高考热点4　三角函数中ω的范围问题课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数中ω的范围问题”高考热点，依据高考评价体系梳理了单调性、对称性、零点、极值四大核心考查类型，通过真题与模拟题分析明确各类型权重，归纳选择、填空常考题型，构建针对性解题框架。 课件亮点在于“真题解析+类型突破+素养提升”策略，如2023新课标Ⅰ零点问题通过相位范围转化为区间包含问题，培养数学思维中的推理能力，2022全国甲极值题结合正弦函数图象分析，发展数学眼光中的几何直观。特设“解题模板”和“易错警示”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

高考热点4　三角函数中ω的范围问题 返回目录 类型1　利用三角函数的单调性或单调区间求ω的范围 1.★★(2025届山东临沂二中适应性考试,6)已知函数f(x)=cos ωx(ω>0)在区间 上 单调递减,则ω的取值范围是 ( ) A.(0,3)　　    B.(0,3]　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　解法一　由x∈ ,ω>0可得ωx∈ ,要使得函数f(x)=cos ωx(ω>0)在区 间 上单调递减, 则满足 ≤π且ω>0,解得0<ω≤ ,即ω的取值范围是 .故选D.   解法二　解不等式2kπ<ωx<2kπ+π,k∈Z得 <x< ,k∈Z,令k=0,得单调递减区间 为 ,所以 ⊆ ,即 ≤ ,解得ω≤ ,又ω>0,所以0<ω≤ .故选D. 返回目录 2.★★★(2026届广东开学联考,8)已知函数f(x)=2 025sin (ω>0)在区间  上单调递增,则ω的最大值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.      C     解析　当x∈ 时,ωx+ ∈ .∵ω>0,∴- + < , + > ,若 f(x)在区间 上单调递增,则 解得0<ω≤1,故ω有最大值1.故选C. 返回目录 3.★★★★(2026届湖北部分学校联考,14)设函数f(x)=2sin +1(ω>0),若f(x)在  上单调递增,则ω的取值范围是_____________.      ∪      返回目录 解析　令2kπ- ≤2ωx+ ≤2kπ+ (k∈Z),解得 - ≤x≤ + (k∈Z).因为f(x)在  上单调递增,所以 解得4k- ≤ω≤3k+ (k∈Z).因为f(x)在 上单 调递增,且ω>0,所以 - ≤ · ,所以0<ω≤6.当k≤-1时,3k+ <0,ω<0,不符合题意;当k= 0时,0<ω≤ ,符合题意;当k=1时, ≤ω≤ ,符合题意;当k≥2时,4k- >6,不符合题意. 综上,ω的取值范围是 ∪ . 返回目录 类型2　利用三角函数的对称性求ω的范围 1.★★(2026届河南省实验中学月考,6)已知函数f(x)=cos (ω>0)的图象在区间[0, π]上有且仅有3条对称轴,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     解析　因为x∈[0,π],ω>0,所以ωx- ∈ ,结合y=cos x的图象可得2π≤ωπ- < 3π,解得 ≤ω< .故选C. 返回目录 2.★★★(2025届江苏部分高中期末,6)已知函数f(x)=cos (ω>0),若f(x)在区间  上不单调,且曲线y=f(x)的一个对称中心是 ,则ω的最小值是 ( ) A.20　　    B.16　　    C.13　　    D.7     C     解析　解法一　由曲线y=f(x)的一个对称中心是 可得,ω· + = +kπ,k∈Z,解得ω =1+6k,k∈Z, 当x∈ 时,ωx+ ∈  ,ω· +  ,由f(x)在区间 上不单调可得,ω· + >π,解得 ω>12. 又ω>0,故ω的最小值为13. 返回目录 故选C. 解法二　由解法一可知ω=1+6k,k∈Z,所以ω为奇数,排除A,B; 当ω=7时, f(x)=cos ,令0≤7x+ ≤π,解得- ≤x≤ ,即f(x)的一个单调递减区间 为 ,显然 ⊆ ,所以f(x)在区间 上单调递减,与题意不符,故排 除D,故选C. 返回目录 类型3　利用三角函数的零点求ω的范围 1.★★(2026届福建厦门双十中学阶段练习,7)已知函数f(x)=cos ωx- sin ωx(ω>0),若 f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析    f(x)=cos ωx- sin ωx=2cos . 因为x∈[0,2π],ω>0, 所以 ≤ωx+ ≤2ωπ+ , 因为f(x)在[0,2π]上有且仅有3个零点和2条对称轴, 所以借助余弦函数的图象得 π≤2ωπ+ <3π,解得 ≤ω< .故选D.   返回目录 2.★★★(2026届山东德州期中,7)已知函数f(x)= sin2 + sin ωx- (ω>0),x∈R.若f(x) 在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A. 　　    B. ∪  C. 　　    D. ∪      D     返回目录 解析    f(x)= sin2 + sin ωx- = · + sin ωx- = sin ωx- cos ωx=sin  , 当x∈(π,2π)时,ωx- ∈ ,ω>0, 因为函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,所以T= ≥2π,即0<ω≤1. 由 或  解得0<ω≤ 或 ≤ω≤ .故选D. 返回目录 3.★★(2022全国乙理,15,5分)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若 f(T)= ,x= 为f(x)的零点,则ω的最小值为_________.     3     返回目录 解析　∵T= ,ω>0, f(T)= , ∴cos = ,∴cos φ= , ∵0<φ<π,∴φ= , ∴f(x)=cos , 又f =0,∴cos =0, ∴ + =kπ+ (k∈Z),∴ =k+ (k∈Z),∴ω=9k+3(k∈Z). ∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3. 返回目录 4.★★★(2023新课标Ⅰ,15,5分)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个 零点,则ω的取值范围是_____________.     [2,3)     返回目录 解析　令ωx=t,因为x∈[0,2π],ω>0, 所以t∈[0,2ωπ],已知f(x)在区间[0,2π]有且仅有3个零点, 即y=cos t的图象和直线y=1在t∈[0,2ωπ]有且仅有3个交点, 画出y=cos t的图象和直线y=1如图所示,   由图可知4π≤2ωπ<6π,即2≤ω<3. 故ω的取值范围是[2,3). 返回目录 类型4　利用三角函数的极值(最值)求ω的范围 1.★★★(2022全国甲,11,5分)设函数f(x)=sin 在区间(0,π)恰有三个极值点、两 个零点,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　当ω<0时,不能满足在区间(0,π)极值点比零点多,所以ω>0. 因为x∈(0,π),所以ωx+ ∈ , 又y=sin x,x∈ 的图象如图所示:   要使函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,【注意极值点与零点的区别】 需满足 <ωπ+ ≤3π,解得 <ω≤ ,即ω∈ .故选C. 返回目录 2.★★★(2026届四川达州零诊,7)已知函数f(x)=2sin (ω>0)在 上存在最值, 且在 上单调,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　由题得- <ωx- < - , - <ωx- <ωπ- . 由f(x)在 上存在最值,得 - > ,ω>2. 因为函数f(x)在 上单调,所以 ⊆ ,k∈Z, 返回目录 即 k∈Z, 从而, k- ≤ω≤k+ ,且 k- ≤k+ ,即k≤ 且k∈Z.又ω>0,故当k=0时,0<ω≤ ;当k=1 时,1≤ω≤ ;当k=2时, ≤ω≤ . 因为ω>2,所以 ≤ω≤ . 返回目录 3.★★★(2026届河北保定期中,6)若函数f(x)=cos (ω>0)在 上恰有3个极 值点,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. ∪  C. 　　    D.      D     返回目录 解析　由于ω>0,x∈ ,所以ωx+ ∈ .显然 ∈  ,由于y=cos x的极值点为x=kπ,k∈Z,所以f(x)的极值点对应的ωx+  取0,π,2π或-π,0,π, 所以  或  解得 <ω≤ ,故选D. 返回目录 4.★★★(2025届湖南长沙雅礼中学三模,13)已知函数f(x)=4cos2 -3(ω>0)在区间  上恰有2个极大值点和1个极小值点,则ω的取值范围为_________. 返回目录 解析　由题意及二倍角的余弦公式得f(x)=2cos -1,因为x∈ ,ω>0,所以2ωx - ∈ , 因为函数f(x)在区间 上恰有2个极大值点和1个极小值点, 所以由余弦函数的图象可知2π< ω- ≤3π,【注意端点值的取舍及极值点的定义】 解得 <ω≤ ,即ω的取值范围为 . 返回目录 $