第三节 第2课时 简单的三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，覆盖三角函数式求值、给值求角、综合应用等高考核心考点，依据高考评价体系分析考点权重，归纳“给值求值”“给值求角”等常考题型，构建完整解题思路，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如以2021新高考I卷“tanθ=2”题为例，通过“弦切互化”“角的拆分”等方法培养数学思维，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第三节 第四章　三角函数与解三角形 三角恒等变换 第2课时　简单的三角恒等变换 第三节 考点一 三角函数式求值 解析 (2)若tan(α+2β)=3,tan(α-β)=2,则tan(α+5β)=(　　) A. B. C. D. 因为tan(α+2β)=3,所以tan 2(α+2β)===-,所以tan(α+5β)=tan[2(α+2β)-(α-β)]===.故选B. 解析 给值求值是指已知某个角的三角函数值,求与该角相关的其他三角函数值的问题,解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来. 考向❷给值求角 【例2】　(1)在△ABC中,已知tan A,tan B是关于x的方程x2+p(x+1)+1=0的两个实根,则C=(　　) A. B. C. D. 解析 (2)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,则2α+β的值为(　　) A. B.π C. D. 解析 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值,再求角的范围,最后确定角.遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可; (2)若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好. 【题组对点练】 题号 1 2 3 考向 ❶ ❷ ❶ 解析 解析 解析 6 【例3】　已知函数f(x)=cos x,函数g(x)满足9f2(x)+[g(x)-2]2=9,且g=5. (1)求g(x)的值域; 考点二 三角恒等变换的综合应用 解 (2)求函数h(x)=f(x)+g(x)的最大值与最小值. (2)由(1)的结论,可得h(x)=f(x)+g(x)=cos x+3sin x+2,所以h(x)= sin(x+φ)+2,其中锐角φ满足tan φ=,当x+φ=+2kπ(k∈Z)时,即x=-φ+2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值+2,当x+φ=-+2kπ(k∈Z) 时,即x=--φ+2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最小值-+2. 解 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质.解题时注意观察角、函数名、结构等特征,使用整体思想解决相关问题. 解析 积化和差与和差化积 人教A版必修第一册P225例8与P226练习T4、T5给出了两组公式. (1)积化和差公式: ①sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)] ②cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)] ③cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)] ④sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)] (2)和差化积公式: ①sin θ+sin φ=2sincos ②sin θ-sin φ=2cossin ③cos θ+cos φ=2coscos ④cos θ-cos φ=-2sinsin 应用上述公式可实现三角函数式的积与和的相互转化. 【典例】　(1)求值tan 10°+sin 10°=____. 解析 　 (2)(2026·厦门模拟)已知cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),则tan α=(　　) A.　　　 B.-　　　 C.　　　 D.- 解析 【微练】　(1)求值:sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°=_____. 解析 　 (2)已知α,β∈,且sin α-sin β=-,cos α-cos β=.则tan α+tan β =___________. 　 解析 因为cos α=1-2sin2=,所以sin2===,因为α为锐角,所以也为锐角,所以sin=.故选D. 解析 解析 因为tan 2α=,且α∈,所以=,所以2sin 2α= cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α.又cos α≠0,所以4sin α=1,所以sin α=,所以cos α=,所以tan α=.故选A. 解析 由题意知,△OAB是等边三角形,所以AB=OA=2.连接OC,因为C是AB的中点,所以OC⊥AB,OC==,又CD⊥AB,所以O,C,D三点共线,所以CD=OD-OC=2-,所以s=AB+=2+=.故选B. 解析 考向❶给值求值 【例1】　(1)(2025·全国二卷)已知0<α<π,cos=,则sin= (　　) A. B. C. D. cos α=2cos2-1=2×-1=-,因为0<α<π,则<α<π,则sin α= ==,则sin=sin αcos-cos αsin=×-×=.故选D. 因为tan A,tan B是关于x的方程x2+px+p+1=0的两个实根,所以tan A+tan B =-p,tan Atan B=p+1,所以tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-= -=-1,因为C∈(0,π),所以C=.故选D. 因为α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-,所以sin α=,cos α=,sin(α+β)=,α∈,α+β∈,所以2α+β∈,则sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]= sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=×-×=,所以2α+β=,故选A. (1)(2026·衡水模拟)已知α为锐角,且sin=-,则sin= (　　) A. B. C.- D.- 令β=α+,则α=β-,则2α-=2-=2β-,故sin=sin= -cos 2β=2sin2β-1=-,得sin2β=,因为α为锐角,则β=α+∈,则sin=sin β=.故选A. (2)已知α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,则α+β=(　　) A. B. C. D. 因为α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,所以α,β∈,所以sin α=,cos α= ,sin β=,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,因为α+β∈(0,π),所以α+β=,故选A. (3)已知sin(2α+β)=2sin β,且tan =1-tan2,则tan(α+β)=_____. 因为tan =1-tan2,所以tan α==2.又sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α],所以sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α,即sin(α+ β)cos α=3cos(α+β)sin α,等号两边同时除以cos αcos(α+β),得tan(α+β)= 3tan α=6. (1)由f(x)=cos x,且9f2(x)+[g(x)-2]2=9,可得[g(x)-2]2=9(1-cos2x)=9sin2x,即g(x)=2±3sin x,当g(x)=2+3sin x时,g=2+3=5,符合题意;当g(x)=2- 3sin x时,g=2-3=-1,不符合题意,舍去.综上所述,g(x)=2+3sin x,结合sin x∈[-1,1],可知g(x)∈[-1,5],即函数g(x)的值域为[-1,5]; 【训练】　(2026·哈尔滨模拟)已知<θ<,若a=,b=-cos 2θ, c=-cos θ,则a,b,c的大小关系是(　　) A.c>a>b B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c a===sin θcos θ,b=(1-cos 2θ)=sin2θ,c=-cos θ= =sin θtan θ,又<θ<,则sin θ∈,且tan θ>1>sin θ>>cos θ>,所以c=sin θtan θ>b=sin2θ>a=sin θcos θ.故选C. 原式=+sin 10°== =====. 由cos(140°-α)+sin(110°+α)=sin(130°-α),得cos(140°-α)=sin(130°-α)-sin(110° +α)=2cos 120°sin(10°-α)=-sin(10°-α),即sin(50°-α)=sin(10°-α).所以sin(50°-α)-sin(10°-α)=2cos(30°-α)sin 20°=0,故30°-α=90°+k·180°,k∈Z,即α=-60°-k·180°,k∈Z,则tan α=tan(-60°-k·180°)=tan(-60°)=-. 原式=[sin(20°+70°)+sin(20°-70°)]+[cos(10°-50°)-cos(10°+50°)]= +==. 因为sin α-sin β=2cossin,所以-=2cossin　①,cos α-cos β=-2sin·sin,所以=-2sinsin　②,得tan=1,因为α,β∈,所以=,α+β=,tan α+tan β=tan α+tan=tan α+, +==,因为α+β=,所以sin α-sin β=sin α-cos α=-两边平方得sin2α+cos2α-2sin α·cos α=,所以sin αcos α=,所以tan α+tan β==. 1.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=,则sin=(　　) A. B. C. D. 2.(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ=-2,则=(　　) A.- B.- C. D. ===sin θ(sin θ+ cos θ)=sin2θ+sin θcos θ====.故选C. 3.(2021·全国甲卷)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　) A. B. C. D. 4.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s=(　　) A. B. C. D. $