精品解析：江苏省南京市玄武区2025年中考二模数学试卷

2024~2025学年度第二学期九年级学情调研卷（二）数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在数轴上，下列四个数对应的点与原点距离最近的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A. B. C. D. 4. 如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（） A. 全天加工的零件数，甲比乙多 B. 全天的工作时间，甲比乙短 C. 上午的工作效率，甲比乙高 D. 全天的工作效率，甲比乙低 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 的相反数是_______，36的算术平方根是_______． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 9. 纳秒（）是非常小的时间单位，，用科学记数法表示是________s． 10. 计算的结果是________． 11. 分解因式：2a2﹣8b2=________． 12. 已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是_______． 14. 如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点在轴正半轴上．将绕原点顺时针旋转一定角度，使点落在反比例函数的图像上，且点落在反比例函数的图像上，则的值为_______． 16. 在中，平分是射线上的动点，连接、，当取最大值时，则的长度为______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图为、两家酒店今年上半年（月份）的月营业额折线统计图． （1）将表格补充完整． 酒店 平均数（百万元） 中位数（百万元） 方差（百万元） A ①_______ ③_______ B ②_______ （2）根据上述信息，你认为A、B两家酒店哪家经营状况较好？请简述理由． 20. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 21. 如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲停在A区的概率是_______； （2）求甲、乙停在相同区域的概率． 22. 如图，已知在矩形中，，，，分别是四个内角的平分线，，相交于点，，相交于点求证：四边形是正方形． 23. 如图，某栋大楼一侧临近山坡，点、、在同一直线上．山坡的坡度为，坡脚与坡顶之间的距离．在坡脚处测得楼顶的仰角为，在坡顶处测得楼顶的仰角为，求大楼的高度．（参考数据：，） 24. 某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示． （1）当时，求与的函数关系式； （2）若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，四边形的对角线、交于点，与、分别相切于点、，与交于点、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接并延长与交于点，若，，求的半径． 26. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点； （2）求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上； （3）是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____． 27. 图形的旋转 （1）将线段绕点旋转一定角度得到线段，、分别是、的对应点． （I）如图①，求作旋转中心．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （II）如图②，设旋转角度为，延长、交于点．求证：． （2）在中，，，点、分别在边、上（包括端点），且． （I）在图③中，求作满足条件的；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （II）若存在满足条件的，则的取值范围是_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期九年级学情调研卷（二）数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在数轴上，下列四个数对应的点与原点距离最近的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握绝对值的几何意义． 先求出选项中各个数的绝对值，然后比较绝对值的大小，再根据绝对值的几何意义进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴数1对应的点与原点距离最近， 故选：B． 2. 下列计算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了通敌画面乘除法计算，幂的乘方和积的乘方计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 在直径为的圆柱形容器装进一些水后，其横截面如图所示．已知水面的宽度，则水的最大深度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为， 故选：C． 4. 如图是一个三棱柱．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三棱柱及其表面展开图的特点解题．三棱柱上、下两底面都是三角形． 【详解】解：A、折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱； B、折叠后可得到三棱柱； C、折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱； D、多了一个底面，不能得到三棱柱． 故选：B． 5. 已知，下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 又∵， ∴，该选项结论错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项结论错误，不合题意； 、∵， ∴，即，该选项结论错误，不合题意； 、∵， ∴， 又∵， ∴，该选项结论正确，符合题意； 故选：． 6. 甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（） A. 全天加工的零件数，甲比乙多 B. 全天的工作时间，甲比乙短 C. 上午的工作效率，甲比乙高 D. 全天的工作效率，甲比乙低 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象中横纵坐标表示的意义分析实际问题，解题关键是理解图象横纵坐标含义，通过连线确定工作效率，结合总量、时间关系判断选项。 根据工作效率工作总量工作时间，结合图象中横、纵坐标的含义，分别分析各选项即可． 【详解】解：如图： A．甲全天加工零件数为纵坐标纵坐标；乙全天加工零件数为纵坐标纵坐标．从图中直观来看，，所以，，所以甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，故本选项说法错误，不符合题意； B．甲全天工作时间为横坐标横坐标；乙全天工作时间为横坐标横坐标．从图中可知，，，所以所以，甲全天工作时间长大于乙全天工作时间，故本选项说法错误，不符合题意； C．从图中可知，在相同时间D处时，纵坐标高于纵坐标，即乙上午工作效率比甲高，故本选项说法错误，不符合题意； D．因为全天工作时间长大于乙全天工作时间，甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，所以全天的工作效率，甲比乙低，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 的相反数是_______，36的算术平方根是_______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】本题考查相反数，算术平方根，熟练掌握会求一个数的相反数和算术平方根是解题的关键． 根据只有符号不同的两个数是互为相反数和一个正数正的平方根叫这个正数的算术平方根．求解即可． 【详解】解：的相反数是， 36的算术平方根是， 故答案为：；6． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，即分母不等于 0 ，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据分式有意义的条件可得，求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 9. 纳秒（）是非常小的时间单位，，用科学记数法表示是________s． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 计算的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】先将分子中的二次根式化简，再把分子拆分为两项分别与分母进行除法运算，最后计算结果．本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为： 11. 分解因式：2a2﹣8b2=________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）． 故答案为2（a+2b）（a﹣2b）． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式． 12. 已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意可得，，作于，证明，得出，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图：作于， ， ∵，垂足为． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，经过、、三点的与相切于点，与交于点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据切线的性质以及平行线的性质得，再结合垂径定理得，证明，则，根据外角性质得，再结合圆周角定理，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵连接，且延长交于一点， ∵经过、、三点的与相切于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在轴上，点在轴正半轴上．将绕原点顺时针旋转一定角度，使点落在反比例函数的图像上，且点落在反比例函数的图像上，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕原点顺时针旋转一定角度，得到，点在反比例函数的图像上，点落在反比例函数的图像上，过点作轴于D，过点作轴于E，设，则，，设，，则，，，，再证明，得，即，求出k值即可． 【详解】解：如图，将绕原点顺时针旋转一定角度，得到点在反比例函数的图像上，点落在反比例函数的图像上，过点作轴于D，过点作轴于E， ∵正 ∴ 设， ∵在轴上，点在轴正半轴上． ∴ ∴ ∴ 设，， ∴，，，， 由旋转可得：，，， 即 ∵ ∴ ∴，即 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握正三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定民性质，反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 16. 在中，平分是射线上的动点，连接、，当取最大值时，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在中，平分，则，在截取，连接，则，证明，得出，即可得，将取最大值转化为取最大值，根据题意得当与圆相切时，最大，此时，（根据“切割线定理”即可求解．）或如图，取圆心，连接并延长交于点，连接，根据切线的性质和圆周角定理得出，再根据，得出，即可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，在中，平分， 在截取，连接，则， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当取最大值时，即取最大值， ∵， ∴点在以为弦的圆上运动， 当与圆相切时，最大， 此时，（根据“切割线定理”即可求解．） 或如图，取圆心，连接并延长交于点，连接， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是作出图象，得出当取最大值时，即取最大值，当与圆相切时，最大． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零次幂、解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简乘方、负整数指数幂、零次幂、再运算加减，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解：（1） （2）方程两边同乘， ∴ ∴ 检验：当时，， 为原方程的解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，二次根式混合运算，熟练掌握分式和二次根式混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则与顺序化简，再把代入化简式，根据二次根式混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 19. 如图为、两家酒店今年上半年（月份）的月营业额折线统计图． （1）将表格补充完整． 酒店 平均数（百万元） 中位数（百万元） 方差（百万元） A ①_______ ③_______ B ②_______ （2）根据上述信息，你认为A、B两家酒店哪家经营状况较好？请简述理由． 【答案】（1）①；②；③ （2） 酒店的经营情况较好，理由： 因为酒店的月月营业额的平均数和中位数都大于酒店，说明的平均营业额更多，同时酒店的月月营业额逐月上升，说明酒店的营业额处于增长状态． 综上所述，酒店的经营情况较好． （另解：酒店的经营情况较好．因为酒店的月月营业额的平均数与酒店相差不大且方差小于酒店，说明酒店的营业额情况稳定，因此酒店的经营情况较好．） 【解析】 【分析】本题考查求平均数，求中位数，平均数、中位数和方差的性质．读懂题意，看懂折线统计图，从图中得到必要的信息和数据是解题关键． （1）根据求平均数和方差的公式、根据中位数的定义即可求解； （2）由平均数，中位数和方差的性质结合图象解答即可． 【小问1详解】 解：酒店营业额的平均数． 酒店营业额的方差， 将酒店的营业额按从小到大排列为：， 故酒店营业额的中位数， 故答案为：①；②；③； 【小问2详解】 略 20. 如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】 证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】略 21. 如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位．甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车． （1）甲停在A区的概率是_______； （2）求甲、乙停在相同区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列举法、概率公式求概率，熟练掌握列举法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用列举法法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停在相同区域的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵甲车停放的所有可能结果有5种，停在A区的只有2种， ∴甲能够停放在A区的概率是； 【小问2详解】 解：分别将、两个停车区域的空车位即为“”“”“”“”“”， 则根据题意列出所有可能出现的结果有：，共有10种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件）的结果有4种， 即， 所以． 22. 如图，已知在矩形中，，，，分别是四个内角的平分线，，相交于点，，相交于点求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵在矩形ABCD中，，，，分别是四个内角的平分线， ∴∠FDC＝∠FCD＝45°， ∴△FDC是等腰直角三角形， 同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形， ∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形EMFN是矩形， 在△FDC和△EAB中，， ∴△FDC≌△EAB（ASA）， ∴FD＝EA， 又∵MD＝MA， ∴ME＝MF， ∴矩形EMFN是正方形． 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线定义易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，则∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四边形EMFN是矩形，然后证明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 如图，某栋大楼一侧临近山坡，点、、在同一直线上．山坡的坡度为，坡脚与坡顶之间的距离．在坡脚处测得楼顶的仰角为，在坡顶处测得楼顶的仰角为，求大楼的高度．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，过点作于，作于．则四边形是矩形，由矩形的性质可得，．设，，由勾股定理计算可得，，设，则，，．结合，求出的值，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点作于，作于．则． 四边形是矩形． ，． 在中，， ， 在中，， ， 在中，，坡度为， ． 设，， ，， ， 解得， ，， 设，则，， ． ， ， 解得， 则． 答：大楼的高度为． 24. 某商场销售某种产品，销售量（单位：）与售价（单位：元）之间的函数关系如图所示． （1）当时，求与的函数关系式； （2）若产品的进价为12元，当售价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键． （1）利用待定系数法直接求解即可； （2）设售价为元时，获得的利润为元．求出当时，和当时，与的函数关系式，再根据一次函数和二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设， 将和分别代入， 得：， 解得：， ． 【小问2详解】 解：设售价为元时，获得的利润为元． 当时，， ． 所以，当时，的值最大，最大值为980． 当时，， ， ， 随的增大而增大， 所以，当时，的值最大，最大值为960． 综上，当售价为26元时，获得的利润最大，最大利润是980元． 25. 如图，四边形的对角线、交于点，与、分别相切于点、，与交于点、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接并延长与交于点，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：与、相切于点、， ，． ， 在和中， ， ， ． 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得出，证明得出，即可得证； （2）设的半径为，则．由平行四边形的性质可得，，证明得出，最后利用勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 设的半径为，则． 四边形是平行四边形， ，， ，，． 又， ． ． ． 为的中点， 在中，，为的中点，， ，． ． 同理，． ． 解得． 所以的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，函数图像与轴总有公共点； （2）求证：不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上； （3）是该二次函数图像上的点，当时，，则的取值范围是_____． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴不论为何值，函数图像与轴总有公共点． （2） 证明：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 把代入， ∴不论为何值，函数图像的顶点都在函数的图像上． （3）或 【解析】 【分析】（1）将抛物线解析式化成一般式，再计算，即可能得出结论； （2）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线的顶点坐标为，再把代入，即可得出结论； （3）将抛物线解析式化成顶点式，得出抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，再根据抛物线的增减性质，由，则点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴ 当时，则 ∴， ∴ 当时，则 ∴ 综上，当时，，则的取值范围是或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点问题，利用函数的对称性函数值大小，抛物线一般式化成顶点式，抛物线上点的坐标特征，抛物线的图象性质．熟练掌握抛物线与x轴交点和抛物线的图象性质是解题的关键． 27. 图形的旋转 （1）将线段绕点旋转一定角度得到线段，、分别是、的对应点． （I）如图①，求作旋转中心．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （II）如图②，设旋转角度为，延长、交于点．求证：． （2）在中，，，点、分别在边、上（包括端点），且． （I）在图③中，求作满足条件的；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明） （II）若存在满足条件的，则的取值范围是_______． 【答案】（1）（I）如图，分别作、的中垂线，交于点，点即为所求作的旋转中心． （II）证明：连接与交于点． ∵线段绕点旋转得到线段的对应点分别为， ∴． ∴． ∴． ∴， 即． 又， ， ， ∴． 即． （2）（I）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点． 分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点． 连接，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点． 连接即为所求． （II） 【解析】 【分析】（1）（I）如图，分别作、的中垂线，交于点，点即为所求作的旋转中心． （II）连接与交于点．根据旋转的性质可得．得出．即可得．．根据三角形内角和定理和等量代换得出．即可得． （2）（I）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点．分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．连接，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．连接即为所求． （II）根据（I）可得，证出是等边三角形，得出，结合，得出点四点共圆，即可得点在如图所示的圆上运动，根据题意可得当点与点重合时，最小，此时，，是直径，解直角三角形求出；当点与点重合时，最大，此时，，是直径，解直角三角形求出，即可得出的取值范围． 【详解】解：（1）（I）略 （II）略 （2）（I）理由：根据作图可得，垂直平分，， ∴，是等边三角形， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （II）根据（I）可得， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴点在如图所示的圆上运动， ∴当点与点重合时，最小， 此时，，是直径， ∴， ∵，， ∴； 当点与点重合时，最大， 此时，，是直径， ∴， ∵，， ∴； 故的取值范围是． 【点睛】该题考查了尺规作图，圆周角定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $