第八章 实数（12种题型）期末复习讲义 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数 一、平方根与算术平方根 1. 算术平方根 定义：若一个 的平方等于a（x2=a，a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作 ，读作 “根号a”；0 的算术平方根是 。 双重非负性： 且 （被开方数、算术平方根均非负）。 性质：正数的算术平方根是唯一正数；0的算术平方根是0；负数 。 2. 平方根 定义：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根（二次方根），记作 。 性质： · 正数有 ，互为 （和−）； · 0的平方根是 ； · 负数 （因为任何数平方非负）。 开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为逆运算。 3. 平方根与算术平方根区别 · 符号：（算术平方根，正）；（平方根，正负）； · 个数：正数1个算术平方根，2个平方根； · 联系：平方根包含算术平方根，= ±（算术平方根）。 二、立方根 1. 定义：若x3=a，则x叫a的立方根（三次方根），记作 ，读作 “三次根号a”；求立方根的运算叫 ，与立方互为逆运算。 2. 性质（与平方根核心区别） · 正数的立方根是 ； · 负数的立方根是 （负数有立方根！）； · 0的立方根是 ； · 唯一性：任何实数都有唯一立方根； · 公式：；，。 三、实数 1. 无理数 定义： 叫做无理数。 常见类型（高频判断）： · 开方 的数：、、（注意：=2、=3是有理数）； · 含 的数：π、、π+1； · 的无限小数：0.1010010001…（相邻1之间0依次多1）。 易错：带根号≠无理数；无限小数≠无理数（无限循环是有理数）。 2. 实数概念与分类 定义：有理数和无理数统称实数。 · 分类1（按定义）： 有理数：有限小数、无限循环小数（整数、分数）； 无理数：无限不循环小数。 · 分类2（按正负）： 正实数：正有理数、正无理数； 0； 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴 · 一一对应：数轴上每一个点都对应唯一实数；每一个实数都对应数轴上唯一一点。 4. 实数的性质（同有理数） 相反数：实数a的相反数是−a；的相反数−，π的相反数−π。 绝对值：绝对值表示数轴上点到原点距离，非负。 倒数：非零实数a的倒数；0没有倒数。 5. 实数大小比较 · 正实数> 0 >负实数； · 两个负实数：绝对值大的反而小； · 方法：数轴法、作差法、平方法（比较正数）、估算法。 四、实数的运算 1. 运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律，均适用于实数。 2. 运算顺序：先 →再 →最后 ；有括号先算括号内。 1.混淆平方根与算术平方根：=4（算术），±=±4（平方根） 2.忽略的双重非负性（a≥0且≥0） 3.认为负数没有立方根（错，负数有唯一负立方根） 4.带根号即无理数（错，如、是有理数） 5.（不等于a） 题型一 求算术平方根、平方根、立方根 1．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）的平方根是（   ） A．-4 B． C． D．4 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的算术平方根是6 4．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 题型二 利用算术平方根的性质求解 5．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）若，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 7．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若实数a、b满足，则___________． 8．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 题型三 无理数的大小估算 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 10．（25-26七年级下·河南开封·期中）实数是连续整数，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 11．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）估计的值应在（   ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 12．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 题型四 利用平方根、立方根解方程 13．（25-26七年级下·安徽铜陵·阶段检测）求下列方程中x的值： (1)； (2)． 14．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 15．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： (1)； (2) 16．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 题型五 与算术平方根、立方根有关的规律 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 18．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 19．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)_____：_____：_____；… (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：_____________； (3)根据规律计算：． 20．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 题型六 算术平方根、立方根的实际应用 21．（25-26七年级下·陕西安康·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 22．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 23．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 24．（25-26七年级下·河南新乡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ (2)比较物体在哪里自由下落得更快？ 题型七 算术平方根、立方根的综合应用 25．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 26．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 27．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 28．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 题型八 无理数的识别 29．（25-26七年级下·北京海淀·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（25-26七年级下·天津·阶段检测）在实数，，，0.101001000100001⋯，中，无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九 实数的分类 33．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 34．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 35．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 36．（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）把下列实数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）． (1)整数集合：{________，…}； (2)分数集合：{________，…}； (3)有理数集合：{________，…}； (4)无理数集合：{________，…}． 题型十 实数的大小比较 37．（2026·山东德州·二模）下列实数中，最大的是（     ） A．－ B． C． D．－ 38．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）______3．（“、、”） 39．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 40．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）的相反数是_________，的绝对值等于_________，比较大小： _________． 题型十一 实数的混合运算 41．（25-26七年级下·广东东莞·期中）计算： 42．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）计算：． 43．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）计算： (1) (2) 44．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算： (1) (2) 题型十二 新定义下的实数运算 45．（25-26七年级下·广西北海·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 46．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 47．（2026·河北沧州·模拟预测）用“”规定一种新运算：对于任意两个数a和b，规定．如，． (1)求的值； (2)已知x为实数，若，，试通过计算比较m、n的大小． 48．（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 一、平方根与算术平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a（x2=a，a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作，读作 “根号a”；0 的算术平方根是0。 双重非负性：≥0且a≥0（被开方数、算术平方根均非负）。 性质：正数的算术平方根是唯一正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 2. 平方根 定义：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根（二次方根），记作。 性质： · 正数有两个平方根，互为相反数（和−）； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根（因为任何数平方非负）。 开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为逆运算。 3. 平方根与算术平方根区别 · 符号：（算术平方根，正）；（平方根，正负）； · 个数：正数1个算术平方根，2个平方根； · 联系：平方根包含算术平方根，= ±（算术平方根）。 二、立方根 1. 定义：若x3=a，则x叫a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”；求立方根的运算叫开立方，与立方互为逆运算。 2. 性质（与平方根核心区别） · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数（负数有立方根！）； · 0的立方根是0； · 唯一性：任何实数都有唯一立方根； · 公式：；，。 三、实数 1. 无理数 定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型（高频判断）： · 开方开不尽的数：、、（注意：=2、=3是有理数）； · 含π的数：π、、π+1； · 有规律但不循环的无限小数：0.1010010001…（相邻1之间0依次多1）。 易错：带根号≠无理数；无限小数≠无理数（无限循环是有理数）。 2. 实数概念与分类 定义：有理数和无理数统称实数。 · 分类1（按定义）： 有理数：有限小数、无限循环小数（整数、分数）； 无理数：无限不循环小数。 · 分类2（按正负）： 正实数：正有理数、正无理数； 0； 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴 · 一一对应：数轴上每一个点都对应唯一实数；每一个实数都对应数轴上唯一一点。 4. 实数的性质（同有理数） 相反数：实数a的相反数是−a；的相反数−，π的相反数−π。 绝对值：绝对值表示数轴上点到原点距离，非负。 倒数：非零实数a的倒数；0没有倒数。 5. 实数大小比较 · 正实数> 0 >负实数； · 两个负实数：绝对值大的反而小； · 方法：数轴法、作差法、平方法（比较正数）、估算法。 四、实数的运算 1. 运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律，均适用于实数。 2. 运算顺序：先乘方、开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 1.混淆平方根与算术平方根：=4（算术），±=±4（平方根） 2.忽略的双重非负性（a≥0且≥0） 3.认为负数没有立方根（错，负数有唯一负立方根） 4.带根号即无理数（错，如、是有理数） 5.（不等于a） 题型一 求算术平方根、平方根、立方根 1．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）的平方根是（   ） A．-4 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题需要先求出的结果，再对所得结果求平方根，注意区分算术平方根和平方根的概念，避免直接对16求平方根导致错误． 【详解】解：，的平方根是 ∴的平方根是． 2．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义计算各选项即可判断对错，算术平方根的结果为非负数，负数没有算术平方根. 【详解】解：∵算术平方根是一个非负数的正的平方根， ∴，A错误； ∵负数没有算术平方根， ∴无意义，B错误； ∵， ∴，C正确； ∵， ∴ ，D错误. 3．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的算术平方根是6 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、4的平方根是 ，原说法错误，不符合题意； B、，4的平方根是 ，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴的立方根是，原说法正确，符合题意； D、负数没有算术平方根，且是负数，原说法错误，不符合题意． 4．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 题型二 利用算术平方根的性质求解 5．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）若，则的值为（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0；根据算术平方根，绝对值的非负性求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】， ，， 解得：，， ． 6．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 7．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）若实数a、b满足，则___________． 【答案】0 【分析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性求出a、b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴． 8．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】本题利用非负数的性质求解，初中阶段常见的非负数有平方、绝对值、算术平方根，若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此分别求出，，的值，再计算它们的和即可． 【详解】 ， ， ，且， 每个非负数都为0，可得： ，解得， ，解得， ，解得， ． 题型三 无理数的大小估算 9．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）估计的值在（    ） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【答案】A 【分析】找到37介于哪两个相邻完全平方数之间，即可得到的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴， 即 ， ∴的值在6和7之间． 10．（25-26七年级下·河南开封·期中）实数是连续整数，如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】先确定的范围，再得到连续整数的值，最后计算即可． 【详解】解： 即 ，且为连续整数 ． 11．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）估计的值应在（   ） A．8到9之间 B．7到8之间 C．6到7之间 D．5到6之间 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式三边同时加2，得， 即， ∴ 的值在到之间． 12．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 题型四 利用平方根、立方根解方程 13．（25-26七年级下·安徽铜陵·阶段检测）求下列方程中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】先将原方程整理为平方项等于非负常数的形式，再根据平方根的定义开平方，即可求出x的值． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， 或． 14．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把移到右边，再利用平方根的定义解答即可； （）把移到右边，再两边除以，最后利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 解得：或 （2）解： 解得： 16．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：原式变形为， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：原式变形为， ∴． ∴． 题型五 与算术平方根、立方根有关的规律 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）填表． a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填写下列空格： 已知，则______，______． 【答案】，，1 ，10 ，100； ， 【分析】本题考查了立方根，与立方根有关的规律题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据表格的值，分别求出对应的立方根，即可作答． （2）先根据，则，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，补充表格如下： a 1 1000 1000000 1 10 100 （2）∵， 则，， 18．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 19．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)_____：_____：_____；… (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：_____________； (3)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）根据（2）中的规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：，，； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； （3）解： ． 20．（25-26七年级下·广东东莞·期中）根据规律进行运算： 【实践操作】 (1)在草稿纸上计算：①_______；②_______；③_______；④_______， 观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出_______； 【归纳规律】 (2)_______． 【规律应用】 (3)若，则_______． 【答案】(1)①1；②3；③6；④10；55 (2) (3)24 【详解】（1）解：①；②；③；④， ∴； （2）解：由（1）得 ； （3）解：∵， ∴， ∴ ∵是整数，则是两个连续的整数， ∴或（舍）． 题型六 算术平方根、立方根的实际应用 21．（25-26七年级下·陕西安康·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 22．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？ 【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可． 【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，． 则， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和． 23．（25-26七年级下·福建南平·期中）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形． (1)求大正方形的边长； (2)若沿着这个大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，长为，宽为 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得大正方形的面积为， 所以大正方形的边长为； （2）能，理由如下： 设裁得的长方形的纸片的长为，宽为， 由题意可得，， 解得：， ， ， ， ， ， 能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 24．（25-26七年级下·河南新乡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为． (1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？ (2)比较物体在哪里自由下落得更快？ 【答案】(1) (2)物体在地球上自由下落得更快 【分析】（1）将代入，求出时间即可； （2）设下降相同距离为，分别代入，，求出时间，最后比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 解得（负值已舍去）． （2）解：设下降的距离都为，（）， 在中，， ， 解得（负值已舍去）． 在中，， ， 解得（负值已舍去）． ， 物体在地球上自由下落得更快． 题型七 算术平方根、立方根的综合应用 25．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，即可计算出答案． 【详解】解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 26．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)± 【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得，解方程即可得到答案； （）根据（）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ； （2）解： ， ， 的平方根为． 