精品解析：河南南阳市西峡县第一高级中学、内乡县高级中学等校2025-2026学年高三下学期五月适应性考试数学试题

高三年级五月适应性考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，所以， 由，解得，所以， 故． 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，故，解得，故选C． 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由是定义在上的奇函数，得， 故，当时，， 所以， 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律及投影向量求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模为． 5. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，利用垂直关系可得，再求出可得椭圆的短轴长. 【详解】为椭圆的右焦点，连接， 根据椭圆的对称性可知，又，有， 由，有，得， 由，得， 由得，所以椭圆的短轴长为． 6. 已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平均数的性质确定删除的数据，再利用方差公式列出关于的方程，最后求解方程得到的值. 【详解】由题意知：原数据的平均数为6，方差为24， 即，因此： 又因为删除某个数据后平均数没有变化，则被删去的数据等于原平均数6， 因此被删数据与平均数的差的平方为 ， 所以删除该数据后，新的方差为：, 因为 ，所以：， 所以 ，解得 . 7. 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 8. 已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究单调性，图像可得答案. 【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则， 因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根， 即直线与图像有两个交点，，. 得在单调递增，在单调递减， ，，时，时， 据此可得大致图像如下，由图像得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题白要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，M为圆O：上一点，则（ ） A. 点B在圆O外 B. 的最大值为6 C. D. 的最大值为9 【答案】ABD 【解析】 【分析】由点与圆心间的距离与圆的半径比较，确定点与圆的位置关系，判断A；求出圆上的点到定点的距离的最大值为定点到圆心的距离加上圆半径，判断B；设，表示出，得其关系，即可判断C；求得，即可得其最大值，判断D. 【详解】对于A，，所以B在圆O外，故A正确； 对于B，由图知，当且仅当点为圆与轴的左交点时取等，故B正确； 对于C，D，设，则， 故， ， 则，故C错误； 所以由B项可得，，当且仅当时取等，故D正确． 10. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求得，且，结合体积公式，可判定A正确；得到公共点的轨迹是以AB为直径的圆，可判定B错误；连，证得平面，得到，可判定C正确；求得球半径为，结合等体积法，可判定D正确． 【详解】对于A，由已知得,所以，且， 所以圆锥的体积为，所以A正确； 对于B，由公共点的轨迹是以AB为直径的圆，因为为正三角形，所以为中点， 可得，所以轨迹的周长为，所以B错误； 对于C，连，可得，且， 由，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为等腰直角三角形，所以，所以C正确； 对于D，设球半径为，则 ，可得， 由，且， 可得到平面的距离为，所以截面圆的半径为， 所以平面AEF截球O的截面面积为，所以D正确． 11. 已知函数与的部分图像如图所示，，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 若在上有9个零点，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图像求解的解析式即可判断AB；根据正切函数的性质判断C；根据诱导公式，同角三角函数的平方关系及两角差的正弦公式判断D． 【详解】对于A，B，． 若，则，得，所以， 又且，得，此时，符合题意； 若，则，得，所以， 又且，得，此时， 在其单调递减区间内，与图像不符， 所以，最小正周期为，A正确，B错误； 对于C，由得， 所以相邻两零点的距离为，因为在上有9个零点， 所以，即，C正确； 对于D，由，得， 又由，且，， 则， 所以 ， 所以，故D正确． 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的第3项． 13. 已知等比数列的前项和为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】得出，求出公比为，再根据得出即可求出. 【详解】因为，所以， 则，则， 得，即等比数列的公比为， 因为，，所以，得， 则. 14. 已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的渐近线上一点，且在第一象限，为的左支上一点，若四边形为菱形，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的性质结合已知条件得出右焦点、渐近线方程，设点，根据菱形的性质求出，进而求出点坐标，结合求出点坐标，代入双曲线方程求出关系，进而求出的离心率． 【详解】双曲线右焦点，满足， 离心率，为的渐近线上一点，且在第一象限，则渐近线方程为， 菱形边长为，且， 设点，由得， 化简得，解得或（舍去）， 故， ， ，代入双曲线方程得， 展开化简得，即，， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，，，求的取值范围． 【答案】（1） 单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导数的符号判断单调区间； （2）不等式恒成立等价于. 由的单调性，并计算端点值，比较得的最大值和最小值，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为，对求导得  ， 由于恒成立，因此的符号由​决定. 当或时，，即； 当时，，，则，即. 因此，的递增区间为和，递减区间为. 【小问2详解】 对任意，等价于. 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，因此 最小值； 端点值，， 因此最大值. 因此，即的取值范围为. 16. 如图，一张边长为2的正方形纸片，为的中点，现沿将折起至，使得． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）由正方形边长为 2， 为 中点，得 ， 折叠后, , 因为，所以，所以, 折叠前， ，折叠后， , 又因为 ，且平面 ， 所以; （2） 【解析】 【分析】(1)通过线面垂直判断定理证明；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为原点， 为 轴， 为 轴，垂直于平面 的方向为 轴，建立空间直角坐标系，则，，，设， 因为,所以 解得，即 ， 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则,令, 则 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ， ， 所以， 所以直线 与平面 所成角的正弦值是. 17. 已知抛物线：上的点到直线的距离的最小值为． （1）求的方程； （2）设的焦点为，过点的直线与交于，两点（在第一象限），以为直径的圆与轴交于点（在的右侧），若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设上点，利用点到直线的距离公式表示出到直线的距离，利用二次函数的图象性质对的表达式进行讨论可得结果； （2）方法一：设直线的方程为，与抛物线联立得，设，．由韦达定理得和的值，再由在以为直径的圆上得，由得到的坐标，将点的坐标代入计算可得，从而得到的值； 方法二：由在以为直径的圆上得，再由，设，表示出和，记的准线为，过点作于，则，可得和，在中，利用正弦定理，结合，化简可得，从而得到. 【小问1详解】 设上点， 则到直线的距离， 当即时，，不符合题意； 当即时，．所以，得，故的方程为； 【小问2详解】 方法一：焦点，显然直线斜率不为0，设直线的方程为，与抛物线联立得， 设，．由韦达定理得，， 因为在以为直径的圆上，所以． 由得，所以，整理得， 即，得或， 又因为在的右侧，所以，故， 所以． 方法二：因为在以为直径的圆上，所以， 由，设，则，则， 记的准线为，过点作于，则， 得，同理， 在中，由正弦定理得． 又，代入得， 整理得，得（负根舍去）， 所以. 18. 某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． （1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； （2）求该顾客的奖金不低于元的概率； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 【答案】（1） （2） （3）174元． 【解析】 【分析】（1）结合排列组合的有关计算公式求对应的概率； （2）列出奖金的可能情况，分析如何获得对应的奖金数，求出对应概率即可. （3）求出抽取银券可获得的奖金的期望，再利用给出的公式，求该顾客获得奖金的期望. 【小问1详解】 游戏停止时共抽取5次，即前四次抽到2金2银，且第五次抽到金券， 故所求的概率为； 【小问2详解】 奖金不低于270元，则可能为300元，290元，280元，270元． ①若奖金为300元，即连续抽到3次金券，其概率为； ②若奖金为290元，即前三次抽到两张金券和一张－10元银券，且第四次抽到金券，其概率为； ③若奖金为280元，即前三次抽到两张金券和一张－20元银券，且第四次抽到金券，同②知； ④若奖金为270元，一种情况是前三次抽到两张金券和一张－30元银券，且第四次抽到金券，同②知其概率为； 另一种情况是前四次抽到两张金券、一张－10元银券和一张－20元银券，且第五次抽到金券，其概率为， 所以； 综上所述，奖金不低于270元的概率为. 【小问3详解】 方法一：记银券分别为，，…，，对应面值－10元，－20元，…，－60元． 记， 银券与4张金券被抽到的先后次序是等可能的，表示在与4张金券一起排列时，排在了前三个位置上，所以，， 所以，， 因为奖金， 所以， 即奖金的期望为174元． 方法二：记为停止时抽到银券的张数，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，且. 由已知得，，， ，， ，， 计算得． 又因为，所以， 因为每张银券被抽到是等可能的，所以，， 所以， 即奖金的期望为174元． 19. 给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． （1）当时，若，，直接写出，； （2）记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 【答案】（1） ， （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据集合及“逆对数”的定义，结合已知条件，写出，； （2）（i）方案一：按“去掉后逆对数的变化”分类，综合得出递推式；方案二：按的位置直接分类，综合得出递推式； （ii）插入，分类讨论逆对数的来源，建立递推关系，再构造等比数列求通项． 【小问1详解】 （1） ， ． 【小问2详解】 （2）（i）方案一：设是中“逆对数”为1的一个排列， 且这两个数为， 若去掉中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于，之间或最后； 若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置， ； 方案二：对按所在位置分类： 若在末位，则当的逆对数为1时，的逆对数为1； 若不在末位，设，，则当的逆对数为1时， 前面和后面的数都从小到大排列，共个，逆对数个数， 综上， ． （ii）设是中“逆对数”为2的一个排列，且，， 若去掉中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于，或，之间或最后： 若去掉后逆对数为1，且为，则可能位于除最后与，之间的所有位置， ， 由（i）知 ， 又 ，则 ， 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ， ， ， 又 ，则 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级五月适应性考试 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. “不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》，“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得，，其中为椭圆的左焦点，经过坐标原点，则该椭圆的短轴长为（ ） A. 2cm B. 4cm C. D. 6. 已知一组样本数据的平均数为6，方差为24，若删除某个数据后，平均数没有变化，方差变为30，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 8. 已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题白要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点，，M为圆O：上一点，则（ ） A. 点B在圆O外 B. 的最大值为6 C. D. 的最大值为9 10. 如图，圆锥的轴截面为正三角形，底面圆的半径为，CD，EF为圆的两条直径，且，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 球O与圆锥的公共点的轨迹的周长为 C. 异面直线BF与PA所成角为 D. 平面AEF截球O的截面面积为 11. 已知函数与的部分图像如图所示，，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 若在上有9个零点，则 D. 三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的第3项为______． 13. 已知等比数列的前项和为，若，则______． 14. 已知双曲线：的右焦点为，为坐标原点，为的渐近线上一点，且在第一象限，为的左支上一点，若四边形为菱形，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，，，求的取值范围． 16. 如图，一张边长为2的正方形纸片，为的中点，现沿将折起至，使得． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知抛物线：上的点到直线的距离的最小值为． （1）求的方程； （2）设的焦点为，过点的直线与交于，两点（在第一象限），以为直径的圆与轴交于点（在的右侧），若，求． 18. 某商场举行回馈顾客的抽奖游戏．箱子里有10张奖券，其中4张“金券”，6张“银券”．每张“金券”面值均为100元；每张“银券”面值不同，分别为元，元，…，元．顾客从箱中不放回地依次抽取奖券，直至抽到3张“金券”时停止，不可中途退出游戏．游戏停止时，顾客抽到的所有奖券的面值之和作为顾客的奖金．现有一顾客参加了此次抽奖游戏． （1）求游戏停止时该顾客共抽取5次的概率； （2）求该顾客的奖金不低于元的概率； （3）已知随机变量的期望具有线性可加性，即对于随机变量X，Y，有，求该顾客的奖金的期望． 19. 给定自然数，定义集合为的一个排列．对于中的任意一个元素，定义集合，将的元素个数称为的“逆对数”例如，若中的一个元素，则，的“逆对数”为2． （1）当时，若，，直接写出，； （2）记为中“逆对数”为的元素个数． （i）求与的递推关系式； （ii）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $