第4章第4节 简单三角恒等变换——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“简单三角恒等变换”专题，依据课标要求梳理了三角函数式化简、求值、证明及综合应用等核心考点，通过知识要点（角、名称、结构变换）和课前自测明确高考高频题型，对接高考评价体系中对运算能力和推理能力的考查要求。 课件亮点在于“考点突破+真题训练+素养提升”模式，如考点2通过“给角求值”“给值求值”“给值求角”三类题型解析，结合2025年模拟题培养学生数学思维和符号表达能力，小结中提炼“变角、变名、变结构”技巧，助力学生掌握答题方法，教师可据此系统开展针对性复习，提升备考效率。

第4章 三角函数、解三角形 第4节 简单三角恒等变换 2027届高中数学一轮复习 1 1. 课标要求 2.知识要点 3.课前自测 4.考点突破 目录 2 【课标要求】 1.能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的 三角恒等变换. 2.能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进 行化简、求值及恒等式的证明. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 知识要点 4 【知识要点】 1.三角变换的一般方法 (1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如α=(α+β)-β，+x= - ，α=2·等; (2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切; (3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等; (4)角变换中以角的变换为中心;解题时，一看角，二看名称，三看结构. 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 课前自测 6 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y=sin4x-cos4x的周期为.(　　) (2)y=sin x+cos x在x= 时取最大值2.(　　) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　) (4)存在实数α，使tan 2α=2tan α.(　　) (5)cos2 = .(　　) × √ √ √ √ 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 2.[必修1p225例7]化简的结果是(　　) A.sin 2 B.-cos 2 C.cos 2 D.-cos 2 D [解析] 因为=，又cos 2<0，所以可得选项D正确. 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 3.若角α满足sin α+2cos α=0，则tan 2α等于(　　) A.- B. C.- D. D [解析] 由题意知，tan α= -2，所以tan 2α= = . 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 4.已知α是第二象限的角，tan(π+2α)=-，则tan α等于(　　) A.- B.2 C.- D.- D [解析] 由tan(π+2α)= - ，得tan 2α= - ，又tan 2α= = - ， 解得tan α= - 或tan α=2，又α是第二象限角，所以tan α= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.若α为第二象限角，sin α=，则sin 2α=　　　.  - [解析] 因为α为第二象限角，sin α= ， 所以cos α= -= -= - ， 所以sin 2α=2sin αcos α=2××= - . 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点突破 12 考点 1 三角函数式的化简与证明 例1　(1)化简:; (2)阅读下面材料: sin 3θ=sin(2θ+θ)=sin 2θcos θ+cos 2θsin θ =2sin θcos2θ+(1-2sin2θ)sin θ =2sin θ(1-sin2θ)+(sin θ-2sin3θ) =3sin θ-4sin3θ. 解答下列问题:证明:cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [解析] (1)原式= = = = = =tan 2α. (2)cos 3θ=cos(2θ+θ)=cos 2θcos θ-sin 2θsin θ =(2cos2θ-1)cos θ-2sin2θcos θ=2cos3θ-cos θ-2(1-cos2θ)cos θ=4cos3θ-3cos θ， 即cos 3θ=4cos3θ-3cos θ得证. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 [小结]1.三角函数式化简的方法 (1)弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次,去掉根号. 2.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的变换,从而正确使用公式. (2)二看“名”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”或“弦化切”. (3)三看“形”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 1.化简=　　　　.  [解析] · =· = · = · = . 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 2.证明: = cos 2x. [解析] 左边= = = = = cos 2x，得证. 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 考点2 三角函数式的求值 角度1.给角求值 例2　计算sin213°+sin232°+sin 13°sin 32°等于(　　) A. B. C. D.2 A 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 [解析] sin213°+sin232°+sin 13°sin 32° = + +·[cos(13°+32°)-cos(13°-32°)] =1- (cos 26°+cos 64°)- cos 45°+ cos 19° =1- [cos(45°-19°)+cos(45°+19°)] -cos 45°+cos 19° =1- (cos 45°cos 19°+sin 45°sin 19°+cos 45°cos 19°-sin 45°sin 19°)- × + cos 19° =1- cos 45°cos 19°- +cos 19°= - cos 19°+ cos 19°= .故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 角度2.给值求值 例3　已知tan=，则cos=(　　) A. B. C.- D.- A [解析] 由已知得2-= ， 则cos=cos=cos=sin = = = ，故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 角度3.给值求角 例4　已知0<β<α<，且sin(α-β)=，tan α=5tan β，则α+β=　　　　.  [解析] ∵tan α=5tan β，即 = ， ∴sin αcos β=5cos αsin β， ∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=4cos αsin β= ， ∴cos αsin β= ，sin αcos β= ， sin(α+β)=sin αcos β+sin βcos α= + = ， ∵0<β<α<，∴0<β+α<，∴α+β= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 [小结]三角函数求值的3类求法 (1)“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系. (2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解. (3)“给值求角”:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,最后确定角. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 3.(2025·黑龙江哈尔滨·二模)已知2sin(α+β)=cos(α-β)，tan α+tan β= ，则tan αtan β=　　　　.  - [解析] 因为2sin(α+β)=cos(α-β)， 故2sin αcos β+2cos αsin β=cos αcos β+sin αsin β， 由题知cos α≠0，cos β≠0， 故2tan α+2tan β=1+tan αtan β， 故2×=1+tan αtan β，即tan αtan β= - . 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 4.(2025·浙江杭州·模拟预测)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α= ，cos(α+β)= - ，则β-α=　　　　　.  [解析] 由≤α≤π⇒≤2α≤2π，sin 2α=，所以≤2α≤π，即cos 2α= - ≤α≤， 又因为cos(α+β)= - ≤α+β≤2π， 所以sin(α+β)=-=- = - ， 由sin(β-α)=sin(α+β-2α)=sin(α+β)·cos 2α-cos(α+β)sin 2α= - ×+ ×= = ， 因为≤α≤，π≤β≤，所以≤β-α≤，则β-α= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 5.(2025·重庆·模拟预测)求值: =(　　) A. B.1 C.2sin 9° D.2 B [解析] 原式 = = = = =1.故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 考点3 三角恒等变换的综合应用 例5　(1)(2025·河北·模拟预测)已知α，β均为锐角，α+β为钝角，若sin(α+β)=3cos αcos β，则tan(α+β)的最大值为(　　) A.- B.- C.- D.- B [解析] 由sin(α+β)=3cos αcos β可得sin αcos β+cos αsin β=3cos αcos β，① 由于α，β均为锐角，故cos αcos β≠0， ①式两边同除cos αcos β得tan α+tan β=3，故tan(α+β)= = <0， 即tan αtan β>1，故tan αtan β≤= ，当且仅当tan α=tan β= 时取到等号， 因此 tan(α+β)= ≤ = - ，故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 (2)已知函数f(x)=2cos xcos-sin2x+sin xcos x. (ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (ⅱ)若锐角α，β满足f=，cos(α+β)=-，求f. [解析] (ⅰ)f(x)=cos2x+cos xsin x-sin2x+sin xcos x=cos 2x+sin 2x =2=2=2sin， 所以函数f(x)的最小正周期T=π. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 (ⅱ)因为f=2sin α= ，得sin α= ， 又因为α是锐角，所以cos α= ， 因为α，β是锐角，所以α+β∈(0，π)， 且cos(α+β)= - ，所以sin(α+β)= ， 则cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- × + × = ， 故f=2sin=2cos β=2× = . (ⅱ)若锐角α，β满足f=，cos(α+β)=-，求f. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 [小结]1.进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用. 2.形如y=asin x+bcos x化为y=·sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 6.已知θ∈，tan 2θ=-4tan，则=(　　) A. B. C.1 D. A [解析] 因为θ∈，所以tan θ∈(-1，0). 由tan 2θ=-4tan得=-4·， 化简整理得2tan2θ+5tan θ+2=0，解得tan θ=-2(舍去)或tan θ= - ， 所以 = = = = .故选A. 跟踪练习 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 7.设f(x)=5sin+12sin，若f(x)≤f(x0)恒成立，则tan=(　　) A.- B.- C. D. B [解析] 因为sin=sin=-cos，所以f(x)=5sin+12sin=5sin-12cos=13sin，其中tan φ= ， 因为f(x)≤f(x0)恒成立，所以x0+-φ=+2kπ，k∈Z，即x0=φ+ +2kπ，k∈Z， 则tan=tan=tan= = = - = - . 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 8.(2024·云南·二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B是A与C的等差中项. (1)求角B的大小; (2)若△ABC是锐角三角形，求的取值范围. [解析] (1)∵B是A与C的等差中项，∴2B=A+C.∵A+B+C=π，∴B= . 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 (2)若△ABC是锐角三角形，求的取值范围. [解析](2)∵B=，△ABC是锐角三角形， ∴解得<A<， ∴ = = = = =2cos Acos C 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 =2cos Acos=2cos A =-cos2A+sin Acos A =-+ =sin 2A-cos 2A-=sin-. 由<A<得<2A-<， ∴<sin≤1，∴0<sin-≤，即0<≤. ∴的取值范围为. 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 本课结束 谢谢观看 35 $