专题2 实数24种题型 期中复习讲义2025-2026学年 人教版数学 七年级下册

专题2 实数 一、平方根与算术平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a（x2=a，a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作，读作 “根号a”；0 的算术平方根是0。 双重非负性：≥0且a≥0（被开方数、算术平方根均非负）。 性质：正数的算术平方根是唯一正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 2. 平方根 定义：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根（二次方根），记作。 性质： · 正数有两个平方根，互为相反数（和−）； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根（因为任何数平方非负）。 开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为逆运算。 3. 平方根与算术平方根区别 · 符号：（算术，正）；（平方根，正负）； · 个数：正数1个算术平方根，2个平方根； · 联系：平方根包含算术平方根，= ±（算术平方根）。 二、立方根 1. 定义：若x3=a，则x叫a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”；求立方根的运算叫开立方，与立方互为逆运算。 2. 性质（与平方根核心区别） · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数（负数有立方根！）； · 0的立方根是0； · 唯一性：任何实数都有唯一立方根； · 公式：；，。 三、实数 1. 无理数 定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型（高频判断）： · 开方开不尽的数：、、（注意：=2、=3是有理数）； · 含π的数：π、、π+1； · 有规律但不循环的无限小数：0.1010010001…（相邻1之间0依次多1）。 易错：带根号≠无理数；无限小数≠无理数（无限循环是有理数）。 2. 实数概念与分类 定义：有理数和无理数统称实数。 · 分类1（按定义）： 有理数：有限小数、无限循环小数（整数、分数）； 无理数：无限不循环小数。 · 分类2（按正负）： 正实数：正有理数、正无理数； 0； 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴 · 一一对应：数轴上每一个点都对应唯一实数；每一个实数都对应数轴上唯一一点。 · 可在数轴上表示、等无理数（勾股定理构造直角三角形）。 4. 实数的性质（同有理数） 相反数：实数a的相反数是−a；的相反数−，π的相反数−π。 绝对值：绝对值表示数轴上点到原点距离，非负。 倒数：非零实数a的倒数；0没有倒数。 5. 实数大小比较 · 正实数> 0 >负实数； · 两个负实数：绝对值大的反而小； · 方法：数轴法、作差法、平方法（比较正数）、估算法。 四、实数的运算 1. 运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律，均适用于实数。 2. 运算顺序：先乘方、开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 3. 常见运算公式 · （易错：直接等于a）； · ()2=a（a≥0）； · ，。 1.混淆平方根与算术平方根：=4（算术），±=±4（平方根） 2.忽略的双重非负性（a≥0且≥0） 3.认为负数没有立方根（错，负数有唯一负立方根） 4.带根号即无理数（错，如、是有理数） 5.（不等于a） 1.平方根/算术平方根区分：求 “平方根” 写；求 “算术平方根” 只写。 2.被开方数非负：有意义⇒ a ≥ 0，常见用于求字母取值范围。 3. 必加绝对值：，再根据a正负去绝对值，别直接写成a。 4.立方根不用正负号，正负随原数：正数立方根正，负数立方根负。 5.无理数快速判断：无限不循环＝无理数：开方开不尽、含π、有规律但不循环小数。带根号不一定是无理数（如、是有理数）。 6.实数大小比较常用技巧 · 负数：绝对值大的反而小 · 都放数轴：右边＞左边 7.实数运算口诀：先开方、乘方，再乘除，最后加减；同类根式才能合并，无理数运算规则同有理数。 题型一 算术平方根、平方根的概念 【例1】（25-26七年级下·贵州遵义·月考）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【变式1-1】（25-26七年级下·吉林·月考）下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 【变式1-2】（25-26七年级下·天津南开·月考）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【变式1-3】（25-26七年级下·河南许昌·月考）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 题型二 求一个数的平方根 【例2】（25-26七年级下·陕西·期中）有理数4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东广州·月考）实数16的平方根是________． 【变式2-2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）的平方根是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则的平方根是__________． 题型三 利用平方根的定义求参数 【例3】（2026七年级下·吉林长春）已知的一个平方根是，则是______． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南信阳·月考）一个正数的平方根是和，则这个正数的值是___________． 【变式3-2】（25-26七年级下·广东东莞·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）已知一个正数的平方根是和． (1)求这个正数； (2)求的平方根． 题型四 利用平方根解方程 【例4】（25-26七年级下·广东汕头·月考）解方程： 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【变式4-2】（25-26七年级下·山东德州·月考）解方程： (1) (2)． 【变式4-3】（25-26七年级下·陕西延安·月考）解方程： 题型五 求一个数的算术平方根 【例5】（25-26七年级下·福建泉州·期中）____． 【变式5-1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）计算__________． 【变式5-2】（25-26七年级下·广东江门·月考）的算术平方根是______． 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）求下列各数的算术平方根． (1)36； (2)； (3)． 题型六 利用算术平方根的非负性求解 【例6】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若x，y都是实数，且，则的值是________． 【变式6-1】（25-26七年级下·天津滨海新区·月考）若，则代数式_______． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026七年级下·四川泸州·学业考试）若，则的值是______． 题型七 估计算术平方根的范围 【例7】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【变式7-1】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式7-2】（2026·重庆巴南）若，其中为正整数，则______． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江·月考）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 题型八 与算术平方根有关的规律探索 【例8】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）已知，则___________． 【变式8-1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）若，则_____． 【变式8-2】（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是_____． 【变式8-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）观察下列等式： 第一个等式为：；第二个等式为：；第三个等式为：；…根据等式所反映的规律，写出第四个等式为____________________． 题型九 算术平方根的实际应用 【例9】（25-26七年级下·天津南开·月考）一个正方形的面积扩大为原来的倍，它的周长变为原来的______倍． 【变式9-1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是________． 【变式9-3】（25-26七年级下·陕西榆林·月考）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了490米，则下落的这段时间为_________秒． 题型十 立方根的概念 【例10】（25-26七年级下·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【变式10-1】（25-26七年级下·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【变式10-2】（25-26七年级下·福建·月考）下列哪个选项是假命题（   ） A．平方根等于它本身的数是0 B．算术平方根等于它本身的数是0、1 C．立方根等于它本身的数是、0、1 D．绝对值等于它本身的数是0 【变式10-3】（25-26七年级下·天津·月考）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是25的算术平方根 D． 题型十一 利用立方根解方程 【例11】（25-26七年级下·内蒙古兴安·月考）求下列式子中的x的值 (1) (2) 【变式11-1】（25-26七年级下·江西宜春·月考）求x的值： (1)； (2)． 【变式11-2】（25-26七年级下·四川南充·月考）解方程： (1) (2) 【变式11-3】（25-26七年级下·北京西城·月考）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 题型十二 算术平方根与立方根综合应用 【例12】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知x的立方根是2，的算术平方根是2． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【变式12-1】（25-26七年级下·山东德州·月考）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【变式12-2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【变式12-3】（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知的立方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 题型十三 与立方根有关的规律探索 【例13】（25-26七年级下·河南商丘·月考）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式13-2】（25-26七年级下·重庆南岸·月考）若，则___________． 【变式13-3】（25-26七年级下·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 题型十四 立方根的实际应用 【例14】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）一个正方体的体积为27立方分米，则该正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．3分米 D．9分米 【变式14-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【变式14-2】（25-26七年级下·浙江温州·期末）一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 【变式14-3】（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 题型十五 无理数的识别 【例15】（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列实数中，是无理数的是（　　）． A． B． C． D． 【变式15-1】（2026·湖北襄阳）下列实数中，无理数是（   ） A．3.14 B．0 C．5 D． 【变式15-2】（2026七年级·黑龙江齐齐哈尔）有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15-3】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）在，0，，，，，，0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次加1个）中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十六 无理数整数部分有关计算 【例16】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式16-1】（25-26七年级下·广东东莞·月考）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【变式16-2】（25-26七年级下·广东揭阳·月考），分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 【变式16-3】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）设的整数部分为a，小数部分为b，则值为（   ）． A． B．2 C． D． 题型十七 实数的分类 【例17】（25-26七年级下·广东东莞·月考）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， (1)有理数集合：{　　　　 　　　　…}； (2)无理数集合：{　　　　　　 　　…}； (3)分数集合：{　　　　　 　　　…}； 【变式17-1】（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛                ｝ (2)无理数集合：｛                ｝ (3)正实数集合：｛                ｝ (4)负实数集合：｛                ｝ 【变式17-2】（25-26七年级下·陕西榆林·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【变式17-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                 ）         正分数：（                 ） 非负整数：（                 ）         有理数：（                 ） 题型十八 实数与性质 【例18】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）的平方根是______，的绝对值是______，的立方根是______． 【变式18-1】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【变式18-2】（（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期中）的绝对值是__________． 【变式18-3】（（25-26七年级下·山东临沂·月考）的相反数是______． 题型十九 实数与数轴 【例19】（2026·四川巴中）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式19-1】（（2026·江苏盐城·一模）如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A． B． C． D． 【变式19-2】（25-26七年级下·广东河源·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式19-3】（25-26七年级下·北京西城·月考）数轴上与距离为2的点所表示的数是________． 题型二十 实数的大小比较 【例20】（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列实数中，最大的是（ ） A． B． C． D． 【变式20-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）比较大小：_____8．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【变式20-2】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）比较大小：_______（填“”“”或“”）． 【变式20-3】（25-26七年级下·四川成都·月考）比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 题型二十一 实数的混合运算 【例21】（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：． 【变式21-1】（25-26七年级下·四川南充·月考）计算： (1)； (2)． 【变式21-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 【变式21-3】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）计算 (1) (2) 题型二十二 新定义下的实数运算 【例22】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）我们规定，则的值为______． 【变式22-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于a，b有，根据定义新运算，则________． 【变式22-2】（25-26七年级下·广西钦州·月考）定义新运算“”，规定，则的运算结果为_____． 【变式22-3】（25-26七年级下·重庆·月考）对于a，b有，如．根据定义的新运算，计算：的值______． 题型二十三 实数运算的实际应用 【例23】（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【变式23-1】（24-25七年级下·全国·周测）已知，则实数x的值为_____________________． 【变式23-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【变式23-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 题型二十四 与实数相关的规律题 【例24】（25-26七年级下·湖北咸宁·月考）已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 【变式24-1】（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式24-2】（25-26七年级下·安徽六安·月考）设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式24-3】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 实数 一、平方根与算术平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a（x2=a，a≥0），则x叫做a的算术平方根，记作，读作 “根号a”；0 的算术平方根是0。 双重非负性：≥0且a≥0（被开方数、算术平方根均非负）。 性质：正数的算术平方根是唯一正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 2. 平方根 定义：若x2=a（a≥0），则x叫做 a 的平方根（二次方根），记作。 性质： · 正数有两个平方根，互为相反数（和−）； · 0的平方根是0； · 负数没有平方根（因为任何数平方非负）。 开平方：求一个数平方根的运算，与平方互为逆运算。 3. 平方根与算术平方根区别 · 符号：（算术，正）；（平方根，正负）； · 个数：正数1个算术平方根，2个平方根； · 联系：平方根包含算术平方根，= ±（算术平方根）。 二、立方根 1. 定义：若x3=a，则x叫a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”；求立方根的运算叫开立方，与立方互为逆运算。 2. 性质（与平方根核心区别） · 正数的立方根是正数； · 负数的立方根是负数（负数有立方根！）； · 0的立方根是0； · 唯一性：任何实数都有唯一立方根； · 公式：；，。 三、实数 1. 无理数 定义：无限不循环小数叫做无理数。 常见类型（高频判断）： · 开方开不尽的数：、、（注意：=2、=3是有理数）； · 含π的数：π、、π+1； · 有规律但不循环的无限小数：0.1010010001…（相邻1之间0依次多1）。 易错：带根号≠无理数；无限小数≠无理数（无限循环是有理数）。 2. 实数概念与分类 定义：有理数和无理数统称实数。 · 分类1（按定义）： 有理数：有限小数、无限循环小数（整数、分数）； 无理数：无限不循环小数。 · 分类2（按正负）： 正实数：正有理数、正无理数； 0； 负实数：负有理数、负无理数。 3. 实数与数轴 · 一一对应：数轴上每一个点都对应唯一实数；每一个实数都对应数轴上唯一一点。 · 可在数轴上表示、等无理数（勾股定理构造直角三角形）。 4. 实数的性质（同有理数） 相反数：实数a的相反数是−a；的相反数−，π的相反数−π。 绝对值：绝对值表示数轴上点到原点距离，非负。 倒数：非零实数a的倒数；0没有倒数。 5. 实数大小比较 · 正实数> 0 >负实数； · 两个负实数：绝对值大的反而小； · 方法：数轴法、作差法、平方法（比较正数）、估算法。 四、实数的运算 1. 运算律：加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律，均适用于实数。 2. 运算顺序：先乘方、开方→再乘除→最后加减；有括号先算括号内。 3. 常见运算公式 · （易错：直接等于a）； · ()2=a（a≥0）； · ，。 1.混淆平方根与算术平方根：=4（算术），±=±4（平方根） 2.忽略的双重非负性（a≥0且≥0） 3.认为负数没有立方根（错，负数有唯一负立方根） 4.带根号即无理数（错，如、是有理数） 5.（不等于a） 1.平方根/算术平方根区分：求 “平方根” 写；求 “算术平方根” 只写。 2.被开方数非负：有意义⇒ a ≥ 0，常见用于求字母取值范围。 3. 必加绝对值：，再根据a正负去绝对值，别直接写成a。 4.立方根不用正负号，正负随原数：正数立方根正，负数立方根负。 5.无理数快速判断：无限不循环＝无理数：开方开不尽、含π、有规律但不循环小数。带根号不一定是无理数（如、是有理数）。 6.实数大小比较常用技巧 · 负数：绝对值大的反而小 · 都放数轴：右边＞左边 7.实数运算口诀：先开方、乘方，再乘除，最后加减；同类根式才能合并，无理数运算规则同有理数。 题型一 算术平方根、平方根的概念 【例1】（25-26七年级下·贵州遵义·月考）下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【答案】A 【详解】解∶A． ∵ ，根据算术平方根的定义可得，3是9的算术平方根，故本选项正确，符合题意； B． 0的平方根是0，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，∴ 81的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D． ∵ ，∴ 4的平方根是，即的平方根是，故本选项错误，不符合题意． 故选∶A． 【变式1-1】（25-26七年级下·吉林·月考）下列各数没有平方根的是（   ） A．4 B．0 C． D．10 【答案】C 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可求解． 【详解】解：∵只有非负数才有平方根，负数没有平方根，且，，都是非负数，是负数； ∴没有平方根 【变式1-2】（25-26七年级下·天津南开·月考）下列说法正确的是（    ） A．没有平方根 B．算术平方根是其本身的数是 C．的平方根是 D．的值一定是 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：A．当时，，此时有平方根，故该选项错误，不符合题意， B．算术平方根是其本身的数是和，故该选项错误，不符合题意， C．，没有平方根，故该选项错误，不符合题意， D．∵有意义， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故该选项正确，符合题意． 【变式1-3】（25-26七年级下·河南许昌·月考）下列结论：①是9的平方根；②的算术平方根是；③式子表示的是4的平方根；④2的平方根是；⑤16的算术平方根是4，其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根的定义，根据平方根与算术平方根的定义逐一判断每个结论即可得到答案． 【详解】①因为，所以是的平方根，该结论正确； ②负数没有算术平方根，所以没有算术平方根，该结论错误； ③ 表示的算术平方根，不是的平方根，该结论错误； ④因为，所以的平方根是，该结论正确； ⑤因为，所以的算术平方根是4，该结论正确． 综上所述，正确的结论是①④⑤． 故选：B 题型二 求一个数的平方根 【例2】（25-26七年级下·陕西·期中）有理数4的平方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据平方根的定义计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 的平方根为． 【变式2-1】（25-26七年级下·广东广州·月考）实数16的平方根是________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义：若一个数的平方等于（即），则叫做的平方根，一个正数有两个互为相反数的平方根．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴实数的平方根是． 【变式2-2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）的平方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是． 【变式2-3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则的平方根是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入计算得到的值，最后求该值的平方根即可． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， ， ， 的平方根为， 的平方根是． 题型三 利用平方根的定义求参数 【例3】（2026七年级下·吉林长春）已知的一个平方根是，则是______． 【答案】 【分析】根据平方根的求解即可得出结果． 【详解】解：∵的一个平方根是， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级下·河南信阳·月考）一个正数的平方根是和，则这个正数的值是___________． 【答案】49 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这个正数为． 【变式3-2】（25-26七年级下·广东东莞·月考）已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数． 【答案】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数为． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）已知一个正数的平方根是和． (1)求这个正数； (2)求的平方根． 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数求解即可； （2）根据（1）中所求a的值求出，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， ∴这个正数为； （2）解：∵，4的平方根为， ∴的平方根为． 题型四 利用平方根解方程 【例4】（25-26七年级下·广东汕头·月考）解方程： 【答案】， 【分析】根据平方根定义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得：． 【变式4-1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）求下列方程中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， 或， 或． 【变式4-2】（25-26七年级下·山东德州·月考）解方程： (1) (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【变式4-3】（25-26七年级下·陕西延安·月考）解方程： 【答案】或． 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 题型五 求一个数的算术平方根 【例5】（25-26七年级下·福建泉州·期中）____． 【答案】 5 【详解】解：∵， ∴． 【变式5-1】（25-26七年级下·广西南宁·期中）计算__________． 【答案】 2 【分析】先计算根号内的乘方，再根据二次根式的性质化简得到结果. 【详解】解： . 【变式5-2】（25-26七年级下·广东江门·月考）的算术平方根是______． 【答案】 【详解】解：， 的算术平方根是. 【变式5-3】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）求下列各数的算术平方根． (1)36； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2)0.09 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型六 利用算术平方根的非负性求解 【例6】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若x，y都是实数，且，则的值是________． 【答案】5 【分析】根据算术平方根的非负性，两个非负数的和为时，每一个非负数都为，据此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 将，代入得： ． 【变式6-1】（25-26七年级下·天津滨海新区·月考）若，则代数式_______． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据非负性可得到的值，将的值代入已知式子可求得的值，从而根据平方根的定义求解的平方根． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的平方根是． 【变式6-3】（2026七年级下·四川泸州·学业考试）若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“几个非负数的和为，则这几个数一定为”求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 即的值是． 题型七 估计算术平方根的范围 【例7】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）数据30的算术平方根（    ） A．在4~5之间 B．在5~6之间 C．在6~7之间 D．在7~8之间 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算，通过寻找与30相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定其范围. 【详解】解：∵， ∴数据30的算术平方根在5~6之间. 【变式7-1】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）与最接近的整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】确定的取值范围，再比较距离得到最接近的整数，运用算术平方根的大小比较性质求解． 【详解】解：∵ ， ，， ∵ ， ∴ 更接近． 【变式7-2】（2026·重庆巴南）若，其中为正整数，则______． 【答案】 【分析】先估算，再结合，为正整数，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，为正整数， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·浙江·月考）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 题型八 与算术平方根有关的规律探索 【例8】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）已知，则___________． 【答案】 【分析】被开方数的小数点向左（或向右）移动两位，那么其算术平方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】， ． 【变式8-1】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）若，则_____． 【答案】 【分析】当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位． 【详解】解：∵， ． 【变式8-2】（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）有一列数按如下规律排列：，，，，…，则第6个数是_____． 【答案】 【分析】先确定序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根，即可得出第个数． 【详解】解：∵，，，，，…， 序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分母为的序号数次方，分子为序号数加上的算术平方根， 第个数为． 【变式8-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）观察下列等式： 第一个等式为：；第二个等式为：；第三个等式为：；…根据等式所反映的规律，写出第四个等式为____________________． 【答案】 【分析】观察已知等式，总结等式的变化规律，推导得到第个等式的一般形式，再将代入即可得到第四个等式． 【详解】解：观察已知等式可得： 第个等式为，为正整数， ∴当时，，， 代入得第四个等式为：． 题型九 算术平方根的实际应用 【例9】（25-26七年级下·天津南开·月考）一个正方形的面积扩大为原来的倍，它的周长变为原来的______倍． 【答案】 【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为，原正方形的周长为， 面积扩大为原来的倍后，新正方形的面积为，新正方形的边长为， ∴新正方形的周长为， ∴周长变为原来的倍数为． 【变式9-1】（25-26七年级下·江苏南通·期中）如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式先求得剪掉的两个小正方形的边长，然后可知大正方形的边长，最后根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去剪掉的面积，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，剪掉的两个小正方形的边长分别为，； 由图可知，大正方形的边长为， 所以剩余部分的面积为． 【变式9-2】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间（单位：）与细线的长度（单位：）之间满足关系，当细线的长度为时，小重物来回摆动一次所用的时间是________． 【答案】 【分析】直接把代入关系式，即可求出t的值． 【详解】解：∵关系式， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级下·陕西榆林·月考）伞兵在高空跳离飞机往下降落，在打开降落伞前，下降的高度h（米）与下降的时间t（秒）的关系为（不计空气阻力），一个伞兵在打开降落伞前的一段时间内下降了490米，则下落的这段时间为_________秒． 【答案】10 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：当时，， 整理得 ， ∴下落的这段时间为10秒． 题型十 立方根的概念 【例10】（25-26七年级下·河南周口·月考）立方根等于它本身的数是（   ） A．0 B．1 C． D．0或 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义，需根据立方根的定义找出立方根等于自身的数． 【详解】解：∵， ∴0的立方根是0，即0的立方根等于它本身． ∵， ∴1的立方根是1，即1的立方根等于它本身． ∵， ∴的立方根是，即的立方根等于它本身． 综上，立方根等于它本身的数是0或， 故选：D． 【变式10-1】（25-26七年级下·广东茂名·期中）下列结论中，正确的是（   ） A．1的平方根是1 B．的算术平方根是 C．0没有立方根 D．的平方根是 【答案】D 【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误； B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误； C：∵，∴0的立方根是0，C错误； D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确． 【变式10-2】（25-26七年级下·福建·月考）下列哪个选项是假命题（   ） A．平方根等于它本身的数是0 B．算术平方根等于它本身的数是0、1 C．立方根等于它本身的数是、0、1 D．绝对值等于它本身的数是0 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根、绝对值的定义，根据对应定义逐一判断各选项命题的真假，即可找出假命题． 【详解】解：对于A选项：∵ 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是0， ∴ 平方根等于本身的数是0，A是真命题，不符合题意； 对于B选项：∵ 0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，其他数的算术平方根不等于本身， ∴ 算术平方根等于本身的数是0、1，B是真命题，不符合题意； 对于C选项：∵ ，，，其他数的立方根不等于本身， ∴ 立方根等于本身的数是、0、1，C是真命题，不符合题意； 对于D选项：∵ 正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0 ∴ 所有非负数的绝对值都等于本身，不只有0，因此D是假命题，符合题意． 故选：D． 【变式10-3】（25-26七年级下·天津·月考）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．的平方根是 C．是25的算术平方根 D． 【答案】B 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A.∵ ， ∴ 的平方根是，A错误； B.∵， ∴ 的平方根是，B正确； C.∵ 算术平方根是非负数，的算术平方根是， ∴ C错误； D.∵ ， ∴，D错误． 题型十一 利用立方根解方程 【例11】（25-26七年级下·内蒙古兴安·月考）求下列式子中的x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式11-1】（25-26七年级下·江西宜春·月考）求x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时开立方得到一个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】（25-26七年级下·四川南充·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）直接开平方即可求解； （2）直接开立方即可求解． 【详解】（1）解： ， 或； （2）解： ． 【变式11-3】（25-26七年级下·北京西城·月考）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解∶， ， ， 或． （2）解：， ， ， ． 题型十二 算术平方根与立方根综合应用 【例12】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知x的立方根是2，的算术平方根是2． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用立方根和算术平方根的定义即可求出x和y的值； （2）利用x和y的值求出，从而得出它的平方根． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得，； （2）由（1）得，， 的平方根是． 【变式12-1】（25-26七年级下·山东德州·月考）已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程可求出a的值；根据立方根的定义建立方程可求出b的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵某正数的两个不同的平方根是和， ∴， ∴； ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴4的平方根为，即的平方根为． 【变式12-2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，列出方程，再把解得代入计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和，的立方根为． ∴， 解得， ∴， ∴的算术平方根是． 【变式12-3】（25-26七年级下·江苏南通·月考）已知的立方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根及平方根的定义，解题的关键是根据立方根和算术平方根的定义建立方程求出的值．由的立方根是得，解得；由的算术平方根是4得，代入解得，再计算，最后由平方根的定义得的平方根是． 【详解】解：的立方根是， ， ， 的算术平方根是4， ， ， ， 的平方根是． 题型十三 与立方根有关的规律探索 【例13】（25-26七年级下·河南商丘·月考）已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 【变式13-1】（25-26七年级下·山东淄博·月考）如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式13-2】（25-26七年级下·重庆南岸·月考）若，则___________． 【答案】 293.8 【分析】本题考查了立方根的规律题，将25360000分解为25.36与1000000的乘积，再利用立方根的性质和已知条件计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：293.8． 【变式13-3】（25-26七年级下·山东潍坊·月考）已知，，那么约为（    ） A．21.54 B．215.4 C．46.42 D．464.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．利用立方根的性质，得，代入已知近似值计算． 【详解】解：∵， 又∵ ， ∴ ． 故选：A． 题型十四 立方根的实际应用 【例14】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）一个正方体的体积为27立方分米，则该正方体的棱长为（    ） A．分米 B．分米 C．3分米 D．9分米 【答案】C 【详解】分米， 所以该正方体的棱长为3分米． 【变式14-1】（25-26七年级下·四川成都·期末）一个正方体的体积扩大为原来的1000倍，则它的棱长扩大为原来的_______ 倍． 【答案】10 【分析】本题考查了正方体的棱长与体积的关系，解决本题的关键是熟练掌握正方体的棱长与体积的关系． 根据正方体的体积公式，体积扩大倍数与棱长扩大倍数的关系可通过立方根求解，由此可得结论． 【详解】解：设原正方体棱长为a，则体积为． 体积扩大为原来的1000倍，新体积． 设新棱长为，则， 因此． ∴棱长扩大为原来的10倍． 故答案为：10． 【变式14-2】（25-26七年级下·浙江温州·期末）一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，关键是熟练应用立方体的体积公式；金属块总体积不变，分成四个相同立方体，每个体积为总体积的四分之一，再根据立方体体积公式求棱长． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则，解得． 故答案为：． 【变式14-3】（25-26七年级下·江苏宿迁·月考）一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 题型十五 无理数的识别 【例15】（25-26七年级下·广西南宁·期中）下列实数中，是无理数的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A：是有限小数，属于有理数，不符合要求； 对于选项B：是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； 对于选项C：，是整数，属于有理数，不符合要求； 对于选项D：是分数，属于有理数，不符合要求． 【变式15-1】（2026·湖北襄阳）下列实数中，无理数是（   ） A．3.14 B．0 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵无限不循环小数叫做无理数， ∴是有理数，不符合题意， 是无理数，符合题意． 【变式15-2】（2026七年级·黑龙江齐齐哈尔）有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：是无限循环小数，是有理数，不符合要求； 2.1010010001…（每两个“”之间依次多个“”）是无限不循环小数，是无理数，符合要求； ，是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 其中无理数的个数为， 故选：C． 【变式15-3】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）在，0，，，，，，0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次加1个）中，无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断给出的数即可得到答案. 【详解】解：是分数，属于有理数；是整数，属于有理数；是循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数；是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数； 中是无理数，因此是无理数；是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数； （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，属于无理数． 故无理数共有个． 题型十六 无理数整数部分有关计算 【例16】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知满足等式，是的小数部分，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性可知，，得到x、y，然后根据，得到m，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵，即，是的小数部分， ∴的整数部分为2，即， ∴． 【变式16-1】（25-26七年级下·广东东莞·月考）已知的整数部分是a，小数部分是b，求的值． 【答案】3 【分析】先理解得的整数部分是1，小数部分为，然后代入计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是1， 即； ∴小数部分为，即， ∴． 【变式16-2】（25-26七年级下·广东揭阳·月考），分别表示的整数部分和小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可. 【详解】解∵，， ∴， ∴的整数部分， 小数部分， ∴. 【变式16-3】（25-26七年级下·浙江杭州·月考）设的整数部分为a，小数部分为b，则值为（   ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，进而得到的范围，求出整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， ∴， ∴. 题型十七 实数的分类 【例17】（25-26七年级下·广东东莞·月考）把下列各数填在相应的大括号内： ，，，，，， (1)有理数集合：{　　　　　　　　…}； (2)无理数集合：{　　　　　　　　…}； (3)分数集合：{　　　　　　　　…}； 【答案】(1)，，，， (2)， (3)，， 【分析】先化简，再根据有理数，无理数，分数的定义对各数逐一判断，即可完成分类． 【详解】（1）解： 有理数集合：{，，，，…}； （2）解：无理数集合：{，…}； （3）解：分数集合：{，，…}． 【变式17-1】（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 【变式17-2】（25-26七年级下·陕西榆林·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ，，，，，，，，，（相邻两个之间的逐次加） （1）整数集合：{ }； （2）正实数集合：{ }； （3）负有理数集合：{ }； （4）无理数集合：{ }； （5）非负整数集合：{ }． 【答案】（）；（）；（）；（）；（） 【详解】解：先化简各数：，， （）整数包括正整数，零，负整数，符合条件的数为； （）大于的实数是正实数，符合条件的数为； （）小于的有理数是负有理数，符合条件的数为； （）无限不循环小数是无理数，符合条件的数为； （）大于等于的整数是非负整数，符合条件的数为． 【变式17-3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①0；②；③；④；⑤；⑥20；⑦；⑧（相邻两个3之间依次多1个0） 负有理数：（                ）         正分数：（                ） 非负整数：（                ）         有理数：（                ） 【答案】；；； 【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，有理数也可分为正有理数，零和负有理数；无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． 【详解】解：． 负有理数：（） 正分数：（） 非负整数：（） 有理数：（） 题型十八 实数与性质 【例18】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）的平方根是______，的绝对值是______，的立方根是______． 【答案】 【分析】先化简已知二次根式，再根据平方根，绝对值，立方根的概念求解即可． 【详解】解：，的平方根为， 即的平方根是； ∵， ∴， ∴； 因为，，的立方根为， 即的立方根是． 【变式18-1】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）的相反数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义直接化简即可得到结果． 【详解】解：的相反数为． 【变式18-2】（（22-23七年级下·辽宁葫芦岛·期中）的绝对值是__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：． 【变式18-3】（（25-26七年级下·山东临沂·月考）的相反数是______． 【答案】 【详解】的相反数． 题型十九 实数与数轴 【例19】（2026·四川巴中）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察数轴可知点表示的数在和之间，分别估算各选项数值的大小，找出位于和之间的选项即可． 【详解】解：由数轴可知，， ， ，故选项A不符合题意； ， ，故选项B不符合题意； ， ，故选项C不符合题意； ， ，故选项D符合题意． 【变式19-1】（（2026·江苏盐城·一模）如图，数轴上的点A表示的无理数可能是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定点的取值范围，再估算各选项的数值进行判断． 【详解】解：由图可知，点在和之间，即． A．，，故A不符合； B．，，故B符合； C．，，，，即，故C不符合； D．，故D不符合． 【变式19-2】（25-26七年级下·广东河源·月考）如图，在数轴上表示的点可能是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】先估算的取值范围，然后结合数轴即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即在3和4之间， 结合数轴可知点Q满足条件，即B选项符合题意． 【变式19-3】（25-26七年级下·北京西城·月考）数轴上与距离为2的点所表示的数是________． 【答案】或 【分析】设所求点表示的数为，根据数轴上两点间距离的定义列出绝对值方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：设数轴上所求点表示的数为，根据数轴上两点间的距离等于两点对应数的差的绝对值， 可得 去绝对值得：或 解得或 题型二十 实数的大小比较 【例20】（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列实数中，最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正负性排除负数，再对剩余正数通过平方法比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，， ∴是最小的数， ∵，，，， 又∵正数的平方越大，原数越大， ∴ ∴最大的数是． 【变式20-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）比较大小：_____8．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【答案】 【分析】比较两个正数的大小，其中一个为二次根式，可将两个数分别平方，通过比较平方结果的大小推得原数的大小关系，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解：∵，， 又∵，两个正数中，平方更小的数原数更小， ∴． 【变式20-2】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）比较大小：_______（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】要比较与的大小，可转化为比较与的大小，利用平方比较法，两个正数中平方更大的原数更大，据此判断即可． 【详解】解：比较与的大小，等价于比较与的大小. ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式20-3】（25-26七年级下·四川成都·月考）比较大小：_____．（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】利用作差法比较两个数的大小，通过平方比较无理数的大小，进而得到答案． 【详解】解：计算两个数的差得， ，且， ， 则，即， ． 题型二十一 实数的混合运算 【例21】（25-26七年级下·四川泸州·期中）计算：． 【答案】 【分析】分别计算乘方、立方根、算术平方根和绝对值，再进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【变式21-1】（25-26七年级下·四川南充·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用乘方的意义，算术平方根和立方根定义，以及乘法法则计算即可求出值； （2）直接利用绝对值的性质，平方根和立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式21-2】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式21-3】（25-26七年级下·重庆垫江·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十二 新定义下的实数运算 【例22】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）我们规定，则的值为______． 【答案】 【分析】本题为新定义运算试题，解题思路为按照从左到右的运算顺序，先比较参与运算的两个数的大小，再根据给定规则代入计算，先得到前两个数的运算结果，再将结果与第三个数按照规则计算，即可得到最终结果． 【详解】解： ． 【变式22-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于a，b有，根据定义新运算，则________． 【答案】 【分析】根据新定义进行计算即可． 【详解】解：． 【变式22-2】（25-26七年级下·广西钦州·月考）定义新运算“”，规定，则的运算结果为_____． 【答案】2 【分析】根据题目给出的新运算法则代入计算即可． 【详解】解：根据新运算定义，将，代入得： ． 【变式22-3】（25-26七年级下·重庆·月考）对于a，b有，如．根据定义的新运算，计算：的值______． 【答案】 【分析】直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 题型二十三 实数运算的实际应用 【例23】（25-26七年级下·浙江温州·月考）如图，长方形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设面积为1的正方形的边长为a，面积为2的正方形的边长为b， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式23-1】（24-25七年级下·全国·周测）已知，则实数x的值为_____________________． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的计算，绝对值方程的解法，掌握若，则或是解题的关键． 根据绝对值的定义，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【详解】解：由绝对值的性质，可得 或． 解这两个方程，得或． 故答案为：或． 【变式23-2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 【变式23-3】（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 题型二十四 与实数相关的规律题 【例24】（25-26七年级下·湖北咸宁·月考）已知按照一定规律排成的一列实数：，…按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是_________． 【答案】 【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，每个数的被开方数与项数相等． 【详解】解：由已知条件可得，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，分组规律为：每组第一个为负平方根，第二个为正平方根，第三个为正立方根，且每个数的被开方数等于该项的项数． ， 第个数是第组的第个数，为负平方根，被开方数为，即． 【变式24-1】（25-26七年级下·山东德州·月考）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 【变式24-2】（25-26七年级下·安徽六安·月考）设，，，…，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 【变式24-3】（24-25七年级下·河北张家口·期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作就变为2．类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 【答案】256 【分析】本题主要考查了新定义运算，数字规律探索，无理数的估算，从后往前逆推操作过程，根据定义 表示不小于的最小整数，结合不等式关系确定每步操作前数值的最大可能值，从而得到的最大值 【详解】解：设第三次操作前的数值为，由，得，平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得，平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得，平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作，第三次操作 ，恰好三次操作后变为2． 故答案为：256． 学科网（北京）股份有限公司 $