2026年内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校中考前模拟预测数学试题

**基本信息** 立足中考三模需求，融合碳达峰、机器人、无人机等科技与社会热点，通过“鹊桥”函数、三角板摆放等创新设计，全面考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|数与式、图形对称、平行线性质|以碳达峰数据考科学记数法，凸透镜折射结合几何计算| |填空题|4/12|代数式意义、概率、平行四边形性质|动车座位分配概率，反比例函数与几何综合| |解答题|6/64|统计图表、方程应用、函数建模、几何证明|无人机轨迹抛物线建模，机器人采购方案优化，平行四边形翻折综合证明|

2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.下列各数中，最小的数是( A.-2025 B.-2025 C. D.-(-2025) 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 米 3.下列运算正确的是( A.3a-a=2 B.(a+3)2=a2+9 C.a5÷a3=a2 D.(a)2=a 4.如图，已知直线mm,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中 斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为( A.50° B.55° C.60° D.65 第1页，共8页 5.为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生 能源发挥了重要作用.根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季 度全国风电、太阳能发电量合计达1.73万亿千瓦时，同比增长28.3%，在全社会用电量 中占比达到22%.数据1.73万亿用科学记数法表示为( A.1.73×104 B.17.3×1011C.1.73×1012 D.1.73×1013 6如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心0的光线相交 于点P,点F为焦点.若∠1=159°，则∠2=22°，则∠3的度数为( 3 A.43° B.45 C.51° D.53° 7.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的 E 是( ) B A.图中有3个30°角 B.DH=V2BH C.△CIH是等腰三角形 D.∠EGI+∠GIH+∠BHI=360° 8.我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+c(a≠0，b2-4ac> 0)的函数叫做鹊桥函数.小丽同学画出了鹊桥”函数y=x2一 2x-3的图象（如图所示），下列结论错误的是( ) A.图象具有对称性，对称轴是直线x=1 B.当-1<x<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大 C.当x=-1或x=3时，函数最小值是0 D.当x=1时，函数的最大值是4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共14分。 9.若代数式√x-I有意义，则整数x的值可以是 (写一个即可) 第2页，共8页 10.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游.在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如 图)若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率 是 动车二等座某排座位 11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC 于点E,F,一个小球在平行四边形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的概率 是 E D 0 ◇ 12.如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx(m<0)与反比例函数y-k≠O)交于A、B 两点，点C在x轴上，且AC=AO,若SA4Bc=6,则k= 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：-22+(-)1+2sin60°-1-√31： 第3页，共8页 ②先化简，再求值：（后）其中x=万-1. 14.(本小题7分) 深圳教育秉承以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展每周半天” 计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科 技示范园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样 问卷调查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘 制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图. 人数 20 18 A D 12% 16H 12 10 B 8 6 32% B CD场馆 根据图中所给信息解答下列问题： (1)此次抽样调查共有 人： (2)补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为 (3)若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少 人； (4)该学校八年级(1)班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方 法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率. 第4页，共8页 15.(本小题8分)综合与实践 2026年央视春晚节目《武B0T》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市 科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技G02四足机器人与G1人形机器人用于科普展 示根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材购买6台Go2四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元：5台G1人形机器 1 人的售价比11台Go2四足机器人贵23万元. 素材每台Go2四足机器人每日可服务观众150人次：每台G1人形机器人每日可服务 观众280人次. 素材 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元. 3 问题解决 任务确定机器人 求每台G02四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万 单价 元？ 任务拟定采购方 采购G02四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人 案 次最多？最多为多少？ 第5页，共8页 16.(本小题12分) 如图，⊙O是△ABD的外接圆，DA=DB, (I)尺规作图：作出点C使得四边形ABCD是平行四边形： (2)求证：CD是⊙O的切线； (3)CB与⊙O交于点E,若CE=4,AD=9,求⊙0的半径. D D 0。 y 0。 B B (备用图) 第6页，共8页 17.(本小题12分)问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需 要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）. 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线C的一部分，飞行轨迹最高点距地 面3m,起飞点O和降落点E(都在水平地面上)的距离为8m,以0为原点，OE所在直线为x 轴，过点O多少与水平地面垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， (1)求抛物线C的关系式： 【问题解决】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于 0.15,才能安全通过.如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形 ABDE,其中AB=2.85m,AE=2m,DE=2.4m,∠BAE=∠DEA=90°.无人机乙原计划 从距离AB左侧4的点N(2,0)处起飞（其飞行轨迹抛物线C与抛物线C的形状和最高点距地 面的高度均相同)，发现不能安全越过障碍物若该公司人员在起飞点W处放置一个平台， 无人机乙从平台上的点M(MN1x轴)处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞 行轨迹记为抛物线C". ①求该平台的高度MN; ②求当2≤x≤8时，在平台点M处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在 x相同时的最大高度差， 第7页，共8页 18.(本小题13分) 如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△DCE沿DE翻折得到△DFE,点C的对称点F落 在口ABCD内，延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H,延长EF交AB边于点 M. (1)如图1，当点E在BC中点处时，求证：△EFH≌△EBM; (2)在(1)的条件下，若BG=6,MG=10,求DC的长： (3)如图2，当BE=2CB时，点H在BC边上若-直接写甜缆的值. B H E H B E 图1 图2 第8页，共8页2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数学学科全解全析 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.下列各数中，最小的数是() A.-2025 B.-2025 C. D.-(-2025) 【答案】A 【解析】解：-2025=2025，-(-2025)=2025， -2025<点<2025， ÷2025<4<1-20251=-(-2025, ÷最小的数是：-2025. 故选：A. 利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大.2、正数 都大于零，负数都小于零，正数大于负数.3、两个正数比较大小，绝对值大的数大：两个负 数比较大小，绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可. 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正 数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关 键 第1页，共21页 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ⊙米) 【答案】B 【解析】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意： B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确，符合题意： C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意： D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B 根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可. 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知把一个图形绕某一点旋转180°，如 果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键. 3.下列运算正确的是() A.3a-a=2 B.(a+3)2=a2+9 C.a5÷a3=a2 D.(a3)2=a3 【答案】C 【解析】解：3a-a=2a,则A不符合题意， (a+3)2=a+6a+9,则B不符合题意， a5÷a3=a,则C符合题意， (a)2=a,则D不符合题意， 故选：C 利用完全平方公式，同底数幂除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则逐项判断即可· 本题考查完全平方公式，同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是 解题的关键， 第2页，共21页 4.如图，已知直线m/h,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图 所示的方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则 L2的度数为() D A.50° B.55° C.60° D.65 【答案】B 【解析】解：设AB与直线n交于点E, 则∠AED=∠1+∠B=25°+30°=55°. 又直线m/hm, ∠2=∠AED=55°. m B 故选：B 先求出∠AED=∠1+∠B=25°+30°=55°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=55°. 本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和 三角形的外角性质。 5.为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源 发挥了重要作用.根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季度全国风 电、太阳能发电量合计达1.73万亿千瓦时，同比增长28.3%，在全社会用电量中占比达到 22%.数据1.73万亿用科学记数法表示为() A.1.73×104 B.17.3×1011 C.1.73×1012 D.1.73×1013 【答案】C 【解析】解：根据科学记数法的表示形式可知：1万亿=1×1012，将原数转化为a×10形式 时，可得a=1.73, n=12,即1.73万亿=1.73×1012 第3页，共21页 故选：C 根据科学记数法的表示形式解答即可. 本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键， 6如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于 点P,点F为焦点若∠1=159°，则∠2=22°，则∠3的度数为() A.43° B.45° C.51° D.53° 【答案】A 【解析】解：：光线平行于主光轴， ∠1+∠PF0=180°， :∠1=159°， ∠PF0=21, '∠P0F=∠2=22°， .∠3=∠POF+∠PF0=43°. 故选：A. 由平行线的性质推出∠1+∠PF0=180°，求出∠PFO=21°，由对顶角的性质得到∠POF=∠2= 22°，由三角形的外角性质即可求出∠3的度数. 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠1+∠PFo=180°. 7.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是() A.图中有3个30°角 B B.DH=2BH C.△CIH是等腰三角形 D.∠EGI+∠GIH+∠BHI=360° 【答案】C 【解析】解：A、由题意可知：∠C=30°，∠ABC=∠AEG=90°， ·EG/BC, ∴∠AGE=∠C=30°，∠FGC=∠C=30°， 第4页，共21页 则图中有3个30°角，故本选项结论正确，不符合题意： B、在Rt△DBH中，∠D=45°， 则BD=BH, 由勾股定理得：DH=√2BH,故本选项结论正确，不符合题意； C、∠HC=45°，∠C=30°， ∠HIC=105°， “△CIH不是等腰三角形，故本选项结论错误，符合题意； D、五边形BHIGE的内角和为：(5-2)×180°=540°，∠ABC=∠DEG=90°， ∠EGI+∠GIH+∠BHI=360°，故本选项结论正确，不符合题意： 故选：C 根据平行线的性质得到∠AGE=∠C=30°，∠FGC=∠C=30°，判断A选项：根据等腰直角三 角形的性质、勾股定理计算，判断B选项：根据等腰三角形的概念判断C选项；根据五边形 内角和计算，判断D选项 本题考查的是勾股定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性 质是解题的关键， 8.我们定义一种新函数：形如y=lax2+bx+cl(a≠0，b2-4ac>0)的 函数叫做鹊桥”函数.小丽同学画出了鹊桥”函数y=x2-2x-3引的 图象（如图所示），下列结论错误的是() A.图象具有对称性，对称轴是直线x=1 B.当-1<x<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大 C.当x=-1或x=3时，函数最小值是0 D.当x=1时，函数的最大值是4 【答案】D 【解析】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x一兰=一忌-1，故A正 确，不符合题意； 令x2-2x-3引=0可得x2-2x-3=0, (x+1)x-3)=0, 六x1=-1,X2=3, ·(-1,0)和(3,0)是函数图象与x轴的交点坐标， 第5页，共21页 又对称轴是直线x=1, “当-1<x<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意： 由图象可知(-1,0)和(3,0)是函数图象的最低点，则当x=-1或x=3时，函数最小值是0， 故C正确，不符合题意： 由图象可知，当x<-1时，函数值随x的减小而增大，当x>3时，函数值随x的增大而增 大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x=1时的函数值4并非最大值，故D错误，符合 题意， 故选：D 观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即 可 本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的 关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.若代数式x-1有意义，则整数x的值可以是.（写一个即可） 【答案】2（答案不唯一）. 【解析】解：由题可知， x-1≥0， 解得x≥1， 则x的值可以是2. 故答案为：2（答案不唯一） 根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可. 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键 10.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游.在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）.若 此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是· 动车二等座某排座位 线 户 第6页，共21页 【答案】 【解析】解：列表如下， A B D F A,BA,DA,F BB,A B,DB,F 为 DD,AD, D,F FF,AF,BF,D 共有12种等可能结果，其中小芳和爷爷相邻而坐的有4种， 小芳和爷爷相邻而坐的概率是酷 故答案为： 根据题意，根据列表法求概率即可求解 本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键. 11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直 线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F,一个小球在平行四边 形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的概率是· 【答案】} B 【解析】解：~四边形ABCD是平行四边形， .OA=OC,OB=OD,AD//BC, A∠ED0=∠FBO,S△AD0=SACD0=S△BOC=S△AB0=S平行四边形ABCD' '∠EOD=∠FOB, ·.△EOD≌△FOB(ASA), SAEOD=SAFOB' 六S阴影=S△AOE+S△FOB=S△AOE+SAEOD=S△AOD=S平行四边形ABCD 它落在阴影部分的概率是 故答案为：寻 由平行四边形性质可得OA=OC,OB=OD,ADBC,则有LEDO=∠FBO,S△ADo= 第7页，共21页 S△cD0=S△BOC=S△AB0=S平行四边形ABcD'然后证明△EOD≌△FOB(ASA),则有SAEOD= SAFOB,故S阴影=SAAOE+SAFOB=SAAOE十SAEOD=SAAOD=S平行四边形ABCD' 然后用概率即 可求解 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知 识，掌握知识点的应用是解题的关键 12.如图，在平面直角坐标系中，函数y=mx(m<0)与反比例函数y=(k≠0)交于A、B两 点，点C在x轴上，且AC=AO,若SAABC=6,则k=一· 【答案】-3 【解析】解：作AM⊥CO于M,如图： 由条件可知OA=OB, S△ABC=6, ·S△AoC=S△Boc=3, AC=AO, .CM=OM, SAANOSANCO ·k=2S△AM0=3, 反比例函数图象在第二象限， k=-3. 故答案为：-3. 根据反比例函数k的几何意义解答即可. 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键 第8页，共21页 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：-22+(-)1+2sim60°-1-√3 （②先化简，再求值：（片-）其中x=V厅-1. 解：(1)-22+(-)厂1+2sin60°-1-√3 =4-3+2x95-) V3 =-7+√3-√3+1 =-6: x2-1 e》2x =X-&-1) (x-1)2 x-1(x+1)x-1) 1x-1 三 X-1x+1 当x=√2-1时，原式-万-号 1= 【解析】（①）先根据负整数指数幂，绝对值的性质分别计算出各数，再算加减即可： (2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可. 本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知分 式混合运算的法则是解题关键. 第9页，共21页 14.(本小题7分) 深圳教育秉承以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展每周半天”计划 活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范 园、C深圳湾实验室、D深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调 查，每个同学仅能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不 完整的条形统计图和扇形统计图 个人数 20H 18 A D 16 12 10 B 8 32% A B C D 场馆 根据图中所给信息解答下列问题： (1)此次抽样调查共有 人： (2)补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为 (3)若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少 人； (4)该学校八年级(1)班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求 恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率， 解：(1)由题意得，此次抽样调查共有6÷12%=50（人） 故答案为：50. (2)选择B的人数为50×32%=16（人）. 补全条形统计图如图所示。 个人数 20 18 16 12 8 6 CD场馆 选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为360°×0 0=72°. 第10页，共21页 故答案为：72 (3)1000×32%=320(人). 答：估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的约有320人 (4)列表如下： B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 共有12种等可能的结果，其中恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的结果有：(C,D), (①，C),共2种， 恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率为后一。 (1)用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得答案. (2)求出选择B的人数，补全条形统计图即可；用360°乘以D的人数所占的百分比，即可得出 答案. (3)根据用样本估计总体，用1000乘以扇形统计图中B的百分比，即可得出答案. (4)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的结果数，再 利用概率公式可得出答案 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计 图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键】 第11页，共21页 15.(本小题10分)综合与实践 2026年央视春晚节目《武BOT》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科 技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示根 据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材购买6台Go2四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元：5台G1人形机器人 的售价比11台Go2四足机器人贵23万元. 素材侮台Go2四足机器人每日可服务观众150人次；每台G1人形机器人每日可服务观 众280人次， 素材 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元. 3 问题解决 任务确定机器人 求每台Go2四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万 1 单价 元？ 任务拟定采购方 采购Go2四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次 2 案 最多？最多为多少？ 解：任务1：设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元， 根据题意得： 6x+5y=57 5y-11x=23' 解得： ∫X=2 y=9' 答：每台Go2四足机器人售价为2万元，每台G1人形机器人售价为9万元： 任务2：设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人(12-a)台， 根据题意得：2a+9(12-a)≤73， 解得：a≥5， 5≤a≤12， 设每日总服务人次为w人次， 根据题意得：w=150a+280(12-a)=-130a+3360, -130<0, ·w随a的增大而减小， 第12页，共21页 当a取最小值5时，w有最大值，wmx=-130×5+3360=2710, 此时12-a=7: 答：采购Go2四足机器人5台、G1人形机器7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人 次 任务1：设每台Go2四足机器人售价为x万元，每台G1人形机器人售价为y万元，根据购买 6台Go2四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元：5台G1人形机器人的售价比11台 G02四足机器人贵23万元：列出二元一次方程组，解方程组即可： 任务2：设采购Go2四足机器人a台，则采购G1人形机器人(12-)台，根据采购总预算不 超过73万元，列出一元一次不等式，解得a≥5，则5≤a≤12，再设每日总服务人次为w 次，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论， 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关 键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组：(2)找准数量关系，正确列出一元一次不 等式和一次函数关系式 16.(本小题12分) 如图，⊙O是△ABD的外接圆，DA=DB, (I)尺规作图：作出点C使得四边形ABCD是平行四边形： (2)求证：CD是⊙O的切线； (3)CB与⊙O交于点E,若CE=4,AD=9,求⊙O的半径. D D 0。 0。 ⊙ (备用图) (1)解：1.以点B为圆心，AD的长为半径画弧， 2.以点D为圆心，AB的长为半径画弧，与前弧交于点C, 3.连接BC,CD,如图， 第13页，共21页 A 0。 B 则四边形ABCD为所求作的平行四边形. (2)证明：连接DO,并延长交AB于点E,如图， D 0。 B 由作图知：BC=AD,DC=AB, 四边形ABCD为平行四边形， ..AB//CD, DA=DB, ..DA =DB, .DE 1 AB, .OD 1 CD, OD为圆的半径， CD是⊙O的切线： (3)解：连接DO,并延长交AB于点F,连接DE,OB,如图， D 0 B :四边形ABCD为平行四边形， 第14页，共21页 AD=BC=9,∠A=∠C, :四边形ABED为圆的内接四边形， ·.∠DEC=∠A, ∠DEC=∠C, DA=DB, ·DB=BC, ·∠C=LBDC, ∴∠BDC=∠DEC, LC=LC, ∴△DEC∽△BDC, DC _BC DC' .DC2=CE.BC=4×9=36, ∴CD=6, .AB=CD=6, DA=DB, ..DA =DB, ·DF 1 AB, AF=FB=AB=3, DF=VAD2-AF2=6V2, 设⊙O的半径为I,则OF=DF-OD=6√2-r, OF2 +BF2 =OB2, (6√2-)2+32=12， “r=27 8 ⊙0的半径为=27厘 8 (1)利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形的性质解答即可： (2)连接DO,并延长交AB于点E,利用平行四边形的性质得到AB/CD,利用垂径定理得 到DE1AB,利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论： 第15页，共21页 (3)连接DO,并延长交AB于点F,连接DE,OB,利用平行四边形的性质，等腰三角形的性 质得到∠BDC=∠DEC,利用相似三角形的判定与性质求得线段DC,则AB=CD=6,利用 等腰三角形的性质和勾股定理求得DF,设⊙O的半径为1，则OF=6v2-,利用勾股定理 列方程解答即可得出结论 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，尺规作图，圆的有关性质，圆周角 定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，连 接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线 17.(本小题12分) 问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用 电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）· 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线C的一部分，飞行轨迹最高点距地面3， 起飞点O和降落点E(都在水平地面上)的距离为8，以O为原点，OE所在直线为x轴，过 点O多少与水平地面垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求抛物线C的关系式： 【问题解决】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于0.15m, 才能安全通过.如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形ABDE,其中 AB=2.85m,AE=2m,DE=2.4m,∠BAE=∠DEA=90°.无人机乙原计划从距离AB左侧 4m的点N(2,0)处起飞（其飞行轨迹抛物线C'与抛物线C的形状和最高点距地面的高度均相 同)，发现不能安全越过障碍物若该公司人员在起飞点N处放置一个平台，无人机乙从平台 上的点M(MN1x轴)处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线 C" ①求该平台的高度MN; ②求当2≤x≤8时，在平台点M处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在x 相同时的最大高度差， 第16页，共21页 B 【解析】解：(1)根据题意得：抛物线C的顶点坐标为(4,3)， 可设抛物线C的关系式为y=a(x-4)+3, 将点(0,0)代入，得：0=a(0-4)2+3, 解得：a=-6 抛物线C的关系式为y=-x-4少+3： (2)0根据题意可设抛物线C的关系式为y=-《-4-2少+3+五一x-6+3+h, .OE =8m,AE=2m,AB=2.85m, .OA=OE-AE=6m,B(6,2.85), ∴此时点B正好在抛物线C'最高点的下方，与最高点的距离超过0.15m, 由题意可知：点D的坐标为(8,2.4)，2.4+0.15=2.55， :无人机乙从平台上的点M处起飞后刚好安全通过障碍物，(8,2.55)恰好在抛物线C上，将点 (8,25)代入y=-c-可+3+h得：255=8-2+3+h, 解得h=0.3, 即该平台的高度MN为0.3m; ②由①得抛物线C的关系式为y=。c-可+33， 当-x-62+33=--4+3时， 解得x号 结合图象可得， 当2≤x<时，在x=2时，有最大高度差，此时高度差为器 当<x≤8时，在x=8时，有最大高度差，高度差为品 第17页，共21页 最大高度差为品 (1)根据题意可设抛物线C的关系式为y=(x-4)2+3,然后根据待定系数法进行求解即可； (2②①根据题意可设抛物线C的关系式为y-区-2+3+h,B(6,285),然后可把(8,25) 代入抛物线C的关系式为y=一x-)+3+h进行求解即可： ②①得抛物线C的关系式为y=-区-6+33，当-《-6驴+33=-区-4少+3 时，则有x=号，然后结合图象可进行求解。 本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握其相关知识点是解题的关键， 18.(本小题13分) 如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△DCE沿DE翻折得到△DFE,点C的对称点F 落在口ABCD内，延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H,延长EF交AB 边于点M. (I)如图1，当点E在BC中点处时，求证：△EFH≌△EBM; (2)在(1)的条件下，若BG=6,MG=10,求DC的长： (3)如图2，当BE=2CE时，点H在Bc边上若畿号直接写出票的值. AD B H B E 图1 图2 【解析】(1)证明：~四边形ABCD是平行四边形， AB/DC,∠ABC+∠C=180°， 将△DCE沿DE翻折得到△DFE, ∴C=∠DFE,CE=FE, :∠DFE+∠EFM=180°， ·∠ABC=∠EFH,即∠EBM=∠EFH, :点E是BC中点， ·BE=CE, 第18页，共21页 .BE=FE, :H在BC延长线上，M、F、E共线， ·.∠MEB=∠FEH, 在△EFH和△EBM中：∠EFH=∠EBM,FE=BE,∠FEH=∠BEM, .△EFH≌△EBM(ASA) (2)解：由(1)知△EFH≌△EBM, ∴FH=BM,EH=EM,∠EHF=∠EMB, :∠EHF=∠BHG,∠EMB=∠HMG, ·∠BHG=∠HMG,即∠MHG=∠HMG, .MG=HG=10, ·BG=FG=6, :延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H, D、F、G、H四点共线， AB//DC, △HGB∽△HDC, BG HG DC HD' 6 10 D0=10+6+DC DC=24. (3)解：设AM=3x,BM=2x,则AB=5x, .DC=AB=5x, 设EC=y,BE=2y,则BC=3y, .AD=BC=3y, 延长ME交DC延长线于点P, M F B 、 第19页，共21页 AB//DC, ∴∠BME=∠CPE, 又：∠MEB=∠PEC, △MEB∽△PEC, ÷9=驱-Y=2, PC CE y 小总=2 .PC=x, .DP=DC+CP=5x+x=6x, :将△DCE沿DE翻折得到△DFE, ∴LCDE=∠FDE,∠DEC=∠DEF, D、F、H共线，M、F、E共线， ·∠FDE=∠HDE,∠DEF=∠DEM, ·∠CDE=∠HDE,∠DEC=∠DEM, :H、E、C共线，P、E、M共线， ·.∠DEH=180°-∠DEC,∠DEP=180°-∠DEM, ∠DEH=∠DEP, 在△DEH和△DEP中：∠HDE=∠PDE,DE=DE,∠DEH=∠DEP, ∴△DEH≌△DEP(ASA), .DH=DP=6x, :DE平分∠HDC, “点E到DH和DC的距离相等， 腮经9 8AD型= S△DEC 又：△DEH和△DEC以HE、EC为底时，高相同， 片SADEH=亚 SADEC EC' HE 6 *HE-SEC-y, 第20页，共21页 (1)利用平行四边形性质和翻折性质，通过ASA证明三角形全等. (2)先由全等结论和对顶角证明△MHG为等腰三角形得到HG=MG=10,FG=BG=6,最 后利用相似三角形求出DC: (3)利用相似三角形求出CP,再证明△DEH≌△DEP得到DH=DP,最后利用角平分线性质 和面积比求出HE与AD的比值. 本题主要考查了平行四边形性质，翻折性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，面 积比等，掌握其相关知识点是解题的关键. 第21页，共21页 2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，最小的数是(     ) A. B. C. D. 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 5.为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要作用根据国家能源局年第四季度新闻发布会信息，年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达万亿千瓦时，同比增长，在全社会用电量中占比达到数据“万亿”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点若，则，则的度数为(     ) A. B. C. D. 7.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是(     ) A. 图中有个角 B. C. 是等腰三角形 D. 8.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论错误的是(     ) A. 图象具有对称性，对称轴是直线 B. 当或时，函数值随值的增大而增大 C. 当或时，函数最小值是 D. 当时，函数的最大值是 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.若代数式有意义，则整数的值可以是         写一个即可 10.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座如图若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是         ． 11.如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是         ． 12.如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则         ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； (2) 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分 深圳教育秉承“以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展“每周半天”计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：光明欢乐田园、航天农业科技示范园、深圳湾实验室、深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： 此次抽样调查共有______人； 补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为______； 若该校八年级有名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人； 该学校八年级班想从上面个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率． 15.本小题分综合与实践 年央视春晚节目武中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元；台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材 每台四足机器人每日可服务观众人次；每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． 问题解决 任务 确定机器人单价 求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ 任务 拟定采购方案 采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 16. 本小题分 如图，是的外接圆，． 尺规作图：作出点使得四边形是平行四边形； 求证：是的切线； 与交于点，若，，求的半径． 17.本小题分问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线下列出现的无人机只向右飞行． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点都在水平地面上的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点多少与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 求抛物线的关系式； 【问题解决】 无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同，发现不能安全越过障碍物若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点轴处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． 求该平台的高度； 求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差． 18.本小题分 如图，在▱中，点在边上，将沿翻折得到，点的对称点落在▱内，延长交所在直线于点，交所在直线于点，延长交边于点． 如图，当点在中点处时，求证：≌； 在的条件下，若，，求的长； 如图，当时，点在边上若，直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数学学科 考试时长：90分钟满分：100分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.下列各数中，最小的数是( A.-2025 B.|-2025 C.1 D.-(-2025) 2025 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 米) 3.下列运算正确的是( A.3a-a=2 B.(a+3)2=a2+9 C.a5÷a3=a2 D.(a3)2=a3 4.如图，已知直线mm,将一块含30°角的直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其中斜边 BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为( ) A.50° B.55 C.60° D.65 第1页 5.为实现我国2030年前碳达峰、2060年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥 了重要作用.根据国家能源局2025年第四季度新闻发布会信息，2025年前三季度全国风电、太阳 能发电量合计达1.73万亿千瓦时，同比增长28.3%，在全社会用电量中占比达到22%.数据1.73 万亿”用科学记数法表示为( A.1.73×104 B.17.3×1011 C.1.73×1012D.1.73×1013 6如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心O的光线相交于点 P,点F为焦点.若∠1=159°，则∠2=22°，则∠3的度数为( P人3 A.43° B.45 C.51° D.53° 7.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是 ) B A.图中有3个30°角 B.DH=√2BH C.△CIH是等腰三角形 D.∠EGI+∠GIH+∠BHI=360° 8.我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c(a≠0，b2-4ac>0)的函数叫 做鹊桥”函数.小丽同学画出了鹊桥”函数y=x2一2x一3的图象（如图所 示)，下列结论错误的是( ) A.图象具有对称性，对称轴是直线x=1 B.当-1<x<1或x>3时，函数值y随x值的增大而增大 C.当x=-1或x=3时，函数最小值是0 D.当x=1时，函数的最大值是4 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.若代数式Vx-1有意义，则整数x的值可以是 .(写一个即可) 共4页 10.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游.在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座（如图）.若此时 C座己售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是 动车二等座某排座位 11.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于 点E,F,一个小球在平行四边形ABCD内自由滚动，它落在阴影部分的概率 是 E D 12.如图，在平面直角坐标系中，函数y=mxm<0)与反比例函数y=上k≠0)交于A、B两点，点 C在x轴上，且AC=AO,若S△ABc=6,则k= 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分) (1)计算：-22+(-)1+2sim60°-1-V3: ②)先化简，再求值：（后-）其中x=万-1 第2页， 14.(本小题7分) 深圳教育秉承以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展每周半天计划活 动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：A光明欢乐田园、B航天农业科技示范园、C深 圳湾实验室、D深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅 能从上面4个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和 扇形统计图. ↑人数 20叶 18 A 12% 16 D 12 10 0 8 6 32% 0 A B 场馆 根据图中所给信息解答下列问题： (1)此次抽样调查共有 人： (②)补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为 (3)若该校八年级有1000名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人： (4该学校八年级(1)班想从上面4个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好 选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率. 共4页 15.(本小题8分)综合与实践 2026年央视春晚节目《武B0T》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为 普及科技文化，计划采购宇树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素 材，完成任务： 字树科技机器人采购方案设计 素材购买6台Go2四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元：5台G1人形机器人的售 价比11台Go2四足机器人贵23万元. 素材每台Go2四足机器人每日可服务观众150人次；每台G1人形机器人每日可服务观众 280人次。 素材 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元. 问题解决 任务确定机器人 求每台G02四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元？ 1 单价 任务拟定采购方 采购Go2四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最 2 案 多？最多为多少？ 第3页， 16.(本小题12分) 如图，⊙O是△ABD的外接圆，DA=DB, (I)尺规作图：作出点C使得四边形ABCD是平行四边形： (2)求证：CD是⊙O的切线： (3)CB与⊙O交于点E,若CE=4,AD=9,求⊙O的半径. D D 0. 0。 B B (备用图) 共4页 17.(本小题12分)问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑 软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行） 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线C的一部分，飞行轨迹最高点距地面3，起飞点 O和降落点E(都在水平地面上)的距离为8，以O为原点，OE所在直线为x轴，过点O多少与 水平地面垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求抛物线C的关系式： 【问题解决】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于0.15m,才能 安全通过.如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形ABDE,其中AB= 2.85m,AE=2m,DE=2.4m,∠BAE=∠DEA=90°.无人机乙原计划从距离AB左侧4m的点 N(2,0)处起飞（其飞行轨迹抛物线C与抛物线C的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安 全越过障碍物若该公司人员在起飞点N处放置一个平台，无人机乙从平台上的点MMN1x轴) 处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线C" ①求该平台的高度MN; ②求当2≤x≤8时，在平台点M处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在x相同 时的最大高度差. C C 0 第4页， 18.(本小题13分) 如图，在口ABCD中，点E在BC边上，将△DCE沿DE翻折得到△DFE,点C的对称点F落在 口ABCD内，延长DF交AB所在直线于点G,交BC所在直线于点H,延长EF交AB边于点 M. (I)如图1，当点E在BC中点处时，求证：△EFH≌△EBM; (2)在(1)的条件下，若BG=6,MG=10,求DC的长： (3)如图2，当E=2CE时，点H在BC边上若能-}直接写需的值. /H E H B E 图1 图2 共4页 2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，最小的数是(     ) A. B. C. D. 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(     ) A. B. C. D. 3.下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 4.如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 5.为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要作用根据国家能源局年第四季度新闻发布会信息，年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达万亿千瓦时，同比增长，在全社会用电量中占比达到数据“万亿”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点若，则，则的度数为(     ) A. B. C. D. 7.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是(     ) A. 图中有个角 B. C. 是等腰三角形 D. 8.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论错误的是(     ) A. 图象具有对称性，对称轴是直线 B. 当或时，函数值随值的增大而增大 C. 当或时，函数最小值是 D. 当时，函数的最大值是 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.若代数式有意义，则整数的值可以是         写一个即可 10.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座如图若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是         ． 11.如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是         ． 12.如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则         ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分 深圳教育秉承“以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展“每周半天”计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：光明欢乐田园、航天农业科技示范园、深圳湾实验室、深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： 此次抽样调查共有______人； 补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为______； 若该校八年级有名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人； 该学校八年级班想从上面个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率． 15.本小题分综合与实践 年央视春晚节目武中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元；台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材 每台四足机器人每日可服务观众人次；每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． 问题解决 任务 确定机器人单价 求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ 任务 拟定采购方案 采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 16. 本小题分 如图，是的外接圆，． 尺规作图：作出点使得四边形是平行四边形； 求证：是的切线； 与交于点，若，，求的半径． 17.本小题分问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线下列出现的无人机只向右飞行． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点都在水平地面上的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点多少与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 求抛物线的关系式； 【问题解决】 无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同，发现不能安全越过障碍物若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点轴处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． 求该平台的高度； 求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差． 18.本小题分 如图，在▱中，点在边上，将沿翻折得到，点的对称点落在▱内，延长交所在直线于点，交所在直线于点，延长交边于点． 如图，当点在中点处时，求证：≌； 在的条件下，若，，求的长； 如图，当时，点在边上若，直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试第三次模拟试卷 数学学科全解全析 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中，最小的数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：，， ， ， 最小的数是：． 故选：． 利用有理数大小的比较方法：、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，正确，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟知 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键． 3.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，则不符合题意， ，则不符合题意， ，则符合题意， ，则不符合题意， 故选：． 利用完全平方公式，同底数幂除法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则逐项判断即可． 本题考查完全平方公式，同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4.如图，已知直线，将一块含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中斜边与直线交于点若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设与直线交于点， 则． 又直线， ． 故选：． 先求出，再根据平行线的性质可知． 本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质． 5.为实现我国年前碳达峰、年前碳中和的目标，全国风电、光伏发电等可再生能源发挥了重要作用根据国家能源局年第四季度新闻发布会信息，年前三季度全国风电、太阳能发电量合计达万亿千瓦时，同比增长，在全社会用电量中占比达到数据“万亿”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据科学记数法的表示形式可知：万亿 ，将原数转化为形式时，可得， ，即万亿． 故选：． 根据科学记数法的表示形式解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键． 6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与经过光心的光线相交于点，点为焦点若，则，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：光线平行于主光轴， ， ， ， ， ． 故选：． 由平行线的性质推出，求出，由对顶角的性质得到，由三角形的外角性质即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出． 7.一副三角板如图方式摆放，不添加任何线，则以下结论错误的是(    ) A. 图中有个角 B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】C  【解析】解：、由题意可知：，， ， ，， 则图中有个角，故本选项结论正确，不符合题意； B、在中，， 则， 由勾股定理得：，故本选项结论正确，不符合题意； C、，， ， 不是等腰三角形，故本选项结论错误，符合题意； D、五边形的内角和为：，， ，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：． 根据平行线的性质得到，，判断选项；根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算，判断选项；根据等腰三角形的概念判断选项；根据五边形内角和计算，判断选项． 本题考查的是勾股定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 8.我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，下列结论错误的是(    ) A. 图象具有对称性，对称轴是直线 B. 当或时，函数值随值的增大而增大 C. 当或时，函数最小值是 D. 当时，函数的最大值是 【答案】D  【解析】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，故A正确，不符合题意； 令可得， ， ，， 和是函数图象与轴的交点坐标， 又对称轴是直线， 当或时，函数值随值的增大而增大，故B正确，不符合题意； 由图象可知和是函数图象的最低点，则当或时，函数最小值是，故C正确，不符合题意； 由图象可知，当时，函数值随的减小而增大，当时，函数值随的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当时的函数值并非最大值，故D错误，符合题意， 故选：． 观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可． 本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.若代数式有意义，则整数的值可以是        写一个即可 【答案】答案不唯一．  【解析】解：由题可知， ， 解得， 则的值可以是． 故答案为：答案不唯一． 根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 10.小芳和爷爷计划乘动车外出旅游在网上购票时，小芳选定的车厢只剩一排有余座如图若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小芳和爷爷相邻而坐的概率是        ． 【答案】  【解析】解：列表如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有种等可能结果，其中小芳和爷爷相邻而坐的有种， 小芳和爷爷相邻而坐的概率是， 故答案为：． 根据题意，根据列表法求概率即可求解． 本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 11.如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是        ． 【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ≌， ， ， 它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明≌，则有，故，然后用概率即可求解． 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 12.如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则        ． 【答案】．  【解析】解：作于，如图： 由条件可知， ， ， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 根据反比例函数的几何意义解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 解： ； ， 当时，原式． 【解析】先根据负整数指数幂，绝对值的性质分别计算出各数，再算加减即可； 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题关键． 14.本小题7分 深圳教育秉承“以万物为教材、把世界作课堂”的核心理念，某校八年级开展“每周半天”计划活动，需从以下四个场馆中随机选择一个开展活动：光明欢乐田园、航天农业科技示范园、深圳湾实验室、深圳市博物馆，现从八年级同学们进行最想去的场馆抽样问卷调查，每个同学仅能从上面个场馆中选择一个，且都选了一个，根据调查结果绘制了下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： 此次抽样调查共有______人； 补全条形统计图，并计算选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为______； 若该校八年级有名学生，估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的有多少人； 该学校八年级班想从上面个场馆中随机选两个参观，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率． 解：由题意得，此次抽样调查共有人． 故答案为：． 选择的人数为人． 补全条形统计图如图所示． 选择深圳市博物馆的同学所在扇形圆心角度数为． 故答案为：． 人． 答：估计该校八年级学生想去航天农业科技示范园的约有人． 列表如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的结果有：，，共种， 恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的概率为． 用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得答案． 求出选择的人数，补全条形统计图即可；用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． 根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择深圳市博物馆和深圳湾实验室的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． 15.本小题10分综合与实践 年央视春晚节目武中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元；台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材 每台四足机器人每日可服务观众人次；每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． 问题解决 任务 确定机器人单价 求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ 任务 拟定采购方案 采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 解：任务：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，  根据题意得：，  解得：，  答：每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元；  任务：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，  根据题意得：，  解得：，  ，  设每日总服务人次为人次，  根据题意得：，  ，  随的增大而减小，  当取最小值时，有最大值，，  此时；  答：采购四足机器人台、人形机器台时，每日总服务人次最多，最多为人次． 任务：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据购买台四足机器人和台人形机器人共需万元；台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元；列出二元一次方程组，解方程组即可；  任务：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据采购总预算不超过万元，列出一元一次不等式，解得，则，再设每日总服务人次为次，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． 16.本小题分 如图，是的外接圆，． 尺规作图：作出点使得四边形是平行四边形； 求证：是的切线； 与交于点，若，，求的半径． 解：以点为圆心，的长为半径画弧， 以点为圆心，的长为半径画弧，与前弧交于点， 连接，，如图， 则四边形为所求作的平行四边形． 证明：连接，并延长交于点，如图， 由作图知：，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 是的切线； 解：连接，并延长交于点，连接，，如图， 四边形为平行四边形， ，， 四边形为圆的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设的半径为，则， ， ， ． 的半径为． 利用两组对边分别相等的四边形为平行四边形的性质解答即可； 连接，并延长交于点，利用平行四边形的性质得到，利用垂径定理得到，利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； 连接，并延长交于点，连接，，利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质求得线段，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列方程解答即可得出结论． 本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质，尺规作图，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 17.本小题2分 问题解决： 【实际情境】 深圳某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线下列出现的无人机只向右飞行． 【数学建模】 无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点都在水平地面上的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点多少与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 求抛物线的关系式； 【问题解决】 无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同，发现不能安全越过障碍物若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点轴处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． 求该平台的高度； 求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差． 【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的关系式为， 将点代入，得：， 解得：， 抛物线的关系式为； 根据题意可设抛物线的关系式为， ，，， ，， 此时点正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过， 由题意可知：点的坐标为，， 无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，恰好在抛物线上，将点代入得：， 解得， 即该平台的高度为； 由得抛物线的关系式为， 当时， 解得， 结合图象可得， 当时，在时，有最大高度差，此时高度差为， 当时，在时，有最大高度差，高度差为， 最大高度差为． 根据题意可设抛物线的关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； 根据题意可设抛物线的关系式为，，然后可把代入抛物线”的关系式为进行求解即可； 由得抛物线的关系式为，当时，则有，然后结合图象可进行求解． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 18.本小题分 如图，在▱中，点在边上，将沿翻折得到，点的对称点落在▱内，延长交所在直线于点，交所在直线于点，延长交边于点． 如图，当点在中点处时，求证：≌； 在的条件下，若，，求的长； 如图，当时，点在边上若，直接写出的值． 【解析】证明：四边形是平行四边形， ，， 将沿翻折得到， ，， ， ，即， 点是中点， ， ， 在延长线上，、、共线， ， 在和中：，，， ≌． 解：由知≌， ，，， ，， ，即， ， ， 延长交所在直线于点，交所在直线于点， 、、、四点共线， ， ∽， ， ， ． 解：设，，则， ， 设，，则， ， 延长交延长线于点， ， ， 又， ∽， ， ， ， ， 将沿翻折得到， ，， 、、共线，、、共线， ，， ，， 、、共线，、、共线， ，， ， 在和中：，，， ≌， ， 平分， 点到和的距离相等， ， 又和以、为底时，高相同， ， ， ， ． 利用平行四边形性质和翻折性质，通过证明三角形全等． 先由全等结论和对顶角证明为等腰三角形得到，，最后利用相似三角形求出； 利用相似三角形求出，再证明≌得到，最后利用角平分线性质和面积比求出与的比值． 本题主要考查了平行四边形性质，翻折性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质，面积比等，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $