精品解析：江苏南京市玄武区2025-2026学年度第二学期九年级学情调研卷（二）数学

2025～2026学年度第二学期九年级学情调研卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 面积为4的正方形的边长是（ ） A. 4的平方根 B. 4的算术平方根 C. 4开平方的结果 D. 4的立方根 4. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的点处．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 向体积一定的水中加入质量为的糖，充分溶解后（体积的变化忽略不计）．含糖率等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数等于单位体积的水中所含糖的质量．下列图像中，能大致反映、关于的关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 8. 计算的结果是______． 9. 分解因式的结果是__________． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向左平移个单位，得到点，则点的坐标是______． 11. 已知一次函数（为常数，）的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是______．（填一个正确的数据） 12. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 13. 如图，边长为的正方形，边在数轴上，将对角线绕点按顺时针方向旋转，使点落在数轴上的点处，若点表示的数是，则点表示的数是______． 14. 如图，一个纸杯的高度是，六个纸杯叠放在一起的高度为．若干个纸杯按如图所示的方式叠放，且高度不超过，则纸杯的个数最多是______个． 15. 如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径．若，则的长为_______． 16. 如图，一块长为，宽为的长方形铁皮，按如图所示的方式裁剪折叠，做成一个底面为正六边形且侧面为长方形的无盖铁皮箱，则铁皮箱底面的边长为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 某农业基地改进蔬菜的浇水方式，将喷灌方式改为滴灌．改进后，一块菜地平均每天用水量为原来的一半，水可以使用的天数比原来多天．浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水多少吨？ 20. 某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加米比赛，共进行了次测试，测试成绩的折线统计图如下（单位：秒）． 甲、乙次百米测试成绩的折线统计图 （1）第 次测试，甲、乙测试成绩的差距最大； （2）分别求出甲、乙这次测试的平均成绩； （3）你认为哪名学生参加米比赛较为合适？为什么？ 21. 甲袋中装有张卡片，分别写有数字，和，乙袋中装有张卡片，分别写有数字和，这些卡片除数字外，其他均相同．先从甲袋中随机抽取张卡片，记录数字后放入乙袋，充分摇匀后，再从乙袋中随机抽取张卡片． （1）从甲袋中抽取的卡片数字是偶数的概率是 ； （2）求两次抽取的卡片数字之和为奇数的概率． 22. 如图，在中，平分，平分，点，分别在，边上，连接，，分别交，于，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，则 ． 23. 如图，，点在的内部．用两种不同的方法求作：经过点的直线，分别交，于点，，使得是等边三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 24. 如图，海岛位于港口的南偏西方向上，灯塔恰好位于的中点处．轮船甲从海岛出发，沿正东方向航行，轮船乙从港口出发，沿正南方向航行．当甲航行到点处时，乙航行了至点处，此时，，三点恰好在同一条直线上，灯塔位于点的北偏西方向上，求轮船甲与灯塔的距离． （参考数据：，，，结果保留根号） 25. 如图①，在⊙中，，是弦，是的中点，连接，过点作，与，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图②，当是⊙的直径时，连接，，，求菱形的周长． 26. 已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． （1）当时， ； （2）当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 27. 在三角形的三条边上任取一点（不包括顶点），以这三点构成的三角形与原三角形相似，且原三角形的顶点与该顶点所对边上的点是对应顶点，则称这个三角形是原三角形的内接相似三角形．例如：如图①，在中，，且P，M，N分别在边，，上，则称是的内接相似三角形． 【初步认识】 （1）如图②，已知等边三角形，点P在边上．求作：，使得是的内接相似三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入理解】 （2）在中，，点P，M，N分别在边，，上． ①如图③，若，，N是的中点，求证：是的内接相似三角形． ②若是的内接相似三角形，且，，则的中点所形成的图形的长度为 ． 【拓展延伸】 （3）下列关于三角形的内接相似三角形的说法，所有正确结论的序号是 ． ①对于任意三角形，都存在无数个内接相似三角形； ②对于任意三角形边上的每一点（不包括顶点），都存在唯一的内接相似三角形； ③对于每一个确定的三角形，周长最短的内接相似三角形的顶点是原三角形各边的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期九年级学情调研卷（二） 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握主视图和左视图的大致轮廓为矩形的几何体为柱体是解题关键． 根据主视图和左视图确定是柱体，再结合俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：根据主视图和左视图都是矩形， 此几何体为柱体， 俯视图为圆形， 此几何体为圆柱． 故选：A． 2. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：∵，∴ 选项A不符合要求. 