第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用”专题，依据高考评价体系梳理了图象绘制（五点法）、参数意义、图象变换、实际应用四大考查维度，通过教材回顾与真题改编题分析，明确了“由图象确定解析式”“图象变换途径辨析”等高频考点，归纳了选择、填空、解答等常考题型。 课件亮点在于“考点梳理+真题训练+素养提升”的备考策略，如以教材改编题和2026模拟题为例，深入解析“五点法作图步骤”“参数A,ω,φ的求解技巧”，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“易错点警示”（如变换平移量混淆），助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展复习，提升备考效率。

第五节 第四章　三角函数与解三角形 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 【目标要求】　1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 1.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的简图 x _______ - _________ - _________ ωx+φ 0 _____ π ________ 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 - 　 　 　 2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两个途径 [微点清]　两种变换的区别:①先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;②先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位长度. 3.简谐振动y=Asin(ωx+φ)中的有关物理量 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ________ φ ωx+φ 1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为. 2.变换的注意点:无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看角“ωx+φ”的变化. 3.若函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为M,最小值为m,则A=,k=. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)函数y=-2sin的振幅是-2.(　　) 根据y=-2sin,可得振幅为2. 解析 (2)函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度得到y=cos的图象.(　　) 函数y=cos 2x的图象向右平移个单位长度得到y=cos 2= cos的图象. 解析 (3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(　　) 利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度不一致. 解析 (4)如果y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　　) (5)函数y=Asin(ωx-φ)的初相为φ.(　　) 函数y=Asin(ωx-φ)的初相为-φ. 解析 2.(人A必一P254T10改编)已知一个弹簧振子的运动方程为y=3sin,则该弹簧振子的振幅、初相分别是(　　) A.振幅是3,初相是 B.振幅是3,初相是 C.振幅是4,初相是 D.振幅是4,初相是 由弹簧振子的运动方程为y=3sin,得该弹簧振子的振幅是 3、初相是.故选B. 解析 3.(人A必一P239T2(2)改编)为了得到函数y=cos的图象,只需要将函数y=cos的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析 4.若将函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度,则变换后得到的函数图象的解析式为 ______________. y=sin 解析 5.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M>0,ω>0,π<φ<2π)的部分图象如图所示,其中A(0,-),B,若f(x)的图象向右平移个单位长度后关于原点对称,则φ=____. 　 解析 【例1】　(1)已知函数f(x)=cos. ①利用“五点法”完成以下表格,并画出函数f(x)在一个周期内的图象; 考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 2x- 0 π 2π x           f(x)           ①列表如下: 解析 2x- 0 π 2π x f(x) 0 - 0 画图如下: ②如何由y=cos x的图象变换得到f(x)的图象? 解法一:先将y=cos x的图象向右平移个单位长度,得y=cos的图象,再将曲线上各点的横坐标缩小为原来的,得y=cos的图象,最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍,得f(x)= cos的图象. 解 解法二:先将y=cos x的图象上各点的横坐标缩短为原来的,得y=cos 2x的图象,再将曲线向右平移个单位长度,得y=cos 2= cos的图象,最后将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍,得f(x)=cos的图象. 解 (2)(2026·呼和浩特模拟)当x∈[0,2π]时,曲线y=cos x与y=2sin的交点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 解析 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用的两种方法 1.五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 2.图象的变换法,由函数y=sin x的图象通过变换得到y= Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练1】　(1)(2026·恩施模拟)要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=cos的图象(　　) A.向右平移个单位 　B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 　D.向左平移个单位 解析 (2)已知函数f(x)=4cos.画出f(x)在[0,π]上的图象. 因为f(x)=4cos,所以列表如下: 解 2x- - 0 π x 0 π y 2 4 0 -4 0 2 画图如下: 解 【例2】　已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为(　　) A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 考点二 由图象确定y=Asin(ωx+φ)的解析式 解析 解析 【训练2】　(1)(2026·三明模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)部分图象如图所示,其中x0≤π,则ω的最小值为(　　) A. B. C.2 D. 由图象知f(0)=1,所以sin φ=.因为-<φ<,所以φ=.所以f(x)=2sin.根据正弦函数的图象,如图,-=,=,所以设函数f(x)=2sin的周期为T,则x0-0= T,即x0=×=.因为x0≤π,所以≤π,所 以ω≥.所以ω的最小值为.故选A. 解析 (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(x)的图象关于点中心对称,则f(φ)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 解析 【例3】　(多选题)如图是函数f(x)=Ksin(ωx+φ) 的部分图象,A是图象 的一个最高点,D是图象与y轴的交点,B,C是图象 与x轴的交点,且D(0,-1),△ABC的面积等于,则 下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于直线x=对称 C.函数f(x)的图象可由y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度得到 D.函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有2个交点 考点三 三角函数图象、性质的综合应用 解析 2sin,所以函数f(x)的图象可由y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度得到,故C正确;对于选项D:注意 到f(π)=f(0)=-1,在同一坐标系内,分别作出函 数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上的图象,由图象可 知:函数f(x)与g(x)=cos x在[0,π]上有3个交点, 故D错误;故选ABC. 解析 (1)研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数. 【训练3】　(2026·成都模拟)(多选题)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+ 1,满足f(x)+f=2,且对任意x∈R,都有f(x)≥f,当ω取最小值时,则下列说法错误的是(　　) A.f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z B.f(x)在上的值域为[,2] C.f(x)在上单调递减 D.若方程|f(x)-1|=1在(0,m)上有且只有5个根,则m∈ 解析 解析 解析 【例4】　(2026·T8检测训练)图①是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,在农业上得到广泛应用.在图②中,一个半径为2 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距水面的高度为 m.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位:m)(若在水面下则d为负数),若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ) + K,则φ=(　　) A.- B.- C. D. 考点四 三角函数的实际应用 解析 三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题. 【训练4】　(2026·榆林模拟)交流电的瞬时值随时间周期性变化,正负号表示电流方向的交替变化.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函 数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是(　　) A.-5安 B.5安 C.-5安 D.5安 解析 y=cos=cos,只需要将函数y=cos个单位长度,可以得到y=cos的图象,故选D. 由函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=sin 2x,再向左平移个单位长度,得到y=sin 2=sin. 设f(x)的最小正周期为T,依题意得=-0=,则T=,所以ω==3,所以f(x)=Msin(3x+φ),则将f(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象对应解析式为f=Msin=Msin,因为平移后的图象关于原点对称,所以φ-=kπ(k∈Z),因为π<φ<2π,所以k=1,则φ=. x=0时,y=2sin=,令2x+=,得x=,此时y=2sin=2,令2x+=π,得x=,此时y=2sin=0,令2x+=,得x=,此时y=2sin=-2,令2x+=2π,得x=,此时y=2sin=0,x=2π时, y=2sin=2sin=,函数y=2sin的周期T==π,结合周期,利用五点法作出图象,由图知,共有4个交点.故选C. 因为y=cos=cos=sin,由y=sin,即得y=sin=sin .故选D. 由图象可得,函数f(x)的最大值为2,最小值为-2,故A=2.f(x)图象的两个相邻的对称中心分别为(-2,0),(6,0),所以函数f(x)的最小正周期T=2×[6-(-2)]=16,所以ω===.所以f(x)=2sin. 解法一(由对称中心定φ):由点(-2,0)在函数图象上可得f(-2)=2sin=2sin=0,又点(-2,0)在函数图象的下降段上,所以φ-=π+2kπ(k∈Z),解得φ=2kπ+(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=-1,φ=-.所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.故选D. 解法二(由最值点定φ):由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为(-2,0), (6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2,-2).代入函数解析式可得f(2)=2sin=-2,即sin=-1,所以+φ=2kπ-(k∈Z),解得φ=2kπ-(k∈Z).因为|φ|<π,所以k=0,φ=-.故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. 解法三(平移法):由图象间关系可知y=f(x)可以看作y=2sinx向右平移6个单位长度得到,即f(x)=2sin=2sin.故选D. 由题知A=B=2,因为f(0)=2sin φ+2=3,所以sin φ=.因为0<φ<π,且点(0,3)的横坐标x=0在f(x)的一个递减区间内,所以φ=.根据五点作图法可知,×ω+=π,解得ω=2,所以f(x)=2sin+2,f(φ)=f=2sin+2=2sin+2=4,故选A. 设f(x)的最小正周期为T,由图象可知K=2,S△ABC=|BC|×K=|BC|=,即T=,可得T=π,故A正确;且ω>0,所以=π,解得ω=2,又因为图象过点D(0, -1),可得2sin φ=-1,即sin φ=-,且-<φ<,可得φ=-,所以f(x)=2sin.对于选项B:因为f=2sin=2sin=-2,为最小值,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确;对于选项C:将y=2cos(2x)的图象向右平移个单位长度,得到y=2cos 2=2cos= 因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1满足f(x)+f=2,所以f(x)的图象关于点对称,则有-ω+φ=kπ,k∈Z,即φ=ω+kπ,k∈Z.对任意x∈R,都有f(x)≥f,这说明f为最小值.所以-ω+φ=-+2mπ,m∈Z,则有ω=2-4(2m-k),k,m∈Z,因为ω>0,|φ|<,当ω取最小值时,则2m-k=0,此时ω=2,φ=.所以函数的解析式为f(x)=2sin+1.对于选项A:令2x+=+kπ,k∈Z,则x=+,k∈Z,所以函数的对称轴方程为x=+, k∈Z,所以A错误;对于选项B:因为x∈,所以2x+∈,所以sin∈.所以函数的值域为[2,3],所以B错误;对于选项C:因为x∈,所以2x+∈,结合正弦函数的单调性可知函数在该区间内单调递减,C正确;对于选项D:|f(x)-1|==1,则sin=±,令t=2x+,则g(t)=sin t,y=±在(0,+∞)上的图象如图所示, 由图可知,要使得函数图象在(0,m)与直线的交点只有5个根,那么m应在点E,F(包括F)之间时符合题意.所以令sin=,则2x+= +2kπ,k∈Z或者2x+=+2kπ,k∈Z,解得x=-+kπ,k∈Z或者x=+kπ,k∈Z.所以点A,B,C,D,E,F的横坐标依次为,,,,,.所以<m≤,所以D错误.故选ABD. 由题得筒车半径为2 m,转动一圈需要40 s,且轴心O距水面高度为 m,所以A==2,ω==,K==(m).又以盛水桶P刚浮出水面时开始计时,所以d(0)=0,所以sin φ=-.又-<φ<,所以φ=-. 由图象得,电流的最大值和最小值分别为10和-10,可得A=10.由周期T==得ω=100π,再将点代入I=10sin(100πt+φ),得sin =1,所以+φ=+2kπ,φ=+2kπ,k∈Z.因为0<φ<,所以k=0时, φ=,所以I= 10sin.将t=代入得,I=10sin=5.故选D. $