第6讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课件——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用”专题，依据高考评价体系梳理了图象变换、解析式求解、性质应用、三角函数模型四大核心考点，通过分析近五年真题明确变换与解析式占比超60%的高频考点，归纳选择、填空、解答三类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题驱动+分层训练+素养导向”策略，如以2023全国甲卷图象交点题为例，运用“五点法”和参数三步确定法突破难点，培养学生数学思维（推理运算）和数学语言（模型表达）素养。设基础、能力、素养三级训练，教师可据此精准教学，助力学生高效掌握解题技巧，提升高考得分率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第6节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第6节　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 图象的变换 1.(人教A版必修第一册教材例题改编)将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,则所得图象的函数解析式是　　　　　　　　　.[命题点❸] y=cos 2x+1 解析:将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin[2(x+)]=sin(2x+)的图象,再向上平移1个单位长度得到y=sin(2x+)+1的图象,化简可得y=sin(2x+)+1=cos 2x+1. 返回目录 关键点2 由图象求解析式 2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为　　　　 　　　. [命题点❶❷] y=2sin(x+) 解析:根据图象看出A=2,=3π,∴ω=,+φ=,∴φ=, ∴该函数的解析式为y=2sin(x+). 返回目录 关键点3 函数图象性质的简单应用 3.将函数f(x)=sin(4x-)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到曲线y=g(x),则曲线y=g(x)(　　)[命题点❸] A.关于直线x=对称　　 B.关于直线x=对称 C.关于点(-,0)对称 D.关于点(-,0)对称 B 返回目录 解析:将函数f(x)=sin(4x-)的图象向左平移个单位长度,得到h(x)=f(x+)=sin(4x+)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到g(x)=h(x)=sin(2x+),所以g(x)=sin(2x+).因为g()≠±1,g()=1, 所以曲线y=g(x)不关于直线x=对称,关于直线x=对称,故A错误,B正确; 又因为g(-)≠0,g(-)≠0,所以曲线y=g(x)不关于点(-,0)对称,不关于点(-,0)对称,故C,D错误. 返回目录 关键点4 三角函数模型的简单应用 4.(2025·湖南开学考试)已知一个弹簧振子的运动方程为y=3sin(4t+)则该弹簧振子的振幅、初相分别是(　　)[命题点❶] A.振幅是3,初相是 B.振幅是3,初相是 C.振幅是4,初相是 D.振幅是4,初相是 B 解析:由弹簧振子的运动方程为y=3sin(4t+),得该弹簧振子的振幅是3,初相是故选B. 返回目录 5.(2025·辽宁沈阳模拟)已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移h(单位:cm)与时间t(单位:s)之间的函数关系为h=2sin(ωt+) (ω>0),t∈[0,+∞),若小球1 s内运动4次,则ω的值为(　　)[命题点❶] A.4 B.8 C.4π D.8π D 解析:因为小球1 s内运动4次,即小球运动的频率为4,所以f==4,则ω=4×2π=8π. 返回目录 回归教材•考教衔接 参数A,ω,φ的物理意义 1.简谐运动y=Asin(ωx+φ)(A>0)的有关概念[❶] 振幅 周期 频率 相位 初相 A ωx+φ φ 返回目录 2.用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图[❷] 　 将ωx+φ看成一个整体 ωx+φ x y=Asin(ωx+φ) 0 0 A π 0 返回目录 ωx+φ x y=Asin(ωx+φ) -A 2π 0 返回目录 3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径[❸] 先相位变换后周期变换,则平移|φ|个单位长度;先周期变换后相位变换,则平移个单位长度 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　函数y=Asin(ωx+φ)的图象 角度 1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 命题视角:理解平移变换与伸缩变换,并能进行图象变换. 例1 (1)(一题多解)(2021·全国乙,理7)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)=(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析: (方法1)函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到y=f(2x)的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到y=f[2(x-)]的图象.根据已知得到函数y=sin(x-)的图象, 所以f[2(x-)]=sin(x-), 令t=2(x-),则x=,x-,所以f(t)=sin(),所以f(x)=sin(). (方法2)由已知的函数y=sin(x-)逆向变换, 第一步:向左平移个单位长度,得到y=sin(x+)=sin(x+)的图象; 第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin()的图象,即为y=f(x)的图象, 所以f(x)=sin(). 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·河南南阳模拟)为了得到函数y=5sin(2x+)的图象,可以将函数y=5cos 2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 A 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)(2026·湖南常德模拟)将函数f(x)=sin x-cos x的图象沿着x轴向右平移a(a>0)个单位长度后的图象关于y轴对称,则a的最小值是(　　) A.　　　 　　B.　　 　　　C.　　　 　　D. B 解析:由题意有f(x)=sin x-cos x=2sin(x-), 所以f(x-a)=2sin(x-a-). 由a+=kπ+,k∈Z,所以a=kπ+,k∈Z,当k=0时,a=,所以a的最小值是 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)将函数f(x)=tan 2x的图象向左平移t(t>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g()=1,则t的最小值是(　　) A. B. C. D. B 解析:因为函数f(x)=tan 2x的图象向左平移t个单位长度,得到函数g(x)=tan(2x+2t)的图象,又g()=1,所以1=tan(π+2t)=tan 2t,所以2t=+kπ(k∈Z),解得t=(k∈Z), 又t>0,所以当k=0时,得tmin= 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式 命题视角:通过解读图象中的信息,用待定系数法求解函数的参数值,从而求得函数解析式,关键是五点(如零点、最值点)的应用. 例2 (多选)右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　) A.sin(x+) B.sin(-2x) C.cos(2x+) D.cos(-2x) BC 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由函数图象可知,则|ω|==2,所以A错误; 不妨令ω=2,当x=时,y=-1,所以2+φ=+2kπ(k∈Z), 解得φ=2kπ+(k∈Z), 即函数的解析式为y=sin(2x++2kπ)=sin(2x+)=cos(2x+)=sin(-2x),所以B,C正确;而cos(2x+)=-cos(-2x),所以D错误. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (多选)(2026·广西贵港开学考试)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,其中△CMN为等边三角形,点M的坐标为(1,0),则(　 　) A.ω= B.φ=- C.直线x=7是f(x)图象的一条对称轴 D.将f(x)的图象向左平移2个单位长度后,所得图象与函数g(x)=2sin(x+)的图象重合 BCD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,如题图,因为△CMN为等边三角形,且高为2, 所以边长为4,所以=4,T=8,ω=,A错误;对于B,因为点M的坐标为(1,0),所以C(3,2), 所以A=2,3+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=-,B正确; 对于C,由上知f(x)=2sin(x-), 而f(7)=2sin(7-)=2sin=-2,C正确; 对于D,f(x)的图象向左平移2个单位长度,解析式变为y=2sin[(x+2)-] =2sin(x+),即所得图象与函数g(x)=2sin(x+)的图象重合,D正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 函数图象的平移变换解题策略: (1)解题时首先分清原函数与变换后的函数; (2)异名三角函数图象变换要利用诱导公式sin α=cos(α-),cos α=sin(α+),将不同名函数转换成同名函数; (3)无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位长度,都是自变量x变为x±|φ|,而不是ωx变为ωx±|φ|. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数图象与性质的综合应用 命题视角:通过函数图象求解函数的解析式,进而研究函数的性质,注意整体代换、函数与方程思想的应用. 例3 (2025·安徽蚌埠联考)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,f()=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调区间; (3)若对任意x∈[-],不等式[f(x)]2+mf(x)+3m≥0恒成立,求实数m的取值范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)因为两相邻对称中心的距离为,所以最小正周期为T=2=,所以ω==4. 由f()=0得sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,解得φ=-+kπ,k∈Z.又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin(4x-). (2)令2kπ-4x-2kπ+,k∈Z,得x,k∈Z. 令2kπ+4x-2kπ+,k∈Z,得x,k∈Z. 故f(x)的单调递增区间是[](k∈Z),单调递减区间是 [](k∈Z). 返回目录 考点1 考点2 考点3 (3)因为x∈[-],所以4x-[-],所以sin(4x-)∈[-1,].故f(x)∈[-2,1].令t=f(x),则t2+mt+3m≥0在t∈[-2,1]时恒成立,即-m在t∈[-2,1]时恒成立. 令s=t+3∈[1,4],则=s+-6≥2-6=0, 当且仅当s=,即s=3时等号成立, 所以-m≤0,则m≥0,故实数m的取值范围是[0,+∞). 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (多选)(2025·山东泰安模拟)将函数f(x)=3sin(-2x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则下列结论正确的为(　　) A.函数y=f(x-)为偶函数 B.直线x=是函数g(x)图象的一条对称轴 C.若x∈(0,),则g(x)的值域为(-,3] D.[-,-]是函数g(x)的一个单调递减区间 BC 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为函数f(x)=3sin(-2x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,所以g(x)=3sin(-4x)=3cos(4x-). 对于A,h(x)=f(x-)=3sin[-2(x-)]=3sin(π-2x)=3sin 2x,因为h(-x)=3sin(-2x) =-3sin 2x=-h(x),所以函数h(x)=f(x-)为奇函数,故A不正确; 对于B,g()=3cos(4)=-3,所以当x=时,函数g(x)有最小值,所以直线x=是函数g(x)图象的一条对称轴,故B正确; 返回目录 考点1 考点2 考点3 对于C,g(x)=3cos(4x-),由x∈(0,),则4x-(-),cos(4x-)∈(-,1], 所以g(x)∈(-,3],故C正确; 对于D,当x∈[-,-]时,4x-[-3π,-2π],因为函数y=3cos x在[-π,0]上单调递增,所以在[-3π,-2π]上也单调递增, 所以[-,-]是函数g(x)的一个单调递增区间,故D不正确. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　三角函数模型的简单应用 命题视角:提供一个生活中涉及的有关物理的周期现象,要求建立函数模型,并解决实际问题,培养学生的数学建模素养. 例4 已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量y(单位:m3/h)关于时间t(单位:h)的关系均近似地满足函数y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象如图所示: (1)根据图象求函数解析式; (2)若甲车间先投产,1 h后乙车间再投产,求两车间都投产时 的最大污水排放量. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)由题图可得A==2,b==4. ∵最小正周期T==6,∴ω= 将(0,6)代入y=2sin(t+φ)+4,得sin φ=1,φ=2kπ+,k∈Z. ∵0<φ<π,∴φ=,∴y=2sin(t+)+4=2cost+4, ∴所求函数的解析式为y=2cost+4(t≥0). 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)设乙车间投产t h,甲、乙两车间污水排放量之和为W m3, 此时甲车间污水排放量为[2cos+4]m3,乙车间污水排放量为[2cos+4]m3,故W=2cos+2cos+8=3cos(t)-sin(t)+8=2cos(t+)+8,∴W=2cos(t+)+8,t≥0. 故两车间都投产时的最大污水排放量为(2+8)m3. 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.进行三角恒等变换时要抓住变角、变函数名称、变结构,尤其要注意角之间的关系,注意公式的逆用和变形使用. 2.把y=asin x+bcos x化为y=sin(x+φ)的形式,可进一步研究函数的周期性、单调性、最值等. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:常以选择题或填空题的形式出现,集中考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质、三角函数的奇偶性、周期性、对称性等的综合运用. 1.(2023·全国甲,理10)已知函数f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 返回目录 解析:由题意知f(x)=cos[2]=cos=-sin 2x. 在平面直角坐标系中画出y=-sin 2x与y=x-的图象草图,如图所示. 由图可知,两函数图象有3个交点.故选C. 返回目录 命题趋势2:将函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质和三角函数式的求值、化简等内容相结合,考查学生综合运用知识的能力. 2.(多选)(2025·河北保定二模)将函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象,若g(x)的图象关于y轴对称,且在区间(0,)上单调递减,则(　　) A.ω=2 B.不等式f(x)≥的解集为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z} C.f(x-)+f(-x-)=0 D.函数y=log2f(x)的单调递增区间为(kπ-,kπ+],k∈Z AC 返回目录 解析:由题意可得g(x)=sin(ωx+),因为g(x)的图象关于y轴对称,所以+kπ,k∈Z,则ω=2+6k,k∈Z,则g(x)=sin(x++kπ)=cos(ωx+kπ). 又g(x)在区间(0,)上单调递减,则,即得0<ω≤8,故ω=2或ω=8, 当ω=8时,g(x)=-cos 8x,其图象在区间(0,)上单调递增,不符合题意; 当ω=2时,g(x)=cos 2x,其图象在区间(0,)上单调递减,符合题意,故A正确; 由f(x)=sin(2x+,可得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x+kπ,k∈Z. 返回目录 故不等式f(x)的解集为{x|+kπ≤x+kπ,k∈Z},故B错误; 令2x+=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,令k=-1,得x=-,所以点(-,0)为f(x)图象的一个对称中心,所以f(x-)+f(-x-)=0,故C正确; 令t=f(x)>0,因为y=log2t在定义域上单调递增,所以函数y=log2f(x)的单调递增区间即为在f(x)>0的条件下f(x)的单调递增区间, 所以2kπ<2x+2kπ+,k∈Z,解得kπ-<x≤kπ+,k∈Z, 所以函数y=log2f(x)的单调递增区间为(kπ-,kπ+],k∈Z,故D错误. 返回目录 模块内融合:在高中数学中,y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及性质会与平面向量、解析几何等知识融合考查,通过图象变换提升题目的综合性. 3.(原创)如图,将绘有函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角,若A,B之间的空间距离为,则f(-1)=　　　　.  返回目录 解析:由题设并结合图形可知,AB=,得=4,则ω=,所以f(-1)=sin(-)=sin 返回目录 4.(2025·安徽联考)已知将函数y=sin ωx+cos ωx向右平移个单位长度,再将振幅缩小到原来的,得函数f(x),又知函数f(x)与g(x)=-cos(ωx+)的图象连续相邻的三个交点为A,B,C,若=0,则ω的值是(　　) A. B. C. D. A 返回目录 解析:由已知条件知y=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),将其向右平移个单位长度,得y=sin ωx,再将振幅缩小到原来的,得f(x)=sin ωx. 又因为g(x)=-cos(ωx+)=cos(-ωx)=sin(ωx-), 所以函数f(x)和g(x)的周期T=,在同一直角坐标系中函数y=f(x),y=g(x)的图象如图所示. 返回目录 因为A,B,C为连续相邻的三个交点,不妨设B在x轴下方,D为AC的中点,由对称性知,△ABC是以AC为底边的等腰三角形,所以2AD=AC=T= 由sin ωx=sin(ωx-)展开整理得sin ωx=-cos ωx,又sin2ωx+cos2ωx=1,所以sin ωx=± 设点A,B的纵坐标分别为yA,yB,则yA=-yB=,即BD=2|yB|= 由=0,则,故∠BAC+∠BCA=,又∠BAC=∠BCA,所以当且仅当∠BAC=时,tan∠BAC==1,解得ω= 返回目录 模块外融合:高中数学中,y=Asin(ωx+φ)的图象变换及性质也会融合新定义问题进行考查,创新问题情境,培养学生的创新能力. 5.(2025·上海模拟)已知f(x)=sin ωx+cos ωx,把函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到的函数图象恰好关于y轴对称.定义:x为符合|x|<a的所有x的和,则ω的值为(　　) A.-34 B.-32 C.62 D.66 D 返回目录 解析:因为f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+),把函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度, 得到y=f(x+)=2sin[ω(x+)+]=2sin(ωx++). 因为y=2sin(ωx++)关于y轴对称,即y=2sin(ωx++)为偶函数, 则+,k∈Z,解得ω=6k-4,k∈Z. 令|6k-4|<100,得-16<k≤17, 所以=33=2×33=66.故选D. 返回目录 $