选项B：∵与不是同类项，不能合并，∴选项B不符合要求. 选项C：∵，∴选项C符合要求. 选项D：∵与不是同类项，不能合并，∴选项D不符合要求. 3. 面积为4的正方形的边长是（ ） A. 4的平方根 B. 4的算术平方根 C. 4开平方的结果 D. 4的立方根 【答案】B 【解析】 【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根. 【详解】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根； 故选B． 【点睛】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键． 4. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案 【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 5. 如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的点处．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角的定义求出和的度数，再利用平行线的性质求出和的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵，，且G，B，E共线，G，D，F共线， ∴，， ∵，， ∴，． ∴. 6. 向体积一定的水中加入质量为的糖，充分溶解后（体积的变化忽略不计）．含糖率等于糖的质量与总质量的比值，甜度系数等于单位体积的水中所含糖的质量．下列图像中，能大致反映、关于的关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设水的质量为M，水的体积为V，均为常数．根据题意分别列出S和关于m 的函数解析式，根据函数类型判断图像形状即可． 【详解】解：设水的质量为M，水的体积为V（M、V为常数且 ）， ∵甜度系数S等于单位体积的水中所含糖的质量， ∴， ∴S是m的正比例函数，图像应为过原点的直线，即选项A、B不符合题意； ∵含糖率R等于糖的质量与总质量的比值， ∴， ∴， ∵M为常数， ∴是m的反比例函数向上平移一个单位后的函数，图像应为曲线，且随m的增大而减小，即选项C不符合题意，选项D符合题意． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件为被开方数是非负数，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得 ． 8. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 9. 分解因式的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，合并同类项化简后，再用公式法进行因式分解即可得解． 【详解】先去括号，合并同类项化简，得： ， 利用平方差公式进行因式分解，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式去括号、合并同类项化简以及采用平方差公式进行因式分解的知识，熟练掌握上述考点知识是解答本题的基础． 10. 在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再将点向左平移个单位，得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用关于轴对称点的坐标特征得到点的坐标，再根据点平移的坐标变化规律确定点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标是， 点关于轴的对称点的坐标为， 将点向左平移个单位，横坐标减，纵坐标不变，可得点的坐标为，即． 11. 已知一次函数（为常数，）的函数值随的增大而减小，当时，的值可以是______．（填一个正确的数据） 【答案】（答案不唯一，任意大于的数均可） 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性得到的取值范围，再代入得到的取值范围，然后写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小， ， 当时，， ∵， ∴， ，任意填写一个大于的数即可，如． 12. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 13. 如图，边长为的正方形，边在数轴上，将对角线绕点按顺时针方向旋转，使点落在数轴上的点处，若点表示的数是，则点表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质利用勾股定理求出对角线的长，由旋转的性质得出的长，确定点表示的数，进而确定点C表示的数． 【详解】解：如图：∵四边形是正方形，边长为1， ∴，，， 在中，由勾股定理得 ， 由旋转的性质可知，， ∵将对角线绕点按顺时针方向旋转，且， ∴点落在射线上， ∵，，， ∴点C在线段上， ∵点表示的数是1， ∴点B表示的数为， ∵点C在点B的右侧，且， ∴点C表示的数为． 14. 如图，一个纸杯的高度是，六个纸杯叠放在一起的高度为．若干个纸杯按如图所示的方式叠放，且高度不超过，则纸杯的个数最多是______个． 【答案】 【解析】 【分析】设每增加一个纸杯，高度增加，根据1个纸杯和6个纸杯的高度差求出增量，再设纸杯个数为n，根据总高度不超过列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：设每增加一个纸杯，高度增加， 由题意得：， 设纸杯的个数为n个， 根据题意得： ，解得：， 因为n为正整数，所以n的最大值为23，即纸杯的个数最多是23个． 15. 如图，，是的切线，切点分别为，，是的直径．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接交于点M，根据切线的性质和全等三角形的判定与性质可得．在中利用勾股定理求出，利用三角函数求出，进而得到，根据直径所对圆周角是直角可得，在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图：连接交于点M，则， ∵，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵，是的直径， ∴ ∴． 16. 如图，一块长为，宽为的长方形铁皮，按如图所示的方式裁剪折叠，做成一个底面为正六边形且侧面为长方形的无盖铁皮箱，则铁皮箱底面的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设铁皮箱底面正六边形的边长为，侧面长方形的高为．根据正六边形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理并结合图形列出关于x、h的方程组求解即可． 【详解】解：设铁皮箱底面正六边形的边长为，侧面长方形的高为,则, 如图：连接，并延长交边沿于E，G， ∵正六边形， ∴，是正六边形的对称轴，点A和B关于对称，， ∴， ∴， ∵， ∵,， ∴ ∴， ∴，， ∴长方形的长：； 长方形的宽：， 联立：，解得：， ∴铁皮箱底面的边长为． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算及解方程 （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先利用有理数乘方、二次根式的性质、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果；求值结果 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将、代入求值即可． 【详解】解： ； 当、时，原式． 19. 某农业基地改进蔬菜的浇水方式，将喷灌方式改为滴灌．改进后，一块菜地平均每天用水量为原来的一半，水可以使用的天数比原来多天．浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水多少吨？ 【答案】浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨． 【解析】 【分析】设浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水x吨，则原来平均每天用水吨．，再根据“水改进后可使用天数比原来多10天”的等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水x吨，则原来平均每天用水吨． 根据题意列方程得：，解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：浇水方式改进后，一块菜地平均每天用水吨． 20. 某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加米比赛，共进行了次测试，测试成绩的折线统计图如下（单位：秒）． 甲、乙次百米测试成绩的折线统计图 （1）第 次测试，甲、乙测试成绩的差距最大； （2）分别求出甲、乙这次测试的平均成绩； （3）你认为哪名学生参加米比赛较为合适？为什么？ 【答案】（1）3 （2）甲的平均成绩为：；乙的平均成绩为： （3）乙，理由如下： ， ∵， ∴乙的成绩更稳定，更适合参加比赛． 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出5次测试成绩的差，即可得出结果； （2）根据平均数的计算方法求解即可； （3）先分别计算出甲乙的方差，然后比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：第1次测试，甲、乙测试成绩的差为：， 第2次测试，甲、乙测试成绩的差为：， 第3次测试，甲、乙测试成绩的差为：， 第4次测试，甲、乙测试成绩的差为：， 第5次测试，甲、乙测试成绩的差为：， ∴第3次测试，甲、乙测试成绩的差距最大； 【小问2详解】 甲的平均成绩为：； 乙的平均成绩为：； 【小问3详解】 略． 21. 甲袋中装有张卡片，分别写有数字，和，乙袋中装有张卡片，分别写有数字和，这些卡片除数字外，其他均相同．先从甲袋中随机抽取张卡片，记录数字后放入乙袋，充分摇匀后，再从乙袋中随机抽取张卡片． （1）从甲袋中抽取的卡片数字是偶数的概率是 ； （2）求两次抽取的卡片数字之和为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接计算即可； （2）先根据题意画树状图，确定所有等可能结果数以及两次抽取的卡片数字之和为奇数的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲袋中共有3张卡片，其中数字为偶数的卡片有2张，则从甲袋中抽取的卡片数字是偶数的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知：一共有9种等可能的结果． 其中两次数字之和为奇数的结果有4种，所以两次抽取的卡片数字之和为奇数的概率为． 22. 如图，在中，平分，平分，点，分别在，边上，连接，，分别交，于，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，则 ． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形得出，，，再由角平分确定，利用等量代换得出，结合平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，再由其性质及判定即可证明； （2）根据角平分线及等量代换得出，确定，同理得出，，确定E是的中点，F是的中点，连接，结合图形及全等三角形的判定和性质得出，，再由面积计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴E是的中点，F是的中点， 连接， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 同理得，， ∵， ∴， ∴． 23. 如图，，点在的内部．用两种不同的方法求作：经过点的直线，分别交，于点，，使得是等边三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】如图所示即为所求； 【解析】 【分析】方法一，①在上截取，连接，②过P作的平行线，分别交于点．方法二，作的平分线，过P作角平分线的垂线，分别交于点，即可． 【详解】略 24. 如图，海岛位于港口的南偏西方向上，灯塔恰好位于的中点处．轮船甲从海岛出发，沿正东方向航行，轮船乙从港口出发，沿正南方向航行．当甲航行到点处时，乙航行了至点处，此时，，三点恰好在同一条直线上，灯塔位于点的北偏西方向上，求轮船甲与灯塔的距离． （参考数据：，，，结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点P作，延长交于点F，根据等腰直角三角形的性质得出，设，则，，利用正切函数得出，求解确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，，得出，结合图形及勾股定理即可求解． 【详解】解：过点P作，延长交于点F，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴即， 解得：， ∴，， 根据题意得， 同理得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵灯塔恰好位于的中点处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图①，在⊙中，，是弦，是的中点，连接，过点作，与，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图②，当是⊙的直径时，连接，，，求菱形的周长． 【答案】（1）证明：如图，设相交于点， ∵是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】设相交于点，由圆周角定理得，由垂径定理得垂直平分，进而由推导出，即可求证； 连接，设与交于点，由垂径定理的推论可得，，利用勾股定理得，即得，利用得，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设与交于点， ∵是的直径，是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴在中，， ∴菱形的周长． 26. 已知二次函数（为常数，），顶点坐标为． （1）当时， ； （2）当时， ①求证：二次函数的图像与轴总有两个公共点； ②若二次函数图像与轴的交点都在轴的右侧，则的取值范围为 ． 【答案】（1） （2）①证明：由（1）可得， 令，即，， ∵， ∴，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴二次函数的图像与轴总有两个公共点． ②． 【解析】 【分析】（1）先将函数解析式化成顶点式可知，然后解关于a的方程即可； （2）①先把函数解析式化成一般式，令，得到关于x的方程，再证明方程根的判别式大于零即可证明结论；②当，即，由题意可知该方程的都是大于零的实数，解（1）的解答过程可得，再根据等式的性质、直接开平方法解关于x的方程，然后让解的最小值大于零，据此列不等式求得a的取值范围；由（1）可知，再根据二次函数的性质确定n的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线顶点坐标为，， ∴，解得：或， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①证明：略； ②解：当，即，由题意可知该方程的根都是大于零的实数， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴方程的最小解为， ∴，解得：， ∴； 由（1）可得：， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为， ∴当时，n随a的增大而减小， ∴当，n随a的增大而减小， ∵当时，n有最大值；当时，n有最小值； ∴的取值范围为． 27. 在三角形的三条边上任取一点（不包括顶点），以这三点构成的三角形与原三角形相似，且原三角形的顶点与该顶点所对边上的点是对应顶点，则称这个三角形是原三角形的内接相似三角形．例如：如图①，在中，，且P，M，N分别在边，，上，则称是的内接相似三角形． 【初步认识】 （1）如图②，已知等边三角形，点P在边上．求作：，使得是的内接相似三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【深入理解】 （2）在中，，点P，M，N分别在边，，上． ①如图③，若，，N是的中点，求证：是的内接相似三角形． ②若是的内接相似三角形，且，，则的中点所形成的图形的长度为 ． 【拓展延伸】 （3）下列关于三角形的内接相似三角形的说法，所有正确结论的序号是 ． ①对于任意三角形，都存在无数个内接相似三角形； ②对于任意三角形边上的每一点（不包括顶点），都存在唯一的内接相似三角形； ③对于每一个确定的三角形，周长最短的内接相似三角形的顶点是原三角形各边的中点． 【答案】（1）如图，即为所求： 文字说明： 如图，以点C为圆心，长为半径画弧，与交于点M，以点A为圆心，长为半径画弧，与交于点N，连接，，，即为所求． （2）①证明：如图，连接， ∵，，N是的中点， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴是的内接相似三角形； ② （3）①③ 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心，长为半径画弧，与交于点M，以点A为圆心，长为半径画弧，与交于点N，连接，，，为等边三角形，即为的内接相似三角形． （2）①连接，证明，得出，，进而证明，即可得出为等腰直角三角形，即可得证； ②分析得出点P的运动轨迹由点C运动到点B，的中点Q由运动到，进而求得，即可求解． （3）根据（2）②即可判断①②，画出图形，根据反证法证明③，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②∵，，， ∴， 在中，， ∴，， ∵点P是上的动点， ∴点P的运动轨迹由点C运动到点B， 又∵是的内接相似三角形， ∴，，， ∴点M的运动轨迹由到， ∴的中点Q由运动到， 当点与点C重合时，， ∴， 当点P与点B重合时，， ∴， ∵， ∴， ∴点N恒为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①由（2）②可知，三角形的任意内接相似三角形，都存在无数个内接相似三角形，①说法正确； ②：由（2）②可知，当点P从点C到点B的过程中，点M从点到点，此时，无法存在每一点，使其存在唯一的内接相似三角形，②说法错误； ③：如图，是的内接相似三角形，设其外接圆的半径分别为， 当内接相似三角形的顶点是原三角形各边的中点时，相似比为 假设当的周长最短时，相似比小于，那么的外接圆半径小于，此时的顶点中至少会存在一点在的内部， 则不是原三角形的内接相似三角形． ∴周长最短的内接相似三角形的顶点是原三角形各边的中点，故③正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $