微专题11　排列组合问题的几种特殊解法课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦排列组合特殊解法，覆盖定序问题、多面手问题、不同元素与相同元素分组分配等核心考点，对接高考评价体系，分析这些高频考点在选择填空中的考查权重，归纳除法消序、分类讨论、隔板法等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题案例+方法归纳+素养提升”，如以定序问题例1（4位同学加2位保持顺序）解析除法消序法，培养数学思维中的逻辑推理能力，分组分配问题通过均分与不均分对比，指导学生构建分类模型，提升用数学语言表达实际问题的能力，助力学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现高效备考。

微专题11　排列组合问题的几种特殊解法 1 多元视角·拓展教材　开放式拓展 实现一个“广” 视角一　定序问题 例1 (1)某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为(　　) A．10 B．20 C．24 D．30 答案：D 解析：6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有＝30(种)排法，故ABC错误．故选D. 2 (2)花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为________． 90 3 解析：由题意，对6盏不同的花灯进行取下，先对6盏不同的花灯进行全排列，共有种方法，因为取花灯每次只取一盏，而且只能从下往上取，所以必须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，故不同取法总数为＝90. 4 学霸笔记：若有m＋n个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，先将这m＋n个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法． 5 跟踪训练　(1)有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是(　　) A．168 B．260 C．840 D．560 答案：C 解析：从后排8人中抽2人有 种方法，由分步乘法计数原理可得共有＝28×6×5＝840(种)方法．故选C. 6 (2)(2026·吉安模拟)育才学校校庆要编制一张演出节目单，5个舞蹈节目已排定顺序，要再插入4个歌唱节目，则共有________种插入方法(用数字作答)． 3 024 解析：对全部的9个节目全排列，有的全排列数有种，所以满足题意的插入方法有＝3 024(种)． 7 视角二　多面手问题 例2 某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有(　　)种不同的选法． A．225 B．185 C．145 D．110 答案：B 8 解析：根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类．①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有 ②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，这时又有该人参加英文或法文翻译两种可能， 因此有种； ③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，这时又分三种情况： 两个都译英文、两个都译法文、两人各译一个语种，因此有种．综上分析，共可开出＝185(种)．故选B. 9 学霸笔记：(1)选一个职业作为讨论对象； (2)以该职业选几个多面手进行讨论； (3)把该职业选剩下的多面手归为另一个职业进行选择． 10 　跟踪训练　现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人，从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有________种不同的选法． 60 解析：根据题意，分3种情况讨论：①从只会俄语的3人中选出2人做俄语翻译，需要在“既会俄语又会英语”的4人中选出2人做英语翻译，有＝18种选法；②从只会俄语的3人中选出1人做俄语翻译， 需要在“既会俄语又会英语”的4人中选出1人做俄语翻译，选出2人做英语翻译，有＝36(种)选法；③在“既会俄语又会英语”的4人中选出2人做俄语翻译，剩下的2人做英语翻译，有＝6种选法，则一共有18＋36＋6＝60(种)选法． 11 视角三　不同元素的分组分配问题 题型1　平均分组 例3 为提升教育教学质量，促进各分校区发展，某中学开展本部——分校区联合教研．现计划从本部派出7男2女共9名老师到A，B，C三个分校区开展教研，每个校区三人，则有(　　)种安排方案． A．1 050 B．1 680 C．2 940 D．3 360 答案：B 12 解析：由题意可知将9名老师平均分为3组，再分到A，B，C三个分校区开展教研即可，故安排方案有＝1 680(种).故选B. 13 学霸笔记：对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以(n为均分的组数)，避免重复计数． 14 跟踪训练　将4个不同的小球平均放入2个不同的盒子中，有(　　)种不同的放法． A．6 B．12 C．3 D．16 答案：A 解析：由题意根据先分组再排列知共有＝6(种).故选A. 15 题型2　不平均分组问题 例4 (1)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 答案：C 16 解析：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有种，然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有种，最后剩下的3名同学去丙场馆，＝6×10＝60(种).故选C. 17 (2)劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，某校计划组织学生参与各项职业体验，让学生在劳动课程中掌握一定的劳动技能，理解劳动创造价值，培养劳动自立意识和主动服务他人，服务社会的情怀．该校派遣甲、乙、丙、丁、戊五个小组到A，B，C三个街道进行打扫活动，每个街道至少去一个小组，则不同的派遣方案有(　　) A．140 B．150 C．200 D．220 答案：B 18 解析：根据题意，分2种情况讨论：当按照3∶1∶1进行分配时，则有＝90种不同方案，故共有60＋90＝150种不同的方案．故选B. 19 学霸笔记：(1)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (2)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 20 跟踪训练　(1)2025年十五届全运会志愿者第一小组有5人，需要分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆，每个场馆至少1人，至多2人，则不同的分配方法有(　　) A．90种 B．150种 C．180种 D．240种 答案：A 解析：现将第一小组5人分成3组，为一组1人两组2人，所以有＝15(种)，再将其分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆＝6种，所以共有15×6＝90(种)．故选A. 21 (2)将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学，每人至少2张，且邮票都要分完，则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有(　　) A．210种 B．420种 C．240种 D．480种 答案：A 解析：依题意可得，甲、乙分得的邮票数相等意味着甲、乙两人都分得2张邮票，丙分得3张邮票，所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有＝21×10×1＝210(种)．故选A. 22 视角四　相同元素分组分配问题 例5 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数． (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子． 23 解析：(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有＝10(种)． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有种插法，故共有＝40(种)． 24 (3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有种插法． 故共有)＝30(种)． 25 学霸笔记：把n个相同的元素分成m(n，m为正整数，n≥m)组，每组至少有一个元素，可以用m－1块隔板插入n个元素排成一排形成的(n－1)个空隙中，所以分法种数为. 提醒：(1)需要根据题意确定题目能否转化为所分的每个组至少有一个元素的问题，这样才能使用隔板法；(2)一般来说，两端不能插隔板． 26 跟踪训练　某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班至少分配一个篮球，则不同的分配方法种数为(　　) A．126 B．84 C．72 D．48 答案：A 解析：将10个篮球排成一排，形成11个空，在中间的9个空中插入5个隔板将篮球分成6组，所以不同的分配方法有＝126(种)．故选A. 27 1．10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有(　　)种不同的分配方案． A．9　 B．36 C．84 D．120 答案：C 解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案＝84(种)．故选C. 28 2．世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有(　　)种． A．120 B．60 C．24 D．36 答案：D 29 解析：根据题意可分为2种情况讨论：①若小张或小赵只有一人入选，则有＝24种不同的选派方案；②若小张，小赵都入选则有＝12种不同的选派方案．综上可得，共有24＋12＝36种不同的选派方案．故选D. 30 3．(2026·郴州一模)“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备给甲、乙、丙三个球队．这批设备分别为6个相同的跳箱和3箱相同的药球．要求每队至少有一个跳箱，且药球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有(　　) A．35种 B．70种 C．140种 D．210种 答案：B 31 解析：分以下两步：①先分跳箱：6个相同的跳箱分给三个球队，三个球队分得的跳箱数量分别为1，2，3或2，2，2或4，1，1，所以跳箱的分法种数为1＋＋＝10；②接下来分药球：将3箱药球分给三个球队，三个球队分得的药球箱数分别为1，1，1或2，1，0，所以药球的分法种数为1＋＝7.由分步乘法计数原理可知，不同的分法种数为10×7＝70.故选B. 32 4．(2026·武汉模拟)将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为(　　) A．72 B．84 C．96 D．108 答案：B 解析：选2个空盒：＝6(种)，分配4个小球到2个非空盒．情况一(1＋3分法)：＝2×4＝8(种)；情况二(2＋2分法)：×2＝6(种)．总分配方法8＋6＝14(种)，总放法数6×14＝84(种)．故选B. 33 5．现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲、乙、丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是(　　) A．180 B．150 C．120 D．210 答案：A 34 解析：根据题意，分两步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，若分为4，1，1的三组，有＝15种分组方法，若分为3，2，1的三组，有＝60种分组方法，若分为2，2，2的三组，有＝15种分组方法，共有15＋60＋15＝90种分组方法；②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有两种情况，则有90×2＝180种分发方式．故选A. 35 6．(2026·成都模拟)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本，则下列说法正确的是(　　) A．若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案 B．若每人分得2本，则有90种方案 C．若三人分得书本数互不相同，则有360种方案 D．共有450种分配方案 答案：ABC 36 解析：对于A，甲1本、乙2本、丙3本，方案数为＝60，故A正确；对于B，每人2本，方案数为＝90，故B正确；对于C，书本数互不相同(即1，2，3)，所以方案数为＝360，故C正确；对于D，分三类：第一类，每人2本，方案数为90种；第二类，一人1本，一人2本，一人3本，方案数为360种；第三类，一人4本，另外两人各1本，方案数为＝90，故总的分配方案数为90＋360＋90＝540(种)，故D错误．故选ABC. 37 7．5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有_____种排法． 6 解析：将除甲外的4名同学全排列，甲左边2名同学与右边2名同学顺序一定，所以排法共有＝6(种)． 38 8．(2026·哈尔滨模拟)从2到7这6个数字中任意取出3个数，组成一个没有重复数字的三位数，从百位到个位数字依次增大，则满足条件的三位数的个数是________． 20 解析：从2到7这6个数字中任取3个不同的数，由于要求三位数的百位到个位数字依次增大，因此，每一组取出的3个数，按从小到大排列只有1种排列方式．因此，满足条件的三位数的个数等价于从6个数字中选3个的组合数，即＝20. 39 9．(2026·长沙模拟)学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲、乙、丙三个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为________.(用数字作答) 24 解析：若甲地点去一个小组，从B，C，D组选一组去甲地点，有＝3(种)，再将剩下的3个小组分配到剩下的2个地点，且每个地点至少有1个小组，有＝6(种)，此时共有3×6＝18(种)；若甲地点去两个小组，从B，C，D组选两个小组去甲地点，有＝3(种)，将剩下的2个小组分配到剩下的2个地点有＝2(种)，此时共有3×2＝6(种)．综上，不同的任务分配方法种数为18＋6＝24. 40 10．(2026·沧州模拟)现有6个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取3个球：甲从所有球中一次性随机抽取3个；乙将小球平均分为A，B两堆后，先从A堆中一次性取i个，再从B堆中一次性取3－i个(0≤i≤3)，则乙的不同取法种数比甲多________． 380 解析：由于甲是在6个球中一次性取出3个，从而不同的取法数有＝20；对于乙，将小球平均分为A，B两堆有种方法，而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为＝20，所以乙的不同取法数为＝400，故乙的不同取法数比甲多380. 41 11．(2026·山东多校联考)现将A，B，C，D，E，5位民警派往甲、乙、丙、丁、戊5个学校进行“反校园欺凌”普法宣讲，每人只到1个学校，每个学校只去1人．已知民警A不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有________种． 60 解析：因为每人只到1个学校，每个学校只去1人，所以将5人全排列有＝120(种)情况，其中将民警A安排在甲学校有＝24种不同的安排方法，将民警B或C安排在乙学校有＝48种不同的安排方法，又民警A在甲学校，且民警B或C在乙学校有＝12(种)情况，所以民警A不能去甲学校，B，C两位民警不能到乙学校，则不同的分派方法共有120－24－48＋12＝60(种)． 42 12．(2026·广东多校联考)为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4个价钱相同的礼盒全部分给这3名同学，若购买的4个礼盒仅有2个相同，按一人2个礼盒，另两人各1个礼盒进行分配，共有_____种 分法．(用数字作答) 21 43 解析：第一种情况，当2个相同礼盒分给同一人时：第一步，分配2个相同礼盒，即将这2个相同礼盒分给三个同学中的一个，共＝3种分配方法；第二步，分配剩下的2个不同礼盒，即将剩下的2个不同礼盒，分给剩下的2个同学，共有＝2种分配方法，所以一共有3×2＝6种分法；第二种情况，当2个相同礼盒不分给同一人时：记4个礼盒分别为A，A，B，C，当AB或AC在一起时，共有＝12种分配方法；当BC在一起时，即将BC分给三个人中任何一个，剩下的2个人，每人分一个A，共有＝3种分配方法．综上，共有6＋12＋3＝21种分配方法． 44 $