精品解析：2026年青海西宁市第二中学优质教育集团九年级下学期二模数学试卷

西宁市第二中学优质教育集团2025—2026学年第二学期 初三年级数学学科校二模考试卷 一、单选题（共24分，每题3分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B. 64的平方根为8 C. 一个正五边形的每个内角都是 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 5. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ） A. B. 与的面积相等 C. 的面积是 D. 当时， 6. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共20分，每题2分） 9. 将用科学记数法表示为__________． 10. 因式分解：_________. 11. 一元二次方程的两根为，则的值为__________． 12. 从，，，，，这五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为__________． 13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____． 14. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为__________． 15. 近几年，许多旅游景点推出“背经典免门票”活动，既提升游客参与感，又增强景区文化传播效果．市实验高中几位学生在江西研学期间，通过背诵《滕王阁序》免费参观了滕王阁（如图1），并通过相关数学知识测量了滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点处测得滕王阁最高点的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至处测得最高点的仰角，，滕王阁的高度__________．（结果精确到，参考数据：，，） 16. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________． 17. 如图，在中，点D、E分别是边、上的点，连接，若，且，，则的值是__________． 18. 矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________． 三、解答题（共76分） 19. 计算及解方程 （1）计算：． （2）解方程： 20. 先化简，再求值：，从中选取一个你喜欢的数作为的值，代入求出原式的值． 21. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶，C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________；“C”对应扇形的圆心角__________ （2）补全条形统计图； （3）该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 22. 如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点F作交的延长线于点G，若，，求的长． 23. 某影院商家推出A，B两种类型的哪吒纪念娃娃．该商家若购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元．该商家将A种娃娃的售价定为每个15元，B种娃娃的售价定为每个10元． （1）A，B两种娃娃每个的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进A，B两种娃娃共200个，总花费不超过1760元．该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，以为直径的交于点D，，垂足为． （1）若，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 25. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． （1）如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 （2）如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 （3）如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第二中学优质教育集团2025—2026学年第二学期 初三年级数学学科校二模考试卷 一、单选题（共24分，每题3分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 2. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了去括号，二次根式的减法运算，同底数幂的除法，完全平方公式，掌握这些知识是解题的关键．运用去括号法则、二次根式的减法运算法则、指数运算法则和完全平方公式．通过逐一验证每个选项的计算是否正确， 【详解】解：A、，A错误． B、和不是同类二次根式，， B错误． C、， C正确． D、， D错误． 故选C 4. 下列说法正确的是（ ） A. 调查某种灯泡的使用寿命最适合采用普查的方式 B. 64的平方根为8 C. 一个正五边形的每个内角都是 D. 甲、乙两人在相同的条件下各射击8次，他们射击成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、调查某种灯泡的使用寿命具有破坏性，适合抽样调查，不适合普查，故A错误，不符合题意； B、的平方根为，故B错误，不符合题意； C、∵正多边形内角和公式为，正五边形边数， ∴正五边形内角和为， ∴每个内角为，故C正确，符合题意； D、∵方差越小成绩越稳定，且， ∴甲的射击成绩更稳定，故D错误，不符合题意． 5. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（ ） A. B. 与的面积相等 C. 的面积是 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 6. 如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 8. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上， 菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上， ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（共20分，每题2分） 9. 将用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数．当原数的绝对值小于时，为负整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零) ． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 10. 因式分解：_________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再按照平方差公式进行分解即可得到答案； 【详解】解：， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，掌握平方差公式是解题的关键； 11. 一元二次方程的两根为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分变形后，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 12. 从，，，，，这五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定五个数中无理数的个数，再利用概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，所有等可能的结果共有种， 根据无理数的定义，五个数中和是无理数，即抽出无理数的结果有种， 根据概率公式，可得抽出无理数的概率为． 13. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，AE＝1，则弦CD的长是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理计算即可． 【详解】连接OC， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CD＝2CE，∠OEC＝90°， ∵AB＝10，AE＝1， ∴OC＝5，OE＝5﹣1＝4， 在Rt△COE中，CE＝＝3， ∴CD＝2CE＝6， 故答案为6． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 14. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径，圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，圆锥的母线长为，即侧面展开图扇形的半径为， 扇形的弧长为， 圆锥底面圆的周长为， 根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，可得， 解得． 15. 近几年，许多旅游景点推出“背经典免门票”活动，既提升游客参与感，又增强景区文化传播效果．市实验高中几位学生在江西研学期间，通过背诵《滕王阁序》免费参观了滕王阁（如图1），并通过相关数学知识测量了滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点处测得滕王阁最高点的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至处测得最高点的仰角，，滕王阁的高度__________．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】58 【解析】 【分析】利用三角函数解和，用含的式子表示出，，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得． 16. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2024年的30万人增加到2026年的43.2万人，则该市参加健身运动人数的年均增长率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设年均增长率为，根据从2024年的30万人增加到2026的万人列方程求解即可． 【详解】解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 17. 如图，在中，点D、E分别是边、上的点，连接，若，且，，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 矩形ABCD中，，，点E在AB边上，．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论：①当AP=AE=5，点P在边AD上时，由勾股定理可求得底边PE的长；②当PE=AE=5，点P在边BC上时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出底边AP即可． 【详解】解：∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90°， 分两种情况： 当AP=AE=5，点P在边AD上时，如图所示： ∵∠BAD=90°， ∴PE==5； 当PE=AE=5，点P在边BC上时，如图所示： ∵BE=AB-AE=8-5=3，∠B=90°， ∴PB==4， ∴底边AP=； 综上，等腰三角形AEP的底边长是或 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键． 三、解答题（共76分） 19. 计算及解方程 （1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题利用负整数指数幂运算法则，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和二次根式乘法法则，先化简每一项，再合并计算得到结果． （2）将分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程后检验即可得到原方程的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘得： 展开得： 去括号合并同类项得： 移项得： 解得： 检验：当时， 所以原方程的解为． 20. 先化简，再求值：，从中选取一个你喜欢的数作为的值，代入求出原式的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再计算除法，得到最简结果，再选取有意义的的值代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵和时，分式无意义， ∴， ∴当时，原式． 21. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：A．五谷画，B．彩陶，C．剪纸，D．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________；“C”对应扇形的圆心角__________ （2）补全条形统计图； （3）该校有1600人，请你估计该校对课程D感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从A、B、C、D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1）160，20， （2）解：抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人） 补全条形统计图如图： （3）400人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据对课程A感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程C感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出a的值，“C”对应扇形的圆心角等于课程C所占百分比乘以； （2）由（1）总人数减去A，C，D人数，即可得到抽取部分学生对课程B感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （3）用1600乘以对课程D感兴趣的学生所占百分比即可求解； （4）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生总人数为（人）， ， , “C”对应扇形的圆心角； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答 ：估计该校对课程D感兴趣的学生有400人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由图可得，共有16种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的结果有4种， 两人恰好选到同一个课程的概率为． 22. 如图，四边形是矩形，O是对角线的中点，连接，分别过点A，D作，，F是对角线延长线上的点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点F作交的延长线于点G，若，，求的长． 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是矩形， O是对角线的中点， ， 四边形是菱形； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，由矩形对角线相等且互相平分，得，即可证明四边形是菱形； （2）过点F作交的延长线于点G，先证明，推出，，再用勾股定理解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在与中， ， ，， ， 在中，． 23. 某影院商家推出A，B两种类型的哪吒纪念娃娃．该商家若购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元．该商家将A种娃娃的售价定为每个15元，B种娃娃的售价定为每个10元． （1）A，B两种娃娃每个的进价分别是多少元？ （2）该商家计划购进A，B两种娃娃共200个，总花费不超过1760元．该商家如何进货能在这200个娃娃全部售完时获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为8元 （2）该商家购进80个A种娃娃，120个B种娃娃时获利最大，最大利润为640元 【解析】 【分析】（1）理解题意，设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元，再结合购进40个A种娃娃和50个B种娃娃，则一共需要800元；若购进20个A种娃娃和60个B种娃娃，则一共需要680元，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）先结合商家计划购进A，B两种娃娃共200个，总花费不超过1760元，进行列出不等式，再解得，然后根据利润公式列式化简得，最后运用一次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价为元，每个B种娃娃的进价为元， 依题意，得， 解得． 答：每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为8元． 【小问2详解】 解：设购进个A种娃娃， 依题意，得， 解得． 设这200个娃娃全部售完时总利润为元， 则， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为． 此时． 答：该商家购进80个A种娃娃，120个B种娃娃时获利最大，最大利润为640元． 24. 如图，以为直径的交于点D，，垂足为． （1）若，求证：为的切线； （2）在（1）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）如图：连接OD，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，求得，根据切线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质列比例求解即可． 【小问1详解】 证明：如图：连接OD， 为直径， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 是的半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、三角形中位线定理、勾股定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． （1）直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； （2）当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； （3）在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在；， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 26. 【概念认识】 定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作垂等四边形． （1）如图①，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则______； 【数学理解】 （2）如图②，在中，已知是弦，、是半径，过点O作，交于点D、C，连结．求证：四边形是垂等四边形； 【问题解决】 （3）如图③，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（点A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，直接写出弦的长度． 【答案】（1）5 （2）见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）连接并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果； （3）连接，根据已知条件求出，再根据相似三角形的性质列式计算即可； 【小问1详解】 解：由垂等四边形的定义得， 又 ∵， ， ． 【小问2详解】 证明：如图 1，连接并相交于点， ， ， ，即， ， ， ， ， ∴四边形是垂等四边形． 【小问3详解】 解：连接，由（2）可得等腰， ∵的半径为， ∴， ， 作， ∵点E到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则，即， 解得：（如图2），（如图3）， 或， 作，连接， ∴， ， ， 或， （如图2）或（如图3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $