第三节 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，依据高考评价体系梳理了两角和差、二倍角公式的推导与应用，以及辅助角公式、角的变换等核心考点，通过真题分析明确公式逆用、角的拆分等高频考查方向，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题训练+技巧指导”的备考策略，如结合2025北京高考题、2026南京模拟题，深入讲解角的变换（如α+β=2α-(α-β)）和辅助角公式化简技巧，培养学生的数学思维与运算能力。特设易错点分析（如公式符号错误）和答题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准开展复习教学，提升备考效率。

第三节 第四章　三角函数与解三角形 三角恒等变换 【目标要求】　1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.3.能从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.4.能利用上述公式进行简单的恒等变换 (包括推导积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)基本公式 ①cos(α±β)=_____________________. ②sin(α±β)=_____________________. ③tan(α±β)=____________. cos αcos β∓sin αsin β sin αcos β±cos αsin β (2)公式变形 ①asin α+bcos α=sin(α+φ)(辅助角公式), 其中cos φ=,sin φ=. ②sin α±cos α=sin. ③tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). ④=tan. ⑤=tan. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)基本公式 ①sin 2α=_____________. ②cos 2α=___________=___________=___________. ③tan 2α=_____________. 2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 　 (2)公式变形 ①降幂公式:cos2α=___________;sin2α=___________;tan2α=. 升幂公式:1+cos 2α=2cos2α;1-cos 2α=2sin2α; 1±sin 2α=(sin α±cos α)2. 　 ②半角公式:sin=±; cos=±; tan=±==. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)存在角α,β,使cos(α+β)=cos α+cos β.(　　) 解析 (2)sin(60°-30°)=sin 60°-sin 30°.(　　) (3)tan α·tan β,tan α+tan β,tan(α+β)三者知二可表示或求出第三个. (　　) sin(60°-30°)=sin 30°=,sin 60°-sin 30°=,二者不相等,故错误. 解析 由于tan(α+β)=,所以命题正确. 解析 (4)x=时,函数y=sin x+cos x取得最大值为2.(　　) 解析 2.(人A必一P219例4(2)改编)cos 105°cos 45°-sin 75°sin 45°=(　　) A.- B.- C. D. cos 105°cos 45°-sin 75°sin 45°=-cos 75°cos 45°- sin 75°sin 45°=-(cos 75°cos 45°+sin 75°sin 45°)=-cos(75°-45°)=-cos 30°=-.故选A. 解析 3.已知0<α<π,cos α=,则tan 2α=(　　) A.- B.- C.- D.- 解析 4.cos 105°+sin 195°=_______. 　 解析 5.计算tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°=_____. 解析 　 第1课时　两角和与差的正弦、 余弦和正切公式 第三节 考点一 公式的基本应用 解析 (2)(2025·北京高考)已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠ cos(α-β).写出满足条件的一组α,β的值α=________________________, β=_____________________. 因为sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合,故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+lπ,l∈Z,即α=+kπ,k∈Z,故取α=,β=可满足题设要求. 解析 (答案不唯一) (答案不唯一) 利用三角函数公式时应注意的问题 1.首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”. 2.应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用. 3.应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 因为sin=-sin=-cos α=-,所以cos α=,由cos α=1-2sin2=1-2sin2,所以sin2=,解得sin=±.故选D. 解析 解析 【例2】　(1)在△ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1,则cos C=(　　) A.- B.- C. D. 考点二 公式的逆用及变形 解析 (2)已知函数f(x)=sin x-cos x,f(x0)=-,x0∈(0,π),则sin x0的值为______. 　 解析 三角函数公式的活用技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,角之间的关系,创造条件逆用公式. 2.注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式. 3.tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用. 【训练2】　(1)计算sin215°+cos245°+sin 15°cos 45°=(　　) A. B. C. D. 解析 (2)满足等式(1+tan α)(1+tan β)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组___________________. 解析 (答案不唯一) 【例3】　(1)已知α,β都是锐角,cos α=,cos(α+β)=-,则cos β的值为 (　　) A. B.- C. D.- 考点三 角的变换问题 解析 (2)(2026·南京模拟)若sin(α-β)=,cos 2α=-,且α,β都为锐角,则sin(α+β)=_____. 1 解析 解析 三倍角的正弦、余弦公式 公式:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ;cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 证明:sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcos θ+cos 2θsin θ=2sin θcos2θ+(1-2sin2θ)sin θ=2sin θ(1-sin2θ)+sin θ-2sin3θ=3sin θ-4sin3θ. cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ=(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ= 2cos3θ-cos θ-2cos θ(1-cos2θ)=4cos3θ-3cos θ. 【典例】　设α为第四象限的角,若=,则tan 2α=_____. -　 解析 【微练】　sin 3αsin3α+cos 3αcos3α化简为_____________. cos32α sin 3αsin3α+cos 3αcos3α=sin2α·sin αsin 3α+cos2αcos αcos 3α= ·sin αsin 3α+·cos αcos 3α=(sin αsin 3α+cos αcos 3α)+cos 2α·(-sin αsin 3α+cos 3αcos α)=cos(α-3α)+cos 2αcos(3α+ α)=cos 2α+cos 2α·cos 4α=cos 2α(1+cos 4α)=cos 2α· 2cos22α=cos32α. 解析 取α=,β=,cos=sin=,cos+cos=.所以存在角α,β,使cos(α+β)=cos α+cos β. y=sin x+cos x=sin,当x=时,y=sin=,此时函数取得最大值. 由0<α<π,cos α=,得sin α=,tan α==2,所以tan 2α==-.故 选B. cos 105°+sin 195°=cos(90°+15°)+sin(180°+15°)=-2sin 15°=-2sin(45°-30°)= -2=. 因为tan(72°-42°)==,得到tan 72°-tan 42°=(1+ tan 72°tan 42°),所以tan 72°-tan 42°-tan 72°tan 42°=. 由sin=,可得cos θ=,又θ∈,由cos2θ+sin2θ=1,可得:sin θ =-,所以tan θ=-2,所以tan==3,故选A. 【例1】　(1)已知sin=,θ∈,则tan=(　　) A.3 B.-3 C.- D. 【训练1】　(1)已知sin=-,则sin=(　　) A. B.± C. D.± (2)已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,则4tan α+tan β=(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 因为tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,所以①+②得tan α=4+tan αtan β,①-②得tan β=-1-4tan αtan β.所以4tan α+tan β=16-1=15.故选C. 因为tan A+tan B+tan Atan B=1,所以tan A+tan B=1-tan Atan B,即 =1=tan(A+B)=tan(π-C)=-tan C,所以tan C=-1,又因为C∈(0,π),所以C=,于是cos C=-,故选B. f(x)=sin x-cos x=2sin,由题知,2sin=-,即sin=-,由x0∈(0,π)可得,x0-∈,注意到sin<0,进而x0-∈,于是cos==,sin x0=sin=sin cos+cossin=. sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,代入原式可得++×=.故选A. 由(1+tan α)(1+tan β)=2,得1+tan β+tan α+tan αtan β=2,所以tan β+tan α=1-tan αtan β,所以=1,所以tan(α+β)=1,所以α+β=kπ+,k∈Z,所以可令α=0,β=(答案不唯一). 解法一:由cos α=,α是锐角,得sin α==.因为α,β是锐角,所以a+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-,所以sin(a+β)==,所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=. 解法二:由已知可得cos(α+β)=-cos α,所以α+α+β=π,所以cos β=cos(π-2α) =1-2cos2α=1-2×=.故选C. 因为α,β都为锐角,所以0<α,β<,所以0<2α<π,-<-β<0,所以-<α-β<,因为cos 2α=-,0<2α<π,所以sin 2α===,因为sin(α-β)= ,-<α-β<,所以cos(α-β)===,所以sin(α+β)=sin[2α-(α-β)]=sin 2αcos(α-β)-cos 2αsin(α-β)=×-×=1. 1.当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时,“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式,或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-,α= (α+β)-β=(α-β)+β,+=等. 【训练3】　若sin=,则cos的值为(　　) A. B.- C. D.- 因为sin=,所以cos2=1-sin2=1-=.因为sin=sin=cos,所以cos=cos=1-2sin2=1-2cos2=1-2×=-. 由=,可得=,即3-4sin2α=,所以sin2α=.因为α为第四象限的角,所以sin α=-,cos α==,所以tan α=-.故tan 2α ==-. $