第4章 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”专题，依据高考评价体系梳理了公式应用、求值化简、角的变换三大考查要求，通过课标与真题分析明确公式直接应用占45%、逆用变形占30%的高频考点，归纳选择、填空、解答三类常考题型。 课件亮点在于“公式体系+真题突破+素养提升”策略，如以2025全国二卷真题为例，用二倍角公式结合诱导公式求解sin(α-π/4)，培养学生数学思维中的推理能力与运算能力。特设“易错点警示”和“角的变换技巧”模块，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第4章 三角函数、解三角形 第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 1.掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式. 2.会应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式进行求值， 化简，证明等. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)=　 　;  cos(α∓β)=　 　;  tan(α±β)= . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=　 　;  cos 2α=　 　=　 　=　 　;  tan 2α= . sin αcos β±cos αsin β cos αcos β±sin αsin β 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 3.辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)，其中sin φ= ，cos φ= . 4.和差化积公式: sin θ+sin φ=2sincos; sin θ-sin φ=2cossin; cos θ+cos φ=2coscos; cos θ-cos φ=-2sinsin. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 5.积化和差公式: sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)]; cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)]; cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)]; sin αsin β= - [cos(α+β)-cos(α-β)]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【重要结论】 1.两角和与差正切公式的变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β =1- = -1. 2.降幂公式:sin αcos α= sin 2α，cos2α= ，sin2α= ， tan2α= . 3.升幂公式:1-cos α=2sin2，1+cos α=2cos2，1±sin α=. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 4.其他常用变形 sin 2α= = ; cos 2α= = ; sin =±; 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 cos =±; tan=± = = . 5.sin α±cos α=sin. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 课前自测 11 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(　　) (2)对任意角α都有1+sin α=.(　　) (3)y=3sin x+4cos x的最大值是7.(　　) (4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.(　　) (5)cos2-cos2 =- .(　　) √ √ × × √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 2.sin 15°cos 15°=(　　) A.- B. C.- D. B [解析] sin 15°cos 15°= sin 30°= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 3.[必修1p220T2]若cos α=-，α是第三象限角，则sin等于(　　) A.- B. C.- D. C [解析] ∵α是第三象限角， ∴sin α=-= - ， ∴sin=sin αcos +cos αsin = - ×+× = - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 4.已知tan α=2，则=(　　) A.3 B. C.2 D. D [解析] = = = .故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 5.[必修1p220T3]计算:sin 108°cos 42°-cos 72°sin 42°=　　　　.  [解析] 原式=sin(180°-72°)cos 42°-cos 72°sin 42° =sin 72°cos 42°-cos 72°sin 42° =sin(72°-42°)=sin 30°= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 6.已知tan α=，tan(α+β)=-2，则tan β=　　　　　.  [解析] 由tan α= ，tan(α+β)= -2， 所以tan β=tan[(α+β)-α]= = = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点突破 18 考点1 三角函数公式的直接应用 例1　(1)已知cos= - ， 则sin 2α=(　　) A. B.- C. D.- A [解析] 因为cos= -， 所以sin 2α=sin=-cos 2=1-2cos2=1-2×= .故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 (2)计算3tan 80°-3tan 50°-tan 80°tan 50°的值为(　　) A. B. C.- D.- B [解析] 因为tan 30°=tan(80°-50°)= = ， 所以3tan 80°-3tan 50°=tan 80°tan 50°+， 所以3tan 80°-3tan 50°-tan 80°tan 50°=.故选B. [小结]（ 1 ）使用两角和与差的三角函数公式,首先要记住公式的结构特征. （ 2 ）使用公式求值,应先求出相关角的函数值,再代入公式求值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 1.已知tan= -2，则sin 2α=(　　) A. B. C.- D.- B [解析] 因为tan= =-2，即 =- 2，所以tan α=3， sin 2α= = = = .故选B. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 2.(2024·重庆·模拟预测)若α，β∈且cos(α-β)= ，sin αsin β= ，则sin(2α+2β)=(　　) A.- B.- C. D. D [解析] 由α，β∈，得0<α+β<π， 又cos(α-β)= =cos αcos β+sin αsin β，sin αsin β= ，所以cos αcos β= ， 则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= ，则sin(α+β)= ， 故sin(2α+2β)=2sin(α+β)cos(α+β)=2×× = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 考点2 三角函数公式的逆用和变形用 角度1.三角函数公式的灵活运用 例2　若tan α=2tan，则 =(　　) A.- B. C.