27．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 28．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 题型八 无理数的识别 29．（25-26七年级下·北京海淀·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】无限不循环小数是无理数，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，不符合题意； B、是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合题意． 30．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数、、、、、中，无理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】无理数是无限不循环小数，整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都属于有理数，先化简题目中可化简的数，再根据无理数的定义逐个判断，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是开方开不尽的无限不循环小数，故是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； ，是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； ，是整数，是有理数； 无理数的个数为个． 31．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，逐个判断各数即可得到答案． 【详解】解：，是整数，属于有理数；，是有限小数，是分数，都属于有理数； 根据无理数的定义得：无理数为，，，共个． 32．（25-26七年级下·天津·阶段检测）在实数，，，0.101001000100001⋯，中，无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， ∴无理数有，，0.101001000100001⋯，共3个． 题型九 实数的分类 33．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）一组实数：，，，，，0，，， 将它们分类，填在相应的大括号内： 有理数：{____________________________________________…}； 无理数：{____________________________________________…}． 【答案】见解析 【分析】根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，逐个判断即可． 【详解】解：，， 有理数：； 无理数． 34．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 35．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 36．（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）把下列实数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）． (1)整数集合：{________，…}； (2)分数集合：{________，…}； (3)有理数集合：{________，…}； (4)无理数集合：{________，…}． 【答案】(1)0，， (2)，，，， (3)，0，，，，，， (4)，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 【详解】（1）解：，， 整数集合：{0，，，…}； （2）解：分数集合：{，，，，，…}； （3）解：有理数集合：{，0，，，，，，，…}； （4）解：无理数集合：{，，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），…}． 题型十 实数的大小比较 37．（2026·山东德州·二模）下列实数中，最大的是（     ） A．－ B． C． D．－ 【答案】B 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，先比较各数绝对值的大小，即可推出原数的大小关系． 【详解】解：，，，， 又∵， ∴，因此最大的数是． 38．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）______3．（“、、”） 【答案】 【分析】利用平方法比较两个正实数的大小，对于两个正实数，平方后数值较大的数，原数也更大. 【详解】解：∵， ∴. 39．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）比较大小：______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】两个负数比较大小，可先比较两个数的绝对值，根据绝对值大的反而小进行判断． 【详解】解：∵，，且， ， ∴， 故． 40．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）的相反数是_________，的绝对值等于_________，比较大小： _________． 【答案】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数；先判断的正负，再根据绝对值的性质求解；利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较和的大小． 【详解】解：依题意，的相反数是， ，， ， 即， ∴的绝对值等于； ③ ， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得． 题型十一 实数的混合运算 41．（25-26七年级下·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 42．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 43．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用算术平方根的定义，立方根定义，以及绝对值运算法则进行运算，即可得到结果； （2）利用平方根，绝对值，立方根运算法则，计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ． 44．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 新定义下的实数运算 45．（25-26七年级下·广西北海·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：根据题中的新定义得： ． 46．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 【详解】解：， ，，，， ， ． 47．（2026·河北沧州·模拟预测）用“”规定一种新运算：对于任意两个数a和b，规定．如，． (1)求的值； (2)已知x为实数，若，，试通过计算比较m、n的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于新运算求值问题，首先明确新运算的规则，即的计算式，因为，，所以直接将两个值代入新运算公式，按照有理数运算顺序计算即可． （2）先分别将、对应新运算中的、代入公式，化简得到、关于的表达式；再用作差法计算，结合平方的非负性判断差的符号，进而比较m和n的大小． 【详解】（1）解：根据新运算规则， 令代入得： ； （2）解：因为， ， 所以， 因为是实数，， 所以，即， 因此． 48．（25-26七年级下·河南信阳·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【详解】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $