简单的三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“简单的三角恒等变换”专题，依据高考评价体系梳理了二倍角、和差角等公式的应用，通过模拟题分析明确给值求值、条件判断、函数性质等高频题型，构建系统的解题思路。 课件亮点在于高考真题模拟与应试技巧指导，如结合2026年大连模拟题，用数学思维推导正切和角公式，以数学语言规范辅助角化简过程，典型题如第13题函数性质求解，帮助学生掌握公式变形和角的拆分技巧，提升得分率，为教师复习教学提供精准指导。

简单的三角恒等变换 一、单项选择题 1.“sin α=”是“sin-cos=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 基础过关 若sin-cos=,则==1-sin α,所以sin α=,必要性成立;若sin α=,则=1-sin α=,所以sin-cos=±,充分性不成立.故“sin α=”是“sin-cos=”的必要不充分条件.故选B. 解析 2.(2026·大连模拟)设θ∈,若cos θ=,则sin 2θ=(　　) A. B. C. D. 因为θ∈,cos θ=,所以sin θ==,则sin 2θ=2sin θcos θ =2××=. 解析 3.已知α为锐角,且tan α+tan=1,则=(　　) A. B.-3 C.-2 D. 因为α为锐角,则tan α>0,则tan α+tan=tan α+=tan α +=1,整理可得tan2α-3tan α=0,解得tan α=3,所以= =====-2. 解析 4.若α为锐角,且sin α(tan 50°-1)=1,则α=(　　) A.10° B.20° C.70° D.80° 由sin α==== ====cos 20°,又α为锐角,所以α=70°. 解析 5.sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°=(　　) A. B. C. D.1 因为sin 105°=sin(90°+15°)=cos 15°,sin 135°=sin(180°-45°) =sin 45°,所以sin 15°cos 45°+sin 105°sin 135°=sin 15°cos 45° +cos 15°sin 45°=sin(15°+45°)=sin 60°=. 解析 6.(2026·石家庄模拟)已知α∈,且cos=2cos 2α,则tan=(　　) A.B. C. D. 因为cos=2cos 2α,所以(cos α+sin α)=2(cos2α-sin2α)=2(cos α +sin α)(cos α-sin α),因为α∈,所以cos α+sin α>0,所以cos α-sin α 解析 =,即=,所以cos=,因为α∈ ,所以α+∈,所以sin== =,所以tan==,故选D. 解析 二、多项选择题 7.(2026·中山模拟)下列选项中,与sin的值相等的是(　　) A.2sin 15°cos 15° B.cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42° C.2cos215°-1 D. 根据题意,可得sin=sin=sin=.因为2sin 15°cos 15° =sin 30°=,故A项正确;因为cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°= cos(18°+42°)=cos 60°=,故B项正确;因为2cos215°-1=cos 30°= ,故C项不正确;因为=tan 45°=1,所以=,故D项正确.故选ABD. 解析 8.(2026·济南质检)已知cos(α+β)=-,cos 2α=-,其中α,β为锐角,以下判断正确的是(　　) A.sin 2α= B.cos(α-β)= C.cos αcos β= D.tan αtan β= 由题意,易得α+β∈,2α∈,所以sin 2α==,故A正确;sin(α+β)==,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β)=×+×= ,故B错误;cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=× 解析 ,故C正确;sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]=×= ,所以tan αtan β==,故D错误.故选AC. 解析 三、填空题 9.化简:=　　　　.  原式==sin x= sin x=sin x==tan x. 解析 tan x 10.已知cos2=,则sin 2α=　　　　.  解法一:因为cos2=,所以sin 2α=cos=cos=2cos2-1=2×-1=. 解法二:由已知得=,即=,所以sin 2α=. 解析 11.已知α为锐角,且sin α+sin+sin=,则α=　　　　.  因为sin=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,sin= sin αcos+cos αsin=-sin α+cos α,又sin α+sin+sin=,所以sin α+cos α=,所以sin α+cos α=,即sin=,因为0<α<,所以<α+<,所以α+=,所以α=. 解析 四、解答题 12.(2026·吉林模拟)已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α+β)=. (1)求cos 2α的值; (1)因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-. 解 (2)求cos β的值. (2)因为α∈,β∈(0,π),sin α=>sin(α+β)>0,所以α+β∈,则cos(α+β)=-=-,所以cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-,即cos β=-. 解 13.已知函数f(x)=2sin xcos x-1+2sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; (1)f(x)=2sin xcos x-1+2sin2x=sin 2x-cos 2x=2sin,所以最小正周期为T==π.解不等式2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),因此,函数y=f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 解 (2)当x∈时,求函数f(x)的最值及取得最值时自变量x的值. (2)当x∈时, 2x-∈,当2x-=-,x=0时,f(x)min= 2sin=-1,当2x-=,x=时,f(x)max=2sin=2. 解 14.已知函数f(x)=cos 2x+cos 3x,x∈(0,π),若f(x)有两个零点x1,x2(x1<x2),则(　　) A.∈{x1,x2} B.x2=2x1 C.cos x1+cos x2= D.cos x1cos x2= 素养提升 A,B选项,令f(x)=0得cos 2x=-cos 3x,故cos 2x=cos(π-3x)或cos 2x= cos(π+3x),所以2x=π-3x+2k1π,k1∈Z或2x=π+3x+2k2π,k2∈Z,解得x=+ 解析 ,k1∈Z或x=-π-2k2π,k2∈Z,由x∈(0,π),故当k1=0,1时,解得x1=, x2=,A,B错误;C选项,cos x1+cos x2=cos+cos=2coscos= ===,C正确;D选项,因为cos>0,cos< 0,所以cos x1cos x2=coscos<0,D错误. 解析 15.(2026·莆田模拟)每个正五角星的一个内角都是36°,利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α=sin(2α+α)可求得sin 3α=　　　　　　　　　(用单角α的正弦值表示);再求得cos 36°= 　　　　.  3sin α-4sin3α sin 3α=sin(2α+α)=sin 2αcos α+cos 2αsin α=2sin αcos2α+(1-2sin2α)sin α= 2sin α(1-sin2α)+(1-2sin2α)sin α=3sin α-4sin3α.因为sin 72°=sin 108°,从而2sin 36°cos 36°=3sin 36°-4sin336°,即2cos 36°=3-4sin236°=3-4(1-cos236°),令cos 36°=x>0,则4x2-2x-1=0,解得x=或x= (舍去). 解析 16.已知向量a=(2sin x,cos x),b=(cos x,2cos x),f(x)=a·b. (1)若f(x)=2,求x的值; (1)因为a=(2sin x,cos x),b=(cos x,2cos x),则f(x)=a·b=2sin xcos x +2cos2x=sin 2x+cos 2x+1=sin+1.若f(x)=sin +1=2,则sin=,可得2x+=+2kπ,k∈Z或2x+=+ 2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z.所以x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z. 解 (2)求函数y=f(x),x∈[0,π]的单调递增区间. (2)因为f(x)=sin+1,令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,可知函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.因为x∈[0,π],所以令k=0时,-≤x≤;令k=1时, ≤x≤;所以函数y=f(x)在x∈[0,π]上的单调递增区间为. 解 $