第4章 第11节 解三角的综合问题——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形的综合问题”专题，依据高考评价体系梳理了多个三角形载体、最值与范围、证明三大核心考查题型，通过2025河南二模等真题案例分析考点权重，归纳正余弦定理、三角恒等变换等通性通法，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题情境+素养导向+解题建模”的设计，如例2利用正弦定理和辅助角公式解决周长范围问题，培养数学思维与运算能力，跟踪练习结合2025江苏南京一模强化技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第11节 解三角形的综合问题 2027届高中数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 1 考点突破 2 题型一:以多个三角形为载体的解三角形问题 例1　(1)(2025·甘肃白银·二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2-ac，且AB边上的高等于AB，则sin C= (　　) A. B. C. D. D [解析] 由题意得cos B==-，sin B=.设CD⊥AB，垂足为D， 易知点D在AB的延长线上，如图所示， 不妨设BC=5，则CD=3，BD=4，则AB=2，AD=6，AC==3，由 = ，解得sin C= = .故选D. 高三数学 3 (2)(2025·河南·二模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2acos B-b)cos A=a·cos B-2bcos2A. (ⅰ)求A; (ⅱ)若D是边AB上靠近点A的三等分点，AD=DC，△ABC的面积为3，求△ABC的周长. 高三数学 4 (ⅰ)求A; [解析] (ⅰ)由正弦定理得:(2sin Acos B-sin B)·cos A=sin Acos B-2sin Bcos2A， 整理得2cos A(sin Acos B+sin Bcos A)=(sin Acos B+sin Bcos A)， 即2cos Asin(A+B)=sin(A+B)， 因为A+B∈(0，π)，所以sin(A+B)≠0， 所以cos A= ，因为A∈(0，π)，所以A= . 高三数学 5 (ⅱ)若D是边AB上靠近点A的三等分点，AD=DC，△ABC的面积为3，求△ABC的周长. [解析](ⅱ)设AD=DC=x，则AB=3x， 在△ACD中，由AD=DC，A=，得∠ADC=π-2A= ， 由余弦定理得b2=AD2+CD2-2·AD·CD·cos∠ADC， 所以b2=x2+x2-2·x·x·cos，解得b=x， 在△BCD中，由余弦定理得a2=DC2+BD2-2DC·BD·cos∠CDB， 所以a2=x2+4x2-2·x·2x·cos，解得a=x， 因为S△ABC= bcsin A=·x·3x·=3，所以x=2，则a+b+c=6+4， 所以△ABC的周长为6+4. 高三数学 6 [小结]在多个三角形图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可. 高三数学 7 1.(2025·江苏南京·一模)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b-2c=acos C-2acos B，则=(　　) D A. B. C.1 D.2 [解析] 如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， 则BD=ccos B，CD=bcos C， 所以a=BD+CD=ccos B+bcos C， 同理可证b=acos C+ccos A，c=acos B+bcos A， 因为b-2c=acos C-2acos B，所以acos C+ccos A-2(acos B+bcos A)=acos C-2acos B， 整理得ccos A=2bcos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，所以c=2b，即=2，故选D. 跟踪练习 高三数学 8 2.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(2a-b)cos C=ccos B. (1)求C; (2)设O为△ABC的内心(三角形三条内角平分线的交点)，且满足AB=5，AO2+BO2=17，求△ABO的面积. 高三数学 9 (1)求C; [解析] (1)因为(2a-b)cos C=ccos B， 所以2acos C=ccos B+bcos C. 由正弦定理得2sin Acos C=sin Ccos B+sin B·cos C，即2sin Acos C=sin(C+B). 因为A+B+C=π，所以B+C=π-A， 所以sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. 因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C= . 因为C∈(0，π)，所以C= . 高三数学 10 (2)设O为△ABC的内心(三角形三条内角平分线的交点)，且满足AB=5，AO2+BO2=17，求△ABO的面积. [解析](2)连接AO，BO， 因为点O是内心，所以∠OAB= ∠BAC， ∠OBA= ∠CBA. 因为∠ACB+∠BAC+∠CBA=π，所以∠BAC+∠CBA= ， 所以∠OAB+∠OBA= ，所以∠AOB= . 由余弦定理得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos∠AOB，即25=17+AO·BO， 解得AO·BO=8，所以S△AOB= AO·BOsin∠AOB=2. 高三数学 11 题型二:解三角形中的最值与范围问题 例2　(1)(2025·遵义模拟预测)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若b=3，B=，则△ABC的周长的取值范围是　　　　 　.  (6，2+3] [解析] 因为b=3，B= ，由正弦定理得 = = = =2， 则a=2sin A，c=2sin C， 又A+B+C=π，则C=π-B-A= -A，且A∈， 所以a+b+c=2sin A+2sin+3=2sin A+3cos A-sin A+3 =sin A+3cos A+3=2sin+3， 因为A∈，所以A+ ∈，则sin∈， 所以a+b+c∈(6，2+3]， 综上可知，△ABC的周长的取值范围是(6，2+3]. 高三数学 12 (2)(24-25浙江杭州·阶段练习)已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，D是△ABC外一点，若a=b，且(acos C+ccos A)=2bsin B. (ⅰ)求角B的大小; (ⅱ)若DA=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值. 高三数学 13 (ⅰ)求角B的大小; [解析] (ⅰ)由题设(sin Acos C+sin Ccos A)=2sin2B，即sin(A+C)=2sin2B， 所以sin(π-B)=sin B=2sin2B，而sin B>0，故sin B= ， 又a=b⇒A=B，则A+B=2B<π，故B= . 高三数学 14 (ⅱ)若DA=2，DC=1，求四边形ABCD面积的最大值. [解析](ⅱ)由(ⅰ)易知△ABC为等边三角形， 令∠ADC=θ∈(0，π)，建立如下图的平面直角坐标系， 则D(0，0)，C(cos θ，sin θ)，A(2，0)， 故|AC|=， 所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= |AC|2sin+ ×|DC|×|DA|×sin θ = [(cos θ-2)2+sin2θ]+sin θ=sin θ-cos θ+ =2sin+ ， 当θ=时S四边形ABCD取最大值，且最大值为2+ . 高三数学 15 [小结]解三角形中的范围问题主要有两种解决方法:一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求范围;二是将问题用三角形中某一个角的三角函数表示，结合角的范围确定所求范围. 高三数学 16 3.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，B=2A，则b的取值范围是(　　) A.(0，4) B.(2，2) C.(2，4) D.(2，4) C [解析] 因为a=2，B=2A，所以解得0<A<，所以<cos A<1，由正弦定理得= = ，得b=4cos A， 所以2<4cos A<4，所以2<b<4.故选C. 跟踪练习 高三数学 17 4.如图，在四边形ABCD中，∠DAB= ，B= ，且△ABC的外接圆半径为4. (1)若BC=4，AD=2，求△ACD的面积; (2)若D= ，求BC-AD的最大值. 高三数学 18 (1)若BC=4，AD=2，求△ACD的面积;   [解析] (1)因为B= ，△ABC的外接圆半径为4，所以=8，解得AC=4. 在△ABC中，BC=4，则 = =8，解得sin∠CAB= . 又∠CAB∈，所以∠CAB= . 在△ACD中，AC=4，∠DAC= -∠CAB=，AD=2， 所以S△ACD= ×4×2×=4. 高三数学 19 (2)若D=，求BC-AD的最大值. [解析](2)设∠DAC=θ，因为D=，所以θ∈且∠ACD= -θ. 因为∠DAB= ，所以∠CAB= -θ. 在△DAC中，AC=4，由正弦定理得 = ，即 = ， 解得AD= sin= =4cos θ-sin θ. 在△ABC中，AC=4，由正弦定理得 = ，即 = ， 解得BC=8sin=8cos θ， 高三数学 20 所以BC-AD=4= sin. 又θ∈，所以θ+ ∈， 当且仅当θ+ = ，即θ= 时，sin取得最大值1， 所以BC-AD的最大值为. 高三数学 21 题型三:解三角形中的证明问题 例3　(2023·江苏南通·质量监测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若C=2A，a=2，b=3，求c; (2)若a2+ b2=c2，求证:3tan A=2tan C. 高三数学 22 (1)若C=2A，a=2，b=3，求c; [解析] (1)因为C=2A，所以B=π-A-C=π-3A， 所以sin B=sin(π-3A)=sin(A+2A)=sin Acos 2A+cos Asin 2A， 因为sin 2A=2sin Acos A，cos 2A=2cos2A-1， 所以sin B=sin A(2cos2A-1)+2sin Acos2A=sin A(4cos2A-1)， 由正弦定理 = ，得 = ， 整理得8cos2A-2=3，解得cos2A= ， 则cos C=cos 2A=2cos2A-1= ， 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4+9-2×2×3×=10，故c=. 高三数学 23 (2)若a2+b2=c2，求证:3tan A=2tan C. [解析] (2)证明:因为a2+b2=c2，所以c2-a2= b2， 由余弦定理得cos A= = = 　①， cos C= = = 　②， 由正弦定理，①与②相除得 = · = = ， 所以3sin Acos C=2cos Asin C， 两边同除以cos Acos C，可得3tan A=2tan C. 高三数学 24 [小结]对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程. 高三数学 25 5.(2023·辽宁·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S ，满足4S=(a2-3b2)sin C. (1)证明:sin A=3sin B; (2)证明:存在正整数m，n，使得c=mb和tan A=ntan C同时成立. 跟踪练习 高三数学 26 (1)证明:sin A=3sin B; [解析] (1)由4S=(a2-3b2)sin C，即2absin C=(a2-3b2)sin C， 因为C∈(0，π)，可得sin C>0，所以2ab=a2-3b2， 即a2-2ab-3b2=0，即(a-3b)(a+b)=0， 又因为a，b>0，所以a=3b， 又由正弦定理，可得sin A=3sin B. 高三数学 27 (2)证明:存在正整数m，n，使得c=mb和tan A=ntan C同时成立. [解析] (2)假设存在正整数m，n，使得c=mb和tan A=ntan C同时成立. 所以 =n×，即 = ， 化简整理可得a2+b2-c2=n(b2+c2-a2)， 因为c=mb，a=3b，所以9b2+b2-m2b2=n(b2+m2b2-9b2)，即m2= +8. 又因为m，n均为正整数，所以n=1，m=3. 故存在n=1，m=3使得c=mb和tan A=ntan C同时成立. 高三数学 28 $