证法|第1题结合微分几何曲线情境，考查空间观念| |填空题|6/18|二次根式、多边形内角和、统计|第12题以冰裂纹窗格为背景，考查几何直观| |解答题|8/72|方程求解、几何证明、统计分析、函数综合、动点探究|第22题销售利润问题体现模型意识，第24题动点平行四边形存在性考查创新意识|

浙江省杭州市萧山区2025-2026学年八年级下学期期末模拟数学试卷 满分120分，考试时间120分钟。 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则函数图象一定还经过（    ） A． B． C． D． 4．设a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5. 用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 6． 如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（    ）米 A． B． C． D． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点， 于，于，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子， 原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远， 则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺， 根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 9． 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， 以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象 恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）．则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，点E和点F分别是正方形边和上的两个动点，在运动过程中始终保持，已知正方形的边长是3，下列结论中：①；②当时，；③；④的长度随E、F的运动而变化．其中正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11．要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 12． 图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶， 形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度． 13．小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，， 若，，则对角线的长为_______． 15. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是 ． 16. 如图，矩形纸片中，，，是上一点， 将沿对折得到，延长交于点，恰有，则的长为 ．    三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： (1) ； (2) ． 18．解方程： (1) ； (2) ． 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1) 求证：四边形为平行四边形． (2) 若，求四边形的面积． 20. 李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析， 两人的成绩如下： 小聪：76，80，79，85，80； 小亮：77，79，81，82，81． 李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）． 平均成绩 中位数 众数 小聪 80 小亮 80 81 (1) 填空： ； ； ． (2) 李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差． (3) 根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由． 21. 如图，在平行四边形中，， 垂直平分分别交于点E，O，F． (1) 判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由． (2) 求四边形的面积． 22. 杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量， 7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1) 求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2) 该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现， 在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克， 若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ① 每千克核桃应降价多少元？ ② 在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售． 该店应按原售价的几折出售． 23. 如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1) 填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2) 若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后， 得到的点D也在反比例函数的 图象上，试求m和n的值． (3) 直接写出满足 的的取值范围． 24. 如图，在平行四边形中，，，． 动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发， 以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1) 用含t的代数式表示 ； (2) 当时，求t的值； (3) 请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市萧山区2025-2026学年八年级下学期期末模拟数学试卷（解析版） 满分120分，考试时间120分钟。 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义判断． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选C． 2．下列计算，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可；本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【详解】A．，故本选项不符合题意 B．，故本选项不符合题意 C．，故本选项不符合题意 D．，故本选项符合题意 故选：D． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则函数图象一定还经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．根据反比例函数的定义，若点在其图象上，则，已知点在图象上，可求出的值，再验证各选项是否满足，据此进行分析即可作答． 【详解】解：将点代入， 得， 解得； ∴反比例函数解析式为； A、，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C 4．设a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求出与的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为a，b， ，， 则原式， 故选：B． 5. 用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 6．如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡比为，滑梯的坡比为，若扶梯长为4米，则滑梯的长为（    ）米 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据矩形的性质得到，得到（米），求得米，得到米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵扶梯的坡比为， ∴， ∴（米）， ∴米， ∵滑梯的坡比为， ∴， ∴米， ∴（米）， 答：滑梯的长为米． 故选：B． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点， 于，于，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 8. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子， 原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远， 则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺， 根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 9． 如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， 以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象 恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，先求出、两点的坐标，可得，，证明，求出的长，得出点坐标，进一步求得点的坐标，把点坐标代入反比例函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的中心点的坐标为，即， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即的值为． 故选：D． 10．如图，点E和点F分别是正方形边和上的两个动点，在运动过程中始终保持，已知正方形的边长是3，下列结论中：①；②当时，；③；④的长度随E、F的运动而变化．其中正确的有（    ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用旋转构造全等三角形证明；设未知数利用勾股定理计算的长；通过代数变形判断的范围；利用角平分线的性质判断的长度是否为定值． 【详解】解：①如图，将绕点顺时针旋转得到，即， ，，， 正方形， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ，， ，故①正确； ②设，则， ，， ， 正方形的边长是3， ，， 在中，， 则，解得， ，故②正确； ③设，，则，， ， ， 在中，， ，则， 整理，得， ， ，， ， ， ，故③正确； ④， ，即平分， 正方形， ， ， ，故④不正确 综上所述，正确的结论有①②③． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11．要使二次根式有意义，则x的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方式为非负数得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一） 12． 图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶， 形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______度． 【答案】360° 【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可． 【详解】由多边形的外角和等于360°可知， ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， 故答案为360°． 13．小丽参加“强国有我”主题演讲比赛，其形象、内容、表达三项的成绩分别是85分、90分、80分，若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小丽的最终比赛成绩为______分． 【答案】86 【分析】本题主要考查了求加权平均数，根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小丽的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：． 14．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，， 若，，则对角线的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键．由平行四边形的性质及，得，由，得，所以利用勾股定理求出的长，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线，交于点O，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上，且，则k的取值范围是 ． 16. 如图，矩形纸片中，，，是上一点， 将沿对折得到，延长交于点，恰有，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，设，，根据矩形和折叠的性质，表示出相应线段，先利用勾股定理在中，列出方程，求出，从而求出，再在和中，利用勾股定理列出关于x的方程，解之可得结果． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 在矩形中，，， 由折叠可得：，，， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， ∴， 在和中， ， 即， 解得：， 则， 故答案为：．    三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行二次根式的化简以及乘法运算，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式以及完全平方公式进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法进行求解即可； （2）根据因式分解法进行分解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； 19. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1) 求证：四边形为平行四边形． (2) 若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先证明四边形是菱形，则，，继而求出，则四边形的面积，即可解答． 【详解】（1） 证明：∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，连接交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 20. 李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛，现对两人的5次测试成绩进行整理分析， 两人的成绩如下： 小聪：76，80，79，85，80； 小亮：77，79，81，82，81． 李老师将两人的成绩分析如下：（单位：分）． 平均成绩 中位数 众数 小聪 80 小亮 80 81 (1) 填空： ； ； ． (2) 李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差，请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差． (3) 根据以上信息，请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择，并说明理由． 【答案】(1)80，81，80； (2)3.2； (3)选小亮参加知识竞赛，因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一） 【分析】本题考查了方差、平均数，中位数和众数，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． （1）分别根据平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的计算公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义解答即可．（答案不唯一）． 【详解】（1）解：小聪的平均数， 把小亮的5次测试成绩从小到大排列，排在最中间的数是81，故中位数， 小聪的5次测试成绩中80出现的次数最多，故众数， 故答案为：80，81，80； （2）解：， 故小亮5次测试成绩的方差为3.2； （3）解：选小亮参加知识竞赛，理由如下： 因为两人的平均数相同，但小亮的方差比小聪小，成绩更稳定，所以选小亮参加知识竞赛．（答案不唯一）． 21. 如图，在平行四边形中，， 垂直平分分别交于点E，O，F． (1) 判断四边形是何种特殊四边形？并说明理由． (2) 求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)6 【分析】（1）先证明，则，又由得到四边形是平行四边形，由垂直平分即可证明四边形是菱形； （2）先证明是直角三角形，则，则，得到，得到，则，即可得到菱形的面积． 【详解】（1）四边形是菱形， 理由如下：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积是． 22. 杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量， 7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1) 求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2) 该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现， 在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克， 若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ① 每千克核桃应降价多少元？ ② 在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售． 该店应按原售价的几折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2） 解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元， 利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ② 设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下， 该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 23. 如图，已知直线和反比例函数 的图象交于第一象限的，两点． (1) 填空∶当时，n=__________；直线的函数表达式为__________． (2) 若把点先向左平移3个单位，再向下平移6个单位后， 得到的点D也在反比例函数的 图象上，试求m和n的值． (3) 直接写出满足 的的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式.也考查了待定系数法求函数的解析式以及观察图象的能力． （1）根据题意，把代入得；由也在该反比例函数图象上，得，再把分别代入，利用待定系数法可得结论； （2）如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上，所以，解得.将代入解析式可得，； （3）直线与关于原点对称，所以直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点，结合图象可知满足不等式的x的取值范围 【详解】（1）解：若，则， 根据题意，把代入得． ∵也在该反比例函数图象上， ∴， 解得．        再把，分别代入， 得∶ ， 解得∶ ． ∴． （2）解：如图，根据题意可得点平移后的点也在该反比例函数图象上， ∴， 解得． ∴，解得 ． （3）解：∵， 移项可得， 如图，直线与关于原点对称， ∴直线和反比例函数的图象交于第三象限的两点， 结合图象可知满足不等式的的取值范围是或． 24. 如图，在平行四边形中，，，． 动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发， 以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1) 用含t的代数式表示 ； (2) 当时，求t的值； (3) 请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， 同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， 同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $