精品解析：河南新乡市原阳县2026届高三下学期5月统一模拟考试数学试题

2026届高三下学期5月统一模拟考试 数学试题 满分150分．用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 2. 若，则的实部为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由于， 所以， 故的实部为 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，则，解得， ，． 4. 已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的分配律展开表达式，结合数量积定义，将展开求解即可. 【详解】. 5. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分别分析函数和的最大值，再根据三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数的最大值为1，的最大值为1， 由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1， 即当时，，， 得，，， 当时，，其他值不满足等式. 故选：D 6. 已知表示不超过的最大整数，若为函数的极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后，构造，分别求出，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可. 【详解】由题意可得， 令， 时， 所以在递增， 则，， 所以存在，使得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故为函数的极值点， 依题意，， 所以， 故选：B. 7. 设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及双曲线定义列式求解. 【详解】令双曲线C：的半焦距为，由点在上且满足，， 得，则， 即，消元解得， 由双曲线定义得，则， 即，整理得，即，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为，即. 8. 已知点为函数和图象的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点在函数上得出等式，再同构设新函数，再求导函数得出函数的单调性进而得出等式的值. 【详解】因为点为函数和图象的交点， 所以，即的根为. 因为，所以，故，且为方程的根. 令，则，所以在上单调递增. 又，所以，即，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. ，相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件的和与事件的关系可得，根据独立事件的定义即可判断A，B；利用条件概率公式计算即可判断C，D. 【详解】随机事件A，B满足，，， 又， 所以，又， 所以，相互独立，故A,B正确； ，故C不正确； 因为，所以，又因为，相互独立，则也相互独立， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（ ） 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③. 参考数据：，，，. A. y关于x的线性回归方程为： B. 相关系数（小数点后保留两位） C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B. 【详解】计算均值： ， ， 选项A：根据公式，  ，  线性回归方程为，A正确； 选项B：相关系数，B正确； 选项C：代入回归方程： ，预测月销售量为千件，不是千件，C错误； 选项D：时， ，残差 ，D正确. 11. 对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”.则（ ） A. 对于，点，则点是M在的“最近点” B. 对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直 C. 已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.则对任意的，的中点同时是，在的“最近点” D. 已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，由题意得，利用基本不等式结合函数新定义即可判断；对于B，由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点，再证明直线与切线垂直即可；对于D,根据题意得到 ，对两等式化简，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，即可判断.对于C，举反例判断. 【详解】A. 对于，点， ， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”. B.由题设可得， 则，因为均为上的单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故 ，此时， 而 ，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直. D.设，， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得 ， 即 ① ② 由①②相减得 ，即 ， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则 恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减，D错误. C.由D的分析可知存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递减， 满足在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正， 但不单调递减，故对任意的，的中点不是，在的“最近点”，C错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或，求出倾斜角即可. 【详解】如下图，由题意， 直线方程可化为， 由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 13. 已知二项式的展开式中的常数项为，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得，令指数为0，代入运算求解即可. 【详解】由题意可知展开式的通项为， 令，解得， 可得，即. 故答案为：1. 14. 在等边中，为内一动点，，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质构造直角坐标系，求出相关点坐标，结合已知条件和圆的性质，求出圆心和半径，进而求出的轨迹方程，设，求出方程，再根据直线与圆的位置关系构造不等式求出的范围，进而求出最小值． 【详解】设等边三角形边长为1，建立平面直角坐标系， 则， 已知为定边，，则在以为弦的圆上，圆心，在中垂线上， 设圆心为，半径为， 在中，，由余弦定理得 ， 解得, ，故， 的轨迹方程为：， 则， 设，则， 整理得， 直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，圆心，半径， 则， ， 整理得，平方展开得， 即， ，故，即的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接． 因为是的中点，，，所以． 又，所以，从而，在平面中，有． 所以，又平面BDN，平面． 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接、交于点，连接，由是中点、，推出，再结合得，故，由平行线分线段成比例定理得，再由线面平行判定定理，得平面. （2）以为原点建系，写出各点坐标与相关向量，分别求出平面与平面的法向量，再用向量夹角公式算出两平面夹角的余弦值，进而求得正切值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，以为坐标原点，以的方向为轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，底面四边形为菱形，所以易得为等边三角形. 则，，，． 所以，，，． 设为平面的法向量， 则，即 可取． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，所以． 设平面与平面的夹角的正切值为． 16. 的内角A，B，C的对边分别为．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角,接着代入条件求出,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角的值. （2）由三角形面积公式结合已求角算出关系式,设正弦定理比值为参数,利用内角和与两角和正弦公式求出,用表示出后代入等式解出,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长. 【小问1详解】 由， 又，所以．即， 由余弦定理得，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以，，． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 17. 2026年中央广播电视总台春节联欢晚会设立义乌分会场，向全球展现了“世界小商品之都”的商贸活力与新春年味．某机构为研究观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关，从观看了义乌分会场节目的观众中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 对节目基本满意 对节目特别满意 合计 不了解义乌小商品市场 60 40 100 了解义乌小商品市场 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关； （2）节目组设置了摸“义乌小商品盲盒”游戏环节，观众每次游戏有两种结果： 摸到“一锤定音”，概率为，此时观众获得100元奖金，游戏结束； 摸到“再接再厉”，概率为，此时观众获得10元奖金，并继续游戏，奖金累计计入总奖金； 若一名观众参与游戏最多可摸10次，10次均未摸到“一锤定音”，游戏也结束．求游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值． 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数表求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）法1：求出的可能值及对应的概率，再利用期望的定义列式，利用错位相减法求和即得；法2：求出获得的累计奖金期望的递推公式，再利用构造法求出通项公式即可. 【小问1详解】 零假设：观众对节目的满意度与了解义乌小商品市场无关， 计算， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 认为观众对义乌分会场节目的满意度与了解义乌小商品市场有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 方法1：奖金总数， ，其中，， 因此， 即， ， 两式相减得， ， 于是， 所以游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值为：. 方法2：设为剩余最多n次抽奖机会时，获得的累计奖金期望， 则，即，， 因此，而， 则，当n＝10时，， 所以游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值为. 18. 已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）直线过定点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程和双曲线方程分别可焦点坐标，进而可得，，再由椭圆的性质可得，因此可得椭圆方程； （2）设交点坐标，再联立直线的方程与椭圆的方程消去，由根与系数关系及可得，进而可得直线过定点. 【小问1详解】 由抛物线，得焦点， 因为椭圆过抛物线的焦点，所以. 由双曲线，得焦点， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以. 由椭圆的性质，， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消去得， ， ，， 由已知， 所以， 所以， 则， ， ，解得，满足， ∴直线的方程为，故直线恒过定点 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）①②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【小问1详解】 因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 ①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下学期5月统一模拟考试 数学试题 满分150分．用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 使得式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的实部为（ ） A. B. C. D. 0 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知非零向量，满足，，与的夹角为120°，则（ ） A. B. C. 7 D. 10 5. 若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知表示不超过的最大整数，若为函数的极值点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为原点，，为双曲线C：（，）的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为函数和图象的交点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. ，相互独立 C. D. 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示.则（ ） 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 参考公式：①；②；③. 参考数据：，，，. A. y关于x的线性回归方程为： B. 相关系数（小数点后保留两位） C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 11. 对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”.则（ ） A. 对于，点，则点是M在的“最近点” B. 对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直 C. 已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.则对任意的，的中点同时是，在的“最近点” D. 已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______． 13. 已知二项式的展开式中的常数项为，则______. 14. 在等边中，为内一动点，，则的最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 16. 的内角A，B，C的对边分别为．已知，． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 17. 2026年中央广播电视总台春节联欢晚会设立义乌分会场，向全球展现了“世界小商品之都”的商贸活力与新春年味．某机构为研究观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关，从观看了义乌分会场节目的观众中随机抽取了200人进行问卷调查，得到如下列联表： 对节目基本满意 对节目特别满意 合计 不了解义乌小商品市场 60 40 100 了解义乌小商品市场 30 70 100 合计 90 110 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析观众对义乌分会场节目的满意度是否与了解义乌小商品市场有关； （2）节目组设置了摸“义乌小商品盲盒”游戏环节，观众每次游戏有两种结果： 摸到“一锤定音”，概率为，此时观众获得100元奖金，游戏结束； 摸到“再接再厉”，概率为，此时观众获得10元奖金，并继续游戏，奖金累计计入总奖金； 若一名观众参与游戏最多可摸10次，10次均未摸到“一锤定音”，游戏也结束．求游戏结束时该观众获得的总奖金数X的均值． 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 19. 已知函数，． （1）判断函数的单调性． （2）若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $