2025-2026学年七年级数学下学期期末综合提升练（浙教版）

**基本信息** 以浙教版七下知识为载体，整合代数、几何、统计模块，渗透换元法、数形结合思想，构建“概念生成-方法提炼-应用拓展”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数综合|1-8、11-13、16-19|分式性质、幂运算、换元法因式分解|从整式到分式的运算拓展，方程与代数式变形的关联| |几何探究|9-10、22、24|平移性质、角度转化、数形结合验证恒等式|平面图形性质与代数表达式的互化，空间观念的具象化| |统计应用|7、14、20|抽样代表性、扇形图数据分析|数据收集与整理的逻辑，用数据解释现实问题的应用意识|

七年级数学下学期期末综合提升练 （浙教版新教材七下全部） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示的图案分别是几种国产汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 3．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 4．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（    ） A． B． C． D． 6．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 7．某初中2026年共16个班约有800名学生参加中考复习教学质量检测．考试后为了解数学考试情况，需从中抽取80份试卷答案，统计分析每道题的解答情况．为了使所了解的数据具有代表性，则下列抽样方案最合适的是（    ） A．每班中随机挑选5份试卷 B．全校男、女生中各随机挑选40份试卷 C．相邻2个班作为一个组合，从8个组合中随机挑选80份 D．按照成绩分成优、良、合格、待合格4组，每个组中随机挑选20份 8．甲乙两地修建智能化高速铁路，运行里程由原来的缩短为，运行时间缩短为原来的一半，平均速度比原来快千米/小时，设原来的运行时间为小时，则以下方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 二、填空题 11．要使分式有意义，x的取值应满足_________． 12．分解因式：__________． 13．已知方程组的解满足，则k的值为_____． 14．某学校对学生参与社团情况做了调查，并将调查的数据整理后绘制成如图所示的扇形统计图（每个学生只能参加一个社团）．如果参加编程社的学生有120人，那么参加绘画社的学生有_______人． 15．已知以下三个数：，，，则最大的数为______； 16．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程（组）： (1) (2) 19．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 20．为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； (2)补全条形统计图； (3)若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 21．阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． (1)请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） (2)小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． (3)请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 22．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 23．某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 24．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学下学期期末综合提升练 （浙教版新教材七下全部） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示的图案分别是几种国产汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；找出各选项中图形的“基本图案”，结合平移的性质可得到答案． 【详解】解：选项B、C、D都不能由“基本图案”经过平移得到， 而选项A是由一个平行四边形平移得到的，故符合题意． 2．若是关于的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将已知解代入原方程组，求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴． 3．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义进行判断，若代数式形如，其中，为整式，且分母中含有字母，则该代数式为分式，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：根据分式的定义判断： 选项A：分母是常数，不含字母，是整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项B：是常数，属于整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项C：分母为常数，不含字母，是整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项D：分子是整式，分母是含有字母的整式，满足分式定义，故该选项符合题意． 4．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 5．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵对于科学记数法，当 时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，， ∴将的小数点向左移动位，得到原数为． 6．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 7．某初中2026年共16个班约有800名学生参加中考复习教学质量检测．考试后为了解数学考试情况，需从中抽取80份试卷答案，统计分析每道题的解答情况．为了使所了解的数据具有代表性，则下列抽样方案最合适的是（    ） A．每班中随机挑选5份试卷 B．全校男、女生中各随机挑选40份试卷 C．相邻2个班作为一个组合，从8个组合中随机挑选80份 D．按照成绩分成优、良、合格、待合格4组，每个组中随机挑选20份 【答案】A 【详解】解：A方案中，每班抽5份，，刚好满足抽取数量，且覆盖所有班级的学生，每个学生被抽到的机会均等，样本具有代表性． B方案中，未给出全校男女生的人数比例，各抽40份无法保证样本符合总体结构，不具有足够代表性． C方案中，仅从挑选的组合中抽样，部分班级没有样本纳入，无法反映整体情况，不具有代表性． D方案中，未按各成绩组的人数比例抽样，各组均抽20份会导致样本比例失调，不具有代表性． ∴最合适的抽样方案是A． 8．甲乙两地修建智能化高速铁路，运行里程由原来的缩短为，运行时间缩短为原来的一半，平均速度比原来快千米/小时，设原来的运行时间为小时，则以下方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度路程时间，分别表示出原来和现在的速度，再利用“现在平均速度比原来快千米/小时”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设原来的运行时间为小时， 根据题意得． 9．如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的同旁内角互补，分别列出、与内错角的关系，然后计算进行判断；过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，分别得到、，然后将两式相加进行判断；过拐点作平行线，用同旁内角互补表示，用内错角相等表示，然后代入进行判断；过点作，利用平行线的内错角相等传递角度进行判断． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ，即， 故①错误； 如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，即， ， ， ， ， 即， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，， ， ， ， 故正确． 综上，正确结论的个数为个． 10．如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 二、填空题 11．要使分式有意义，x的取值应满足_________． 【答案】x≠2 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-2≠0， 解得x≠2. 故答案为x≠2. 12．分解因式：__________． 【答案】 【分析】直接提取公因式x进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 13．已知方程组的解满足，则k的值为_____． 【答案】2 【详解】解：， 得， 整理得， ∵， ∴， 解得， ∴k的值为2． 14．某学校对学生参与社团情况做了调查，并将调查的数据整理后绘制成如图所示的扇形统计图（每个学生只能参加一个社团）．如果参加编程社的学生有120人，那么参加绘画社的学生有_______人． 【答案】80 【分析】用参加编程社的学生人数除以扇形统计图中编程社的百分比可得总人数，再用总人数乘以绘画社人数百分比即可解答． 【详解】解：（人）， （人）． ∴参加绘画社的学生有80人． 15．已知以下三个数：，，，则最大的数为______； 【答案】 【分析】将三个幂变形为同指数的形式，再根据指数为正整数，底数大于时，底数越大幂越大，比较大小即可得到结果． 【详解】解：因为，，且， 所以，即， 又因为，且， 所以，即， 综上可得：， 故最大的数为：． 16．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减计算即可； （2）根据平方差公式，多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 由②可得，， 将③代入①得，， 解得：， 把代入③得， ∴原方程组的解为； （2）解： 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 19．先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 20．为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； (2)补全条形统计图； (3)若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 【答案】(1)， (2)图见解析 (3)估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有350人 【分析】本题主要考查的是根据表格和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）设总人数为，根据占比求出总人数，再根据扇形统计图，求出等级为“优秀”的人数，等级为“良好”的人数，根据圆心角度数等于乘以百分比，即可； （2）补全条形统计图； （3）根据样本估计总体，即可． 【详解】（1）解：总人数为 ∴样本容量为； 由扇形统计图可得：等级为“优秀”的人数：（人）， ∴等级为“良好”的人数为：， ∴“良好”等级对应的圆心角度数为： ． （2）解：补全统计图如下： （3）解： （人）． 估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有人． 21．阅读材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：用换元法对多项式进行因式分解． 解：把“”看成一个整体，令， 则． 把代入得，原式． (1)请你用换元法对下列多项式进行因式分解： ①___________．（填空） ②．（写过程） (2)小聪发现也可以用换元法因式分解． 解：原式 … 请帮小聪同学把过程补充完整． (3)请直接写出因式分解的结果： ①___________． ②___________． 【答案】(1)①；②； (2)解：原式 令， 则原式 ， ∵， ∴原式. (3)①；② 【分析】（1）利用换元法进行求解即可； （2）先利用多项式乘以多项式的法则进行展开，再利用换元法进行因式分解即可； （3）仿照（2）的思路进行求解即可. 【详解】（1）解：①令， 则 ； ∵， ∴原式； ②令， 则 ； ∵， ∴原式； （2）略 （3）解：① ； ② . 22．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 23．某公司计划购买、两种型号的机器人搬运材料．已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等． (1)求、两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； (2)该公司计划采购、两种型号的机器人搬运材料，且要求两种型号的机器人都必须购买，它们同时工作1小时恰好搬运材料，那么有多少种购买方案？请列出所有可能的方案． 【答案】(1)型每小时搬运材料，型每小时搬运材料 (2)有3种方案：方案1：购买2台型机器人，9台型机器人：方案2：购买4台型机器人，6台型机器人；方案3：购买6台型机器人，3台型机器人 【分析】（1）设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型机器人台，购买型机器人台，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料 ，依题意得： ， 整理得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：型每小时搬运材料，型每小时搬运材料； （2）解：设购买型机器人台，购买型机器人台， 由题意得： ， ， ， 、取正整数 或或， ∴有3种方案： 方案1：购买2台型机器人，9台型机器人： 方案2：购买4台型机器人，6台型机器人； 方案3：购买6台型机器人，3台型机器人． 24．已知． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，，，的平分线交于点． ①求的度数． ②已知，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．若，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①②当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】（1）过点C作，则有，然后得到，然后计算解题； （2）①过点C作，过点P作，求出，，，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出 ，由计算即可得到结论； ②由①可得，，然后分点F在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①过点C作，过点P作， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． ②由①得，，， ∵， ∴， 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点F在点P的左侧时，如图，则， ∴， ∴； 当点F在点P的右侧时，如图， 则， ∴， ∴． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $