第10节　圆锥曲线的最值与范围问题 课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线的最值与范围问题，覆盖长度距离、面积、角度三大核心考点，依据高考评价体系分析近5年真题考点分布，明确长度问题占比35%、面积问题占比40%的高频考向，归纳几何法、代数法等通性通法，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题母题+方法导引+素养提升”的三阶训练模式，如以2025新高考Ⅰ椭圆最值题为例，通过定义转化与函数建模培养数学思维，结合面积问题中的韦达定理应用训练运算能力，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托考点权重与易错点分析实现精准复习。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第10节　圆锥曲线的最值与范围问题 返回目录 目录 1 2 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第10节　圆锥曲线的最值与范围问题 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　长度距离问题 命题视角:通过圆锥曲线的定义,根据圆锥曲线的方程和条件,结合几何性质与平面几何定理,构建距离关系,进而求解长度或距离的最值或取值范围. 例1 (2025·新高考Ⅰ,18)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,下顶点为A,右顶点为B,|AB|=. (1)求C的方程; (2)已知动点P不在y轴上,点R在射线AP上,且满足|AP|·|AR|=3. ①设P(m,n),求R的坐标(用m,n表示); ②设O为坐标原点,Q是C上的动点,直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍,求|PQ|的最大值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)∵椭圆离心率为e=,,∴b2=a2-c2=a2,即a2=9b2. 由题意知A(0,-b),B(a,0), ∴|AB|=, ∴b2=1,a2=9,∴椭圆的标准方程为+y2=1. (2)①由(1)知A(0,-1),=(m,n+1). ∵点R在射线AP上,设R(xR,yR),=t(t>0),∴||=t||. 又|AP|·|AR|=3,∴t|AP|2=t||2=t[m2+(n+1)2]=3,∴t=, 返回目录 考点1 考点2 考点3 ∴xR=tm=,yR=t(n+1)-1=-1, ∴点R的坐标为(-1). ②由①可知kOR=,kOP=,∵kOR=3kOP,即,得m2+(n+4)2=18,可知点P在以点(0,-4)为圆心,以3为半径的圆上. 又点Q在椭圆+y2=1上,故而可设点Q(3cos θ,sin θ),圆心N(0,-4), ∴|QN|2=9cos2θ+(sin θ+4)2=9-9sin2θ+sin2θ+8sin θ+16 =-8sin2θ+8sin θ+25=-8(sin θ-)2+27. ∵sin θ∈[-1,1],∴|QN|max=3,∴|PQ|max=3+3 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2025·重庆检测)已知圆F1:(x+2)2+y2=4,动圆C过F2(2,0),且与圆F1外切,设圆心C的轨迹为曲线Γ. (1)求Γ的方程; (2)设定点D(-1,0),过F2作直线l交曲线Γ于A,B两点,直线DA,DB分别交直线x=于P,Q两点,求的最小值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)设动圆半径为r,因为圆C过F2(2,0),所以|CF2|=r, 又圆C与圆F1外切,所以|CF1|=2+r,故|CF1|-|CF2|=2<|F2F2|=4, 所以Γ是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,设其方程为 =1(a>0,b>0,x≥a),得a=1,c=2,b2=c2-a2=3, 故Γ的方程为x2-=1(x≥1). 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)根据题意可知直线l的斜率不为0,故设AB:x=ty+2, 联立x2-=1(x≥1)与AB:x=ty+2的方程可得(3t2-1)y2+12ty+9=0, 故3t2-1≠0且Δ=144t2-36(3t2-1)=36(t2+1)>0, 故y1+y2=,y1y2=<0, 故0≤t2<,则|AB|=|y1-y2|, 直线AD:y=(x+1),令x=,可得yP=,同理可得yQ=, 返回目录 考点1 考点2 考点3 则|PQ|== ==, , 令s=,则t2=s2-1, 故,函数y=-3s在区间上单调递减, 故当s=1时,ymax=1, 故当t=0,直线l的斜率不存在时,的最小值为2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.圆锥曲线中最值问题的常用求解方法 (1)几何法:利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解. (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 返回目录 考点1 考点2 考点3 2.圆锥曲线中求解范围问题的常见求法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立,消元得到一元二次方程,根据直线与圆锥曲线的位置关系求解. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系. (3)利用几何条件构造不等关系. (4)利用基本不等式求出参数的取值范围. (5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　面积问题 命题视角:常以圆锥曲线的几何特征(如焦点、离心率、弦长等)为基础,要求在满足特定条件(如直线斜率、点的轨迹等)下,将几何问题转化为代数运算求解面积的最值或范围. 例2 (2023·全国甲,20)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,=0,求△MNF面积的最小值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)联立整理得y2-4py+2p=0,则Δ=16p2-8p>0,又p>0,∴p>设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p. |AB|=|y1-y2|==4, 解得p=-(舍)或p=2.∴p=2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)由(1)知抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0).设M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,由得y2-4my-4n=0,则Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n. =(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4 =(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0, ∴4m2=n2-6n+1≥0,又Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2, 或n≤3-2 S△MNF=|FM|·|FN|=(x3+1)(x4+1)=(my3+n+1)(my4+n+1) =[m2(-4n)+(mn+m)·4m+(n+1)2]=n2-2n+1=(n-1)2, 返回目录 考点1 考点2 考点3 ∴当n=3-2时,S△MNF=12-8为最小值. ∴△MNF面积的最小值为12-8 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·河北邯郸一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为,O为坐标原点,T(2,0). (1)求C的方程; (2)若C上存在不关于x轴对称的两点M,N,使得∠MTN恰好被x轴平分,求△MTN面积的取值范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)依题意可得解得所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由题意可知,直线MN的方程可设为x=my+t(m≠0),设M(my1+t,y1),N(my2+t,y2),联立整理得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0, Δ=8(m2-t2+2)>0, 返回目录 考点1 考点2 考点3 因为∠MTN恰好被x轴平分,即∠MTO=∠NTO,易知直线MT的斜率kMT与直线NT的斜率kNT存在且kMT+kNT=0, 即=0,整理得2my1y2+(t-2)(y1+y2)=0, 即2m(t2-2)-(t-2)·2mt=0,即m(t-1)=0. 因为m≠0,所以t=1时符合题意,即直线MN经过定点(1,0),所以△MTN的面积S△MTN=|y1-y2|=,当且仅当,即m=0时,等号成立,因为m≠0,所以△MTN面积的取值范围是 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用图形性质解决. 2.利用圆锥曲线的定义、几何意义等转化为平面图形中的范围问题,然后利用平面几何中的定理、性质等进行求解. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　角度问题 命题视角:利用圆锥曲线的定义和几何特征(如对称性、离心率等),将角度问题转化为距离、斜率或向量的关系,考查学生对圆锥曲线的深入理解和综合运用能力. 例3 (2025·上海,20)已知椭圆=1(a>),其右顶点为A,点M(0,m)且m>0,点P在该椭圆上. (1)若该椭圆右焦点坐标为(2,0),求其离心率e; (2)若a=4,=2,求m的值; (3)若MA的垂直平分线斜率为2,且交椭圆于C,D两点,∠CMD为钝角,求a的取值范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)由题意知b2=5,c=2,则a==3,故该椭圆的离心率e= (2)由题意知点A坐标为(4,0),点M坐标为(0,m),设点P坐标为(x0,y0),则=(x0,y0-m),=(4-x0,-y0). ∵2, 解得点P的坐标为(). ∵点P在椭圆上,=1⇔m2=10,又m>0,∴m= 返回目录 考点1 考点2 考点3 (3)由题意知kAM==-m=,∴AM中点坐标为(),∴MA的垂直平分线的方程为y-=2(x-),即y=2x-a.设点C坐标为(x1,y1),点D坐标为(x2,y2),则=(x1,y1-),=(x2,y2-),由 得(4a2+5)x2-3a3x+a4-5a2=0, ∴x1+x2=,x1·x2=,Δ=(-3a3)2-4(4a2+5)(a4-5a2)=a4+25a2>0. 返回目录 考点1 考点2 考点3 ∵∠CMD为钝角,<0,即x1x2+(y1-) (y2-)<0,即x1x2+(2x1-a-) (2x2-a-)<0⇔5x1x2-(x1+x2)+a2<0, ∴5a2<0,解得a2<11,又a>, <a< 故所求a的取值范围是(). 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:命题常将圆锥曲线与函数、不等式、向量等知识结合,通过建立函数模型或不等式关系求解最值或范围. 1.(2025·陕西西安模拟)在平面直角坐标系中,点A(0,1),B(2,-3),向量=m+n,且m+n-2=0(m,n∈R),若Q为抛物线y2=-2x上一点,则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. D 返回目录 解析:因为点A(0,1),B(2,-3),向量=m+n,设P(x,y),则(x,y)=(2n,m-3n),解得n=,m=y+,因为m+n-2=0(m,n∈R),所以2x+y-2=0, 即点P在直线2x+y-2=0上运动, 返回目录 由图可知,PQ≥P1Q≥RR1,其中P1Q,RR1垂直直线2x+y-2=0,点R是抛物线上一点,且抛物线在点R处的切线方程与直线2x+y-2=0平行,显然点R在第二象限,故当y>0时,由y2=-2x,可得y=,求导得y'=,令y'==-2,解得x=-,y=,即点R的坐标为,故所求为点R到直线2x+y-2=0的距离, 即d=,当且仅当P与R1,Q与R重合时,|PQ|取得最小值 返回目录 2.(2024·天津,18)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A,下顶点为B,C是线段OB的中点,其中S△ABC=. (1)求椭圆方程. (2)过点(0,-)的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T使得≤0恒成立?若存在,求出这个点T的纵坐标的取值范围;若不存在,请说明理由. 返回目录 解:(1)设椭圆=1(a>b>0)的焦距为2c(c>0). ∵e=,=1-, ,,即b=a.由题意可得S△ABC=ab=ab=, aa=,∴a2=12,a=2 ∴b=a=2=3. ∴椭圆的方程为=1. 返回目录 (2)设点T(0,m), ①当直线PQ的斜率不存在时,直线PQ与椭圆交于椭圆的上、下顶点. 不妨设P(0,3),Q(0,-3),则=(0,3-m),=(0,-3-m). =(3-m)(-3-m)=m2-9. 0,∴m2-9≤0,∴-3≤m≤3,即点T的纵坐标的取值范围为[-3,3]. ②当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的斜率为k,则直线PQ的方程为 y-(-)=k(x-0),即y=kx-设点P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线PQ与椭圆的方程,得 返回目录 消去y,整理得(4k2+3)x2-12kx-27=0. ∴Δ=(-12k)2-4(4k2+3)·(-27)=576k2+324>0, 且x1+x2=-,x1x2=- 又=(x1,y1-m),=(x2,y2-m), =(x1,y1-m)·(x2,y2-m)=x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2 =x1x2+(kx1-) (kx2-)-m[(kx1-)+ (kx2-)]+m2 =x1x2+k2x1x2-k(x1+x2)+-m[k(x1+x2)-3]+m2 =(k2+1)x1x2-(k+mk) (x1+x2)+ (m+)2 返回目录 =(k2+1)·(-)-(k+mk)+(m+)2= 0恒成立, ∴4(m2-9)k2+3m2+9m-0恒成立. 解得-3≤m 综上可得,在y轴上存在点T,使得0,此时点T的纵坐标的取值范围为[-3,]. 返回目录 命题趋势2:命题可能设置新颖的情境,如将圆锥曲线与物理、几何图形的实际问题结合,考查学生将实际问题转化为数学模型的能力. 3.(多选)(2024·新高考Ⅰ,11)造型 可以看作图中的曲线C的一部分,已知曲线C过坐标原点O,且曲线C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则(　 　) A.a=-2 B.点(2,0)在曲线C上 C.曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在曲线C上时,y0≤ ABD 返回目录 解析:∵曲线C上的点到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,而点O在曲线C上,点O到点F的距离为2,到定直线x=a(a<0)的距离为-a, ∴2·(-a)=4,∴a=-2.∴A正确.设点M(x,y)为曲线C上任意一点,则x>-2.由点M到点F(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离之积为4,可得曲线C的方程为(x+2)=4(x>-2). (*) 将点(2,0)的坐标代入(*)式左边,有(2+2)=4=右边, 返回目录 ∴点(2,0)在曲线C上,∴B正确.由(x+2)=4(x>-2),得曲线C的方程为y2=()2-(x-2)2(x>-2).设f(x)=()2-(x-2)2(x>0),则f'(x)=(x>0). 令g(x)=x3+4x2-16(x>0),则g'(x)=3x2+8x. ∴在区间(0,+∞)内,g'(x)恒大于0.∴函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.又g(1)=-11<0,g(2)=8>0,∴∃x1∈(1,2),使得g(x1)=0.∴当0<x<x1时, g(x)<0,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>x1时,g(x)>0,f'(x)<0,f(x)单调递减. ∴f(x)在x=x1处取得最大值,即当x=x1时y2取得最大值,且y2的最大值为f(x1). 返回目录 又f(x1)>f(2)=1,∴y2的最大值大于1,即ymax>1. ∴曲线C在第一象限的点的纵坐标的最大值大于1,故C错误.当点(x0,y0)在曲线C上时,有=()2-(x0-2)2≤()2,∴y0(x0>-2), ∴D正确.故选ABD. 返回目录 $