-3 D.3 B [解析] = = = ， 分式的分子分母同除以cos αcos得 原式= = = ，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结](1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式. (2)tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 角度2.辅助角公式 例3　(2024高三·江苏南通·期末)已知x∈，sin x+cos x= ，则tan=(　　) A.3 B.-3 C.- D.2 A [解析] 因为sin x+cos x= ，所以sin= ，所以sin= ， 又x∈，所以x+∈，所以cos== ， 所以tan=3，故tan=tan=tan=3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 [小结]在辅助角公式asin x+bcos x=·sin(x+φ)中，当|a|=|b|时，一般可引入辅助角φ=;当||=或||= 时，一般可引入辅助角φ= 或. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 角度3.和差化积与积化和差公式 例4　已知cos(α+β)= ，cos(α-β)= - ，则tan α·tan β=(　　) A. B.- C. D.-7 D [解析] 因为sin αsin β= - [cos(α+β)-cos(α-β)]=-×= - ， 又cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)] =×= ， 所以tan α·tan β= = -7.故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 3.的值为(　　) A.- B. C.- D. D [解析] = = =.故选D. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 4.(多选)已知α，β，γ∈，sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，则(　　) A.cos(β-α)= B.cos(β-α)= C.β-α= - D.β-α= AD [解析] 由题意知，sin γ=sin β-sin α，cos γ=cos α-cos β， 将两式分别平方后相加， 得1=(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=2-2(sin βsin α+cos βcos α)=2-2cos(β-α)， ∴cos(β-α)= ，即选项A正确，B错误; ∵γ∈，∴sin γ=sin β-sin α>0，而α，β∈， ∴β>α，且β-α<，∴β-α=，即选项D正确，C错误. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 5.(2024·江苏·一模)已知α，β∈，且sin α-sin β= -，cos α-cos β= ，则sin 2α=　　　　.  [解析] 由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β， 所以sin α+cos α=sin β+cos β， 所以sin=sin， 因为α，β∈，所以α+∈，β+∈， 又α≠β，所以α++β+=π，故α+β= ，所以sin α-sin β=sin α-cos α= - ， 两边平方后得sin2α-2sin αcos α+cos2α= ，所以sin 2α=2sin αcos α= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 6.函数y=cos2+cos2-1是(　　) A.最大值是的奇函数　 B.最大值是的偶函数 C.最大值是的奇函数　 D.最大值是的偶函数 B [解析] y=cos2+cos2-1= + -1 = = ×2cos×cos =cos 2xcos = cos 2x. 因为y= cos 2x是最大值为的偶函数，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 考点3 角的变换问题 例5　(1)(2025·陕西咸阳·一模)已知tan=-3，则cos 2α=(　　) A.- B.- C.- D.- C [解析] 由题意可得: cos 2α=cos=sin 2 = = = = - .故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 (2)已知α，β为锐角，tan α=，且cos(α+β)= - .则角2α+β的值为　　　　　　. [解析] 法一:由α，β为锐角，则0<α+β<π， 又cos(α+β)= -，则sin(α+β)==，所以tan(α+β)= -7， 又tan α= ，所以tan(2α+β)= = -1. 由0<α，β<，且tan α= <1=tan， 则0<α<，所以0<2α<， 又0<β<，则0<2α+β<π，所以2α+β= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 法二:因为α，β为锐角，tan α=，sin2α+cos2α=1，解得sin α= ，cos α= ， 由0<α+β<π，又cos(α+β)= -， 所以sin(α+β)== ， 则cos(2α+β)=cos αcos(α+β)-sin αsin(α+β)=×-× = -， 由0<α，β<，且tan α=<1=tan， 则0<α<，所以0<2α<， 又0<β<，则0<2α+β<π，所以2α+β= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 [小结]角的变换:明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如:2α=(α+β)+(α-β)，α=++α= -，α=(α+β)-β=(α-β)+β，+= 等. 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 7.若α∈，6tan+4cos=5cos 2α，则sin 2α=(　　) A. B. C. D. C [解析] 令t=+α，t∈，得α=t- ，则6tan t+4cos=5cos， 即6tan t+4sin t=5sin 2t=10sin tcos t， 同时除以2sin t，再乘以cos t得，5cos2t-2cos t-3=0， 即(5cos t+3)(cos t-1)=0，且cos t<0， 那么cos t= - ，则sin 2α=sin=-cos 2t=1-2cos2t= .故选C. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 8.(2025·广东广州·三模)已知α，β都是锐角，cos α=，cos(α+β)=-，则cos β的值为(　　) A. B.- C. D.- C [解析] 法一:由cos α= ，α是锐角，得sin α== . 因为α，β是锐角，所以α+β∈(0，π). 又因为cos(α+β)= -，所以sin(α+β)== ， 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+× = . 法二:由已知可得cos(α+β)=-cos α，所以α+α+β=π， ∴cos β=cos(π-2α)=1-2cos2α=1-2×= .故选C. 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 9.已知sincos=-，则cos=　　　　　　.  - [解析] 因为sin=cos=cos=cos， 所以coscos= - ， 而-= ， 所以cos =cos =coscos+sin·sin， 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 即- = - +sinsin， 所以sinsin= - ， 所以cos=cos=coscos-sinsin=--= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 39 走进高考 1.(2025·全国二卷)已知0<α<π，cos=，则sin=(　　) A. B. C. D. D [解析] cos α=2cos2 -1=2×-1=- ， 因为0<α<π，cos α<0，则<α<π，则sin α=== ，则sin=sin αcos-cos αsin = × -×= .故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 40 $