第4章 第10节 三角形的特殊线段问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角形中的特殊线段”专题，依据高考评价体系梳理了角平分线、高线、中线三大核心考点，通过近三年模拟题与真题分析，明确角平分线定理应用、中线长度计算等高频考点占比超60%，归纳求角度、长度、最值等典型题型，构建完整解题框架。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”，如以2023全国甲卷角平分线问题为例，用面积法、向量法突破，培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言（模型应用）能力。特设“方法总结库”和“易错警示”，助力学生掌握技巧，教师可据此精准教学，实现高效备考。

第4章 三角函数、解三角形 第10节 三角形中的特殊线段 2027届高中数学一轮复习 1 例1　(2025·湖北·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c+ccos 2A+2acos Acos C=0. (1)求A; (2)若∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，且b+c=4，求 + 的最小值. 题型一　三角形中的角平分线问题 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 (1)求A; [解析] (1)在△ABC中， 由b+c+ccos 2A+2acos A·cos C=0， 得b+2ccos2A+2acos Acos C=0， 由正弦定理得sin B+2cos A(sin Ccos A+sin A·cos C)=0， 即sin B+2cos Asin(A+C)=0， 则sin B+2cos Asin B=0，而sin B>0， 解得cos A=-，又0<A<π，所以A= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 (2)若∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，且b+c=4，求+的最小值. [解析] (2)由(1)知∠BAD=∠CAD=，设∠ADB=θ，<θ<， 在△ABD，△ACD中，由正弦定理得 = = ， 则BD= ，CD= ，令λ=∈，a=BD+CD=λ(b+c)=4λ， 在△ABC中，由余弦定理得16λ2=a2=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=16-bc<16， + = += = = ， 令f(λ)=λ(1-λ2)，求导得f'(λ)=1-3λ2<0，函数f(λ)在上单调递减， 则f(λ)max=f= ，所以 +的最小值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 练习1　(2023·全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　　　　.  2 解析 (方法1)由题意,在△ABC中,AB=2,BC=,∠BAC=60°, 由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,解得AC=+1, 由正弦定理得,,解得C=45°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°. 名师导学第一轮总复习 高三数学 如图,过点D作DE⊥AC于点E,设DE=t,由几何知识得,AD=2t,AE=t,CE=DE=t,∴AC=AE+CE=t+t=+1,解得t=1,∴AD=2t=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 (方法2)由方法1知,AC=+1, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,∴AB·ACsin 60°=AB·ADsin 30°+AC·ADsin 30°, ∴×(+1)=AD+AD,解得AD=2. (方法3)由方法1知,AC=+1. 由角平分线定理得-1. 又BC=,∴BD=,DC=, 于是+(1-, 则|=[+(1-2=|2+(1-)2||2+2××(1-×4+×(+1)2+2××(1-)×(+1)=4,故||=2,即中线AD=2. (方法4)由方法1知,AC=+1. 由角平分线定理得-1. 又BC=,∴BD=,DC=. 设AD=x,在△ADB和△ADC中,由余弦定理可得cos∠ADB=,cos∠ADC=. 由于cos∠ADB+cos∠ADC=0,所以=0,解得x=2,故AD=2. 方法总结　求解三角形角平分线问题的常用方法 例2　(2024·辽宁沈阳·模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 =1. (1)求角A的大小; (2)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，AF=6，求CF+BF的最大值. 题型二　三角形中的高线问题 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 (1)求角A的大小; [解析] (1)因为 =1， 所以sin2C-sin Csin B=cos2B-cos2A=1-sin2B-1+sin2A， 所以sin2B+sin2C-sin2A=sin Csin B， 由正弦定理可得b2+c2-a2=bc， 由余弦定理可得cos A= = ， 又A∈(0，π)，所以A= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 [解析] (2)延长AF交BC于点D，延长BF交AC于点E，延长CF交AB于点P，AF=6， 根据题意可得BC⊥AD，BE⊥AC， 因为∠CAB=，所以∠EBA=∠ACP= ， 设∠FAB=α，α∈，则在△ABF中，由正弦定理可得 = ， 即 = ，可得BF=12sin α， 同理在△CFA中，可得CF=12sin， 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 所以BF+CF=12 =12 =12=12sin， 因为α∈，所以α+∈， 所以sin∈， 所以BF+CF∈(6，12]. 即CF+BF的最大值为12. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 练习2　(2025·河北石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=3,b=2,∠BAC的角平分线AD的长为,则BC边上的高线AH的长为(　　) A. B. C.2 D. B 解析 由题意知,设∠BAD=∠CAD=α,则∠BAC=2α.如图所示,由S△ABC=S△ABD+S△ACD,可得×3×2sin 2α=×3×sin α+×2×sin α,整理得3sin 2α=2sin α,即sin α(3cos α-)=0.又因为sin α≠0,所以cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=,所以sin 2α=.在△ABC中,由余弦定理,得a2=32+22-2×3×2cos 2α=13-4=9,所以a=3.因为 S△ABC=bcsin 2α=a·AH,则×3×2××3·AH,解得AH=.故选B. 方法总结　1.设h1,h2,h3分别为△ABC的边a,b,c上的高,则h1∶h2∶h3 =. 2.求高一般采用等面积法,即求某边上的高,需要求出面积和底边的长度. 高线的两个作用:(1)产生直角三角形;(2)与三角形的面积相关. 题型三　三角形中的比例线段问题 例1　(2025·黑龙江齐齐哈尔三模) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为a(csin C+bsin B -asin A).若a=2,且△ABC的周长为5,则BC边上的中线AD=　　　　.  解析 依题意,a(csin C+bsin B-asin A)=absin C, 所以csin C+bsin B-asin A=bsin C. 由正弦定理可得c2+b2-a2=bc. 由余弦定理得cos A=. 又A∈(0,π),所以A=.因为a=2,所以b+c=5-2=3. 又a2=c2+b2-bc=(b+c)2-3bc,解得bc=. (方法1)由于), 所以)2=,故AD=. (方法2)在△ABD和△ACD中,由余弦定理得cos∠ADB=,cos∠ADC=. 由于∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, 整理得2AD2+BD2+CD2=b2+c2,即2AD2=b2+c2-2=(b+c)2-2bc-2 =32-2×-2=,解得AD=. (方法3)延长中线AD到E,使得AD=DE,连接BE,CE,则四边形ABEC是平行四边形,所以在△ABE中,AB=c,BE=b,∠ABE=180°-60°=120°,所以由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos∠ABE=c2+b2+bc=(b+c)2-bc=32-, 于是AE=,故AD=AE=. 方法总结　解决三角形中线问题的基本方法 (1)运用余弦定理:若AD是△ABC的BC边上的中线,则在△ABD中,由余弦定理得cos B=,联立得关系式AB2+AC2=2(BD2+AD2). (2)运用平面向量:若AD是△ABC的BC边上的中线,则在△ABC中,由(b2+c2+2bccos A). (3)构造平行四边形:延长中线AD到E,使得AD=DE,构造平行四边形ABEC,然后在△ABE(或△ACE)中运用余弦定理求得AD. 练习3 (2025·辽宁锦州模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+1=tan Btan C. (1)求A; (2)若a=2,求BC边上的中线AD的最大值. 解 (1)∵+1=, ∴2(cos Bcos C-sin Bsin C)=2cos(B+C)=2cos(π-A)=-2cos A=-1, ∴cos A=.又A∈(0,π),∴A=. (2)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=4≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c=2时,等号成立,∴b2+c2=4+bc,bc≤4.∵), ∴+2)=(b2+c2+2bccos A) =(b2+c2+bc)=(4+2bc)≤×(4+8)=3, ∴||≤,即AD的最大值为. 1.(2025·湖北黄冈·三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2且(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B). (1)求角C; (2)若D为AB的中点，求线段CD长的取值范围. 巩固练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 (1)求角C; [解析] (1)由正弦定理可得(a+c)(a-c)=b(a-b)，即a2+b2-c2=ab， 由余弦定理可得cos C== = ， 因为C∈(0，π)，所以C= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 (2)若D为AB的中点，求线段CD长的取值范围. [解析](2)点D为AB的中点，则=(+)， =(+2·+)= = (b2+a2+ab)， 因为c=2，由(1)可知a2+b2-4=ab，即a2+b2=4+ab， 因为a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立， 故ab+4≥2ab，求出ab≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立， 故= (2ab+4)≤3，当且仅当a=b=2时，等号成立， 故||≤，又ab>0，故= (2ab+4)>1， 故1<||≤，即CD的取值范围为(1，]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 2.(2024·广东梅州·二模)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，acos B-bsin A=c，c=2. (1)求A的大小; (2)点D在BC上， (ⅰ)当AD⊥AB，且AD=1时，求AC的长; (ⅱ)当BD=2DC，且AD=1时，求△ABC的面积S△ABC. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 (1)求A的大小; [解析] (1)因为acos B-bsin A=c， 所以由正弦定理可得sin Acos B-sin Bsin A=sin C， 又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B， 所以-sin Bsin A=cos Asin B， 因为B为三角形内角，所以sin B>0， 所以-sin A=cos A，可得tan A=-， 因为A∈(0，π)，所以A= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 (2)点D在BC上， (ⅰ)当AD⊥AB，且AD=1时，求AC的长; (ⅱ)当BD=2DC，且AD=1时，求△ABC的面积S△ABC. [解析] (2)(ⅰ)此时AB=2，AD⊥AB，所以DB==， 所以cos∠ABC= = ，sin∠ABC= = ， sin C=sin= ×+× = -+， 在△ABC中，由正弦定理可得 = ⇒AC= = = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 (ⅱ)设∠CAD=α，由S△ABC=S△BAD+S△CAD， 可得b=2sin+bsin α， 即b-bsin α=2sin， 所以sin= ， 由 = = ， 因为BD=2DC，即DC∶BD=1∶2， 所以× = ， 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 所以b= = ， 所以sin α= ， 因为<<，且α<，所以30°<α<45°， cos α=，所以sin=×-× = ， 所以b= = × = ， 则S△ABC= bcsin A= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 $