第4章 第9节 三角函数解析式中“ω”“φ”的范围问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数中ω、φ的求解”核心考点，依据高考评价体系梳理了周期、奇偶性、零点、单调性等考查要求。通过例题解析与巩固练习，明确考点权重，归纳常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题模拟+方法总结+素养培养”策略，如2024模拟题中结合整体换元法分析单调区间求ω，培养数学思维与数学语言表达能力。方法总结助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第4章 三角函数、解三角形 第9节 三角函数中、、、φ的求解 2027届高中数学一轮复习 1 壹、 三角函数中的求解 2 一、三角函数的周期与 例1　已知函数f(x)=tan ωx(0<ω<1)，且经过点，则函数f(x)=tan ωx的最小正周期是(　　) A. B.π C.2π D.4π C [解析] 由题意，tanω=1， 所以ω=kπ+，k∈Z，即ω=2k+，k∈Z， 又0<ω<1，所以ω=，所以f(x)=tanx，其最小正周期为 =2π.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 [小结]y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=，解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T= 与所给区间的关系，从而建立不等关系. 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 1.已知函数f(x)=Asin(A>0，ω>0)的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是(　　) A. B. C. D.8 B [解析] 由题可知，是该函数最小正周期的整数倍， 即 = ×k，k∈Z，解得ω= ，k∈Z， 又ω>0，故其最小值为. 巩固练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 二、三角函数的奇偶性、零点、图象的对称性与ω 例2　设函数f(x)=sin的图象在区间(0，π)上恰有三条对称轴、函数f(x)在(0，π)上恰有两个零点，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. C [解析] 由x∈(0，π)，得ωx+∈. 根据函数f(x)的图象在区间(0，π)上恰有三条对称轴，知<πω+≤，得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω+ ≤3π，得<ω≤. 综上，ω的取值范围为<ω≤.故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 [小结]利用y=sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，令ωx+φ=kπ(k∈Z)，利用y=sin x图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z)，令ωx+φ=+kπ(k∈Z)，结合已知的对称轴或对称中心，可求解ω. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象在区间[0，π]上有且仅有3条对称轴，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D. C [解析] f(x)=cos(ω>0)，当x∈[0，π]时，ωx- ∈， ∴f(x)的三条对称轴只可能是直线x=0，x=π，x=2π， 故2π≤ωπ- <3π，解得≤ω<，选C. 巩固练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 三、三角函数的最值(极值)与ω 例3　(2024·全国·模拟预测)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)满足f(x)≥f，且f(x)在区间上恰有两个函数值的绝对值为1的点，则实数ω的取值范 围为　　 .  [解析] 因为f(x)≥f，所以f=sin= -1， 所以ω+φ=2kπ+，k∈Z， 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 即φ=2kπ-ω+，k∈Z， 所以f(x)=sin= -cos. 当- ≤x≤时，- ≤ω≤(ω>0). 因为f(x)在区间上恰有两个函数值的绝对值为1的点，且>， 所以解得≤ω<4. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 [小结]若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 3.(多选)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有4个极值点，则( 　　) A.ω的取值范围是 B.f(x)的最小正周期可能是 C.f(x)在区间(0，π)上有且仅有3个不同的零点 D.f(x)在区间上单调递增 ABD 巩固练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 [解析] 由函数f(x)=sin(ω>0)， 令ωx +=+kπ，k∈Z可得x= ，k∈Z， 因为f(x)在区间[0，π]上有且仅有4个极值点， 即可得0<<π有且仅有4个整数k符合题意， 解得0<<1，即0<1+4k<4ω，可得k=0，1，2，3， 因为1+4×3<4ω≤1+4×4， 所以ω∈，故A正确; 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 对于B，f(x)的最小正周期为T=∈，易知∈， 所以f(x)的最小正周期可能是，故B正确; 对于C，当x∈(0，π)时，ωx+∈，即可得ωπ+∈， 显然当ωπ+∈时，f(x)在区间(0，π)上有且仅有3个不同的零点; 当ωπ+∈时，f(x)在区间(0，π)上有且仅有4个不同的零点，即C错误; 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 对于D，当x∈时，ωx+∈; 由ω∈可知⊆， 由三角函数图象性质可知f(x)在区间上单调递增，故D正确; 故选ABD. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 四、三角函数的单调性与ω 例4　若函数f(x)=sin(ω>0)在内单调递减，则ω 的取值范围是(　　) A. B. C. D. B [解析] ∵f(x)=sin， ∴f(x)的单调减区间为+2kπ≤ωx-≤+2kπ，k∈Z， 解得 + ≤x≤+ ， 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 ∵函数f(x)=sin在内单调递减，且ω>0， ∴+ ≤ 且≤+ ， 解得≤ω≤，解≤得k≤， ∵k为整数且ω>0，∴k=0， ∴≤ω≤，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 [小结]含参数的正余弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解. 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 4.(2025·甘肃定西·模拟预测)若函数f(x)=tan(ω>0)在区间(0，π)上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D.(0，3] C [解析] 当x∈(0，π)时，ωx+∈， 由f(x)在区间(0，π)上单调递增， 得<ωπ+≤，解得0<ω≤.故选C. 巩固练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 5.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)，x=为y=f(x)图象的一条对称轴，为y=f(x)图象的一个对称中心，且f(x)在上单调，则ω的最大值为　　　　.  3 [解析] 因为x= 为y=f(x)图象的一条对称轴，为y=f(x)图象的一个对称中心，所以·T= ，即ω= =2n+1，n∈N，即ω为正奇数， ∵函数f(x)在区间上单调， ∴- = ≤，即T= ≥，解得ω≤8. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 当ω=7时，-+φ=kπ+，k∈Z， 取φ= ，此时f(x)=cos在不单调，不满足题意; 当ω=5时，- +φ=kπ+，k∈Z， 取φ= ，此时f(x)=cos在不单调，不满足题意; 当ω=3时，-+φ=kπ+，k∈Z， 取φ= - ，此时f(x)=cos在单调，满足题意， 故ω的最大值为3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 貮、三角函数中、、、φ的求解 22 例题5 (2025·山西太原模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为,将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间[]上单调递增,则φ的取值范围为(　　) A.[] B.[] C.[] D.[] B 一、　根据函数的单调区间求φ 解析 设函数的最小正周期为T,由题意知,所以T=π=,得ω=2,所以f(x)=cos(2x+φ),于是g(x)=cos[2(x-)+φ)=cos(2x+φ-).由2kπ-π≤2x+φ- ≤2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即g(x)的单调递增区间为 [kπ-,kπ+](k∈Z),所以有[]⊆[kπ-,kπ+](k∈Z), 因此(k∈Z),所以2kπ-≤φ≤2kπ-(k∈Z).因为0<φ<π,所以≤φ≤.故选B. 方法总结　根据函数的单调性确定ω,φ的方法 (1)通过单调区间的长度与周期的大小关系建立不等式(组)确定ω,φ的取值范围; (2)通过整体换元根据所给单调区间与正弦函数单调区间端点的包含关系建立不等式(组)确定ω,φ的取值范围. 练习6 (2025·重庆模拟)若函数f(x)=sin(2x-φ)(0≤φ<π)在区间(0,)上单调递增,则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. B 解析 令2kπ-≤2x-φ≤2kπ+(k∈Z),解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).由于f(x)在区间(0,)上单调递增,所以kπ-≤0<x<≤kπ+(k∈Z),即-kπ+≤-kπ+(k∈Z).因为0≤φ<π,所以当k=0时,φ的最小值为.故选B. 巩固练习 二、　根据函数的奇偶性与对称性求φ 例6　(2025·河南南阳期中)将函数f(x)=cos2x-sin2x的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且g(x)为偶函数,则实数φ的值为(　　) A. B. C. D. B 解析 由题可得,f(x)=cos 2x,则g(x)=f(x+φ)=cos 2(x+φ)=cos(2x+2φ).因为函数g(x)为偶函数,所以2φ=kπ(k∈Z),而0<φ<π,则k=1,φ=,所以实数φ的值为.故选B. 方法总结　根据函数的奇偶性与对称性求ω,φ (1)已知函数的奇偶性时,可根据函数为奇、偶函数的充要条件得到关于ω,φ的条件等式,进而求出ω,φ的值或取值范围. (2)已知函数的对称轴(对称中心)时,可整体换元,然后根据函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴方程(对称中心坐标)得到关于ω,φ的条件等式,进而求出ω,φ的值或取值范围. 三、　根据函数的零点求φ 例7　(2025·江苏苏州三模)设函数f(x)=2sin(x+φ)-1,若f(x)在区间[0,5π]上恰有3个零点,则φ的取值不可以为(　　) A.0 B. C. D. C 解析 当x∈[0,5π]时,x+φ∈[φ,φ+],因为f(x)在区间[0,5π]上恰有3个零点,f(x)=2sin(x+φ)-1=0,即存在3个不同的解使得sin(x+φ)=.当φ=0时,x∈[0,],所以满足sin(x)=的值有;当φ=时,x+∈[],所以满足sin(x+)=的值有0,,4π;当φ=时,x+∈[],所以满足sin(x+)=的值有,不符合题意;当φ=时,x+∈[],所以满足sin(x+)=的值有π,,5π.故选C. 方法总结　研究函数零点时,一般都是采用整体换元t=ωx+φ的思想方法,而ωx+φ的取值情况与函数的零点情况紧密相关,所以可根据函数零点的情况来确定ωx+φ的值或取值范围,从而求得ω,φ的值或取值范围. $