第4章 第6节 函数y=Asin（ωx+φ）的图象及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用”，依据课标要求覆盖五点法作图、图象变换、解析式求解、性质综合等核心考点，结合近五年高考真题分析考点权重，明确解析式求解和性质综合为高频考点，归纳选择、填空、解答常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2025北京卷为例剖析周期与零点问题，通过“五点法”定φ、图象变换步骤等方法突破考点，培养学生的数学思维和模型观念。特设易错点分析（如平移单位计算），助力学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

第4章 三角函数、解三角形 第6节 函数 的图象及应用 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 1.会用“五点法”画函数<m></m>的图象，理解<m></m>，<m></m> ，<m></m> 的 物理意义. 2.掌握函数<m></m>与<m></m>图象间的变换关系. 3.会由函数<m></m>的图象或图象特征求函数的解析式. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1. 的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 2.用五点法画<m></m>在一个周期内的简图 用五点法画<m></m>一个周期内的简图时，要找五个关键点， 如下表所示： 0 0 0 0 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 课前自测 7 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=sin的图象可由y=sin的图象向右平移个单位长度得到.(　　) (2)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=.(　　) (3)将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.(　　) √ × × 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 (4)把函数y=sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y=sinx.(　　) (5)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　) × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 2.[必修1p244T1]已知简谐运动f(x)=2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A.T=6，φ= B.T=6，φ= C.T=6π，φ= D.T=6π，φ= A [解析] T= = =6. ∵f(x)的图象过点(0，1)，∴sin φ=. 又∵- <φ<，∴φ= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 3.为了得到函数y=2sin 3x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 D [解析] 因为y=2sin=2sin 3，所以要得到函数y=sin 3x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度即可，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 4.[必修1p239T2]将函数f(x)=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标 不变，再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)=　　　　　　　　.  sin [解析] 将函数f(x)=sin x图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半， 纵坐标不变，得到y=sin 2x， 再向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象， 则g(x)=sin=sin. 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 5.[必修1p245例1]如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则这段曲线的函数解析式为　　　　　 　　.  y=10sin+20，x∈[6，14] [解析] 从图可看出6~14时是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期，所以× =14-6，即ω= ， 且A=×(30-10)=10，b=×(30+10)=20， 又×10+φ=2π+2kπ，k∈Z，取k=0得φ= ， 所以y=10sin+20，x∈[6，14]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 考点突破 14 考点1 函数 的图象及变换 例1　已知函数f(x)=2sin. (1)作出f(x)在区间[0，π]上的图象; (2)函数y=f(x)的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到? [解析] (1)因为x∈[0，π]，所以2x+∈.列表如下: 2x+ π 2π x 0 π f(x) 1 2 0 -2 0 1 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 描点、连线得图象: (2)将y=sin x图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，再将y=sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y=sin的图象，再将y=sin图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)=2sin的图象. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 [小结]1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法 五点法 设z=ωx+φ,由z取0,,π,,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点连线后得出图象 图象变 换法 由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 2.函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法: (1)先把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变),再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变). (2)先将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度,再把所得各点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变). 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 1.(2025·河南郑州·二模)函数f(x)=2sin与函数g(x)=log2x的图象交点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.7 A 跟踪练习 [解析] 通过五点法作出周期函数f(x)的图象， 再通过两点法(1，0)，(4，2)作出单调函数g(x)=log2x 的图象，因为4∈，所以通过图象可判断它们有3个交点.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 2.(2025·江苏南京·二模)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)=(　　) A.cos B.cos C.cos D.cos B [解析] 把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)后的函数为y=cos 2x，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后的函数为f(x)=cos=cos.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 3.(2023·宁波模拟)将函数y=tan(ω>0)的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则ω的最小值为(　　) A. B.2 C.3 D.6 A [解析] 将函数y=tan的图象向左平移 个单位长度后，可得f(x)=tan=tan，将函数y=tan的图象向右平移个单位长度后，可得g(x)=tan=tan， 因为函数f(x)与g(x)的图象对称中心重合，所以-= ， 即ω=，解得ω=，k∈Z，又因为ω>0，所以ω的最小值为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 考点2 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2　 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin D 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 [解析] 由题中图象可得，函数的最大值为2，最小值为-2，故A=2. 由函数图象可得，两个相邻对称中心分别为(-2，0)，(6，0)， 所以函数的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16，ω= = = ， 所以f(x)=2sin. 解法一(由对称中心定φ):由点(-2，0)在函数图象上 可得f(-2)=2sin=2sin=0， 又(-2，0)在函数图象的下降段上，所以φ- =π+2kπ(k∈Z)，解得φ=2kπ+(k∈Z). 因为|φ|<π，所以k= -1，φ= - . 所以f(x)=2sin. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 解法二(由最值点定φ):由函数图象可知，相邻两个对称中心分别为(-2，0)，(6，0)，所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2，-2). 代入函数解析式可得f(2)=2sin= -2，即sin= -1， 所以+φ=2kπ- (k∈Z)，解得φ=2kπ- (k∈Z). 因为|φ|<π，所以k=0，φ= - . 故f(x)=2sin. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 (2)(多选)(2025·吉林长春·模拟预测)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　 ) A.A=2，φ=- B.函数f(x)的最小正周期为2π C.函数f(x)在上单调递减 D.函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称 ACD 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [解析] 由f(x)max=2得A=2，f(0)=2sin φ= -1，所以sin φ= - ， 又|φ|<，所以φ= - ，故A正确; x=时，ωx+φ= ω- =π，所以ω=2，T= =π，故B错误; f(x)=2sin，令t=2x-，则y=2sin t， x∈时，t∈，此时t=2x-单调递增，y=2sin t单调递减， 故f(x)在上单调递减，故C正确; f(x)的图象上的所有点向左平移个单位长度， 得到y=2sin=2sin 2x，图象关于原点对称，故D正确.故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 [小结]由y=Asin(ωx+φ)的图象求其函数式:在观察图象的基础上可按以下规律来确定A,ω,φ. (1)A:一般可由图象上的最大值、最小值来确定. (2)ω:因为T= ,所以往往通过求最小正周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T,也可通过最高点与最低点来确定T,即相邻的最高点与最低点横坐标之间的距离为;相邻的两个最高点或相邻的两个最低点之间的距离为T. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 (3)φ:从“五点法”中的第一个点(也叫初始点)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个点的位置. 依据五点列表法原理,点的序号与式子的关系如下: “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx+φ=0; “第二点”(即图象曲线的“峰点”)为ωx+φ= ; “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ=π; “第四点”(即图象曲线的“谷点”)为ωx+φ= ; “第五点”(即图象第二次上升时与x轴的交点)为ωx+φ=2π. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 在用以上方法确定φ的值时,还要注意题目中给出的φ的范围,不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内. (4)A,ω,φ三个量中初相φ的确定是一个难点,除使用初始点外,还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 4.(多选)下图所示的是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则sin(ωx+φ)=(　　) A.sin B.sin C.cos D.cos BC [解析] 由函数图象可知 = - = ，则ω= = =2，所以排除A; 当x= = 时，y=-1，所以2×+φ=+2kπ，解得φ=2kπ+， 即函数的解析式为y=sin=sin=cos=sin= -cos.故选BC. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 5.(多选)(2025·全国·模拟预测)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　 ) A.f(x)=3sin B.f= C.不等式f(x)≥的解集为，k∈Z D.将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单 调递增 ACD 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 [解析] 由函数图象可知，最小正周期为T=4×=6π，所以ω= = ， 将点代入f(x)=3sin(ωx+φ)，得3=3sin，得+φ=2kπ+，k∈Z， 又|φ|<，所以φ= ，故f(x)=3sin，故A正确; 所以f=3sin = ，故B错误; 令f(x)≥，则sin≥，所以2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z， 解得6kπ+ ≤x≤6kπ+，k∈Z， 所以不等式f(x)≥的解集为，k∈Z，故C正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 将f(x)=3sin的图象向右平移个单位长度后， 得到f(x)=3sin的图象， 令2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得6kπ- ≤x≤6kπ+ ，k∈Z， 令k=1得≤x≤ ，故D正确. 故选ACD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 考点3 函数 图象与性质的综合问题 角度1.综合应用 例3　(1)(多选)(2023·烟台、德州·一模)将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)的图象，则(　　) A.f(x)=cos B.点是f(x)图象的一个对称中心 C.当x=- 时，f(x)取得最大值 D.函数f(x)在区间上单调递增 BD 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [解析] 对A，将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数f(x)= sin 2=sin= -cos，A错误; 对B，f=sin=0，则点是f(x)图象的一个对称中心，B正确; 对C，f=sin= -1， 故当x= - 时，f(x)取得最小值，C错误; 对D，由x∈，可得2x-∈⊆， 则函数f(x)=sin在区间上单调递增，D正确.故选BD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 (2)(2024·全国·模拟预测)将函数y=sin 2x-cos 2x图象上所有点的横坐标伸长至原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0，2026]内的所有零点之和为　　　　;若函数g(x)=2- ，则函数g(x)的单 调递增区间为　　　　　　　　　　　　 .  207690π ，k∈Z [解析] 由题可得，y= sin 2x- cos 2x=sin，所以函数f(x)=sin x. 根据正弦函数的图象及性质可得，f(x)=sin x的零点为x=kπ，k∈Z， 因为644π<2026<645π，所以函数f(x)在区间[0，2026]内的所有零点之和为0+π+2π+3π+…+644π= =207690π. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 因为f(x)=sin x，所以g(x)=2-， 所以g'(x)= = . 令g'(x)>0，得sin>0， 所以2kπ<x-<π+2kπ，k∈Z， 解得+2kπ<x<+2kπ，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 [小结]函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的基本性质有: 最小正周期T= ; (2)对称轴x= ,k∈Z; (3)对称中心,k∈Z; (4)单调递增区间为,单调递减区间为,k∈Z.   名师导学第一轮总复习 高三数学 38 6.(多选)(2024·山东日照·二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，C在x轴上，则(　 　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)在上单调递减 C.函数f(x)的图象向左平移个单位长度后关于直线x= 对称 D.若圆C的半径为，则f(x)= sin ACD 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 [解析] A选项，由对称性可知点C的横坐标为 = . 设f(x)的最小正周期为T，则T= -= ，解得T=π，A正确; B选项，因为ω>0，所以ω= =2，由图易知f=A，即Asin=A， 又0<φ<π，所以+φ= ，解得φ= ，故f(x)=Asin， 当- <x<- 时，- <2x+<- ， 由y=sin x在上不单调， 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 故函数f(x)在上不单调递减，B错误; C选项，函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到g(x)=Asin =Asin=Acos 2x，其中g=Acos π=-A，故g(x)关于直线x= 对称，C正确; D选项，因为圆C的半径为，所以|CM|=， 又xC=，所以+|OM|2=， 解得|OM|=，所以将代入f(x)=Asin中，得Asin = ，解得A= ， 则f(x)= sin，D正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 41 角度2.零点或方程根 例4　(1)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0，m]上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为　　　 　.  (答案不唯一) [解析] 由题设g(x)=f=sin， 因为x∈[0，m]，则2x+ ∈， 要使g(x)在区间[0，m]上有且仅有一个零点， 所以π≤2m+<2π，即≤m<，故m= 满足要求. 名师导学第一轮总复习 高三数学 42 (2)已知关于x的方程2sin2x-sin 2x+m-1=0在区间上有两个不同的实数根，则m的取值范围是　　　　.  (-2，-1) [解析] 方程2sin2x-sin 2x+m-1=0可化为 m=1-2sin2x+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin，x∈. 设2x+=t，则t∈， ∴题目条件可转化为 =sin t，t∈有两个不同的实数根， 名师导学第一轮总复习 高三数学 43 即直线y=和函数y=sin t，t∈的图象有两个不同的交点， 作出y=，y=sin t的图象，如图中实线部分所示. 观察图象知，的取值范围是， 故m的取值范围是(-2，-1). [小结]1.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 44 7.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=(　　) A.-1 B. C.1 D.2 D [解析] 令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x，x∈(-1，1)， 原题意等价于h(x)在区间(-1，1)上有且仅有一个零点， 因为h(-x)=a(-x)2+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cos x=h(x)，所以h(x)为偶函数， 根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)=a-2=0，解得a=2. 若a=2，则h(x)=2x2+1-cos x，x∈(-1，1)，又因为2x2≥0，1-cos x≥0，可得h(x)≥0， 当且仅当x=0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 45 角度3.实际应用 例5　(2024·广东佛山·二模)近年，我国短板农机装备取得突破， 科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中 常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心 做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A， B始终满足∠AOB= ，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义:A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方:则t=　　　　秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0;A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=　　　　　　　　.  名师导学第一轮总复习 高三数学 46 [解析] 以O为原点，以OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由于角速度ω=2π rad/s，故设点A， 又圆上两点A，B始终保持∠AOB= ， 所以B， 要使A，B两点的竖直距离为0， 则sin=sin， 名师导学第一轮总复习 高三数学 47 当第一次为0时，4πt- =π，解得t= ， f(t)= =|sin 2πt+ cos 2πt+cos 2πt| ==. 名师导学第一轮总复习 高三数学 48 [小结]三角函数模型在实际应用中体现在两个方面: (1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则; (2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模. 名师导学第一轮总复习 高三数学 49 8.海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低.现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示:(3.1时即为凌晨3点06分) 时刻:x(时) 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深:y(米) 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数y=Asin(ωx+φ)+b来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式; (2)某条货船的吃水深度(水面高于船底的距离)为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据(1)中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 50 [解析] (1)由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以A= =2.4，b= =5， 由表格可知T=12.4-0=12.4，所以ω= = = ，所以y=2.4sin+5， 将点(3.1，7.4)代入可得:7.4=2.4sin+5， 所以×3.1+φ= +2kπ，k∈Z，解得φ=0+2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ=0， 所以y=2.4sinx+5，0≤x<24. (1)根据以上数据，可以用函数y=Asin(ωx+φ)+b来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式; 名师导学第一轮总复习 高三数学 51 (2)货船需要的安全水深为 4.2+2=6.2米， 所以进港条件为 y≥6.2. 令2.4sinx+5≥6.2， 即sinx≥，所以+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z， 解得+ ≤x≤ + ，k∈Z，因为0≤x<24， 所以k=0时，≤x≤，k=1时，≤x≤. 因为(时)=1时2分，(时)=5时10分.(时)=13时26分，(时)=17时34分.因此，货船可以在早晨1时2分进港，早晨5时10分出港;或在13时26分进港，17时34分出港.则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. (2)某条货船的吃水深度(水面高于船底的距离)为4.2米.安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据(1)中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长. 名师导学第一轮总复习 高三数学 52 走进高考 1.(2025·北京)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 C [解析] 函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0)， 设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x+π)=f(x)可得kT=π，k∈N*， 所以T= = ，k∈N*，即ω=2k，k∈N*; 又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈， 所以+≥π，即ω≥3，综上，ω的最小值为4.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 53 $