精品解析：甘肃白银市第十中学2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试卷

2025-2026学年度第二学期高一数学学科6月月考试卷 一、单选题 1. 如图是H城市某路段监测到的上午7：00至8：00通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图，若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（ ）辆 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 2. 下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（ ） A. 若复数，的模相等，则，是共轭复数 B. 已知复数，，，若，则 C. 若关于x的方程（）有实根，则 D. 是关于x的方程的一个根，其中为实数，则 3. 若，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（ ） A. B. C. D. 6. 甲在A处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A处为10n mile的C处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h的速度航行，甲立即以14n mile/h的速度前去营救，甲最少需要（ ）小时才能靠近乙． A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 1.2 7. 在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若共面，共面，则共面 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 是偶函数 D. 在上恰有4个零点 11. 已知等腰梯形，，，P是该梯形内一点（含边界），，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，且，则实数的值为__________. 13. 函数的值域是_____. 14. 复数满足，，则__________. 四、解答题 15. 南京市某报社发起过建党周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和百分位数（结果保留一位小数）． 16. （1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 17. 如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. （1）证明：； （2）求直线和所成角的余弦值. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一数学学科6月月考试卷 一、单选题 1. 如图是H城市某路段监测到的上午7：00至8：00通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图，若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（ ）辆 A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】由直方图的数据可求出总车辆数，从而求出时速大于等于70的车辆数. 【详解】由直方图的数据可知，时速在的汽车的频数30， 频率为， 故总车辆数为100，故违章汽车为辆. 故选：B 2. 下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（ ） A. 若复数，的模相等，则，是共轭复数 B. 已知复数，，，若，则 C. 若关于x的方程（）有实根，则 D. 是关于x的方程的一个根，其中为实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例，，即可判断选项A，举出反例，可判断选项B，将方程转化得，由，解得值，代入即可求得，可判断选项C，将代入方程化简得，列方程组求出，可判断选项D. 【详解】若，，则，故A错误； 若，满足，故B错误； 若关于x的方程（）有实根，， 因为，所以，所以，故C错误； 将代入方程，得， 即，所以，得，故D正确. 故选：D. 3. 若，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的夹角，通过代入条件计算即可. 【详解】设与的夹角， 因为 所以 解得， 所以， 故选：B. 4. 已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件求出，再由投影向量公式计算即可求出答案． 【详解】因为，，， 所以， ， 故向量在向量上的投影向量为， 故选：A. 5. 已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角形的面积公式和余弦定理，化简得到，进而求得角的值. 【详解】因为的面积等于，可得， 整理得，即，即， 因为，所以. 6. 甲在A处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A处为10n mile的C处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h的速度航行，甲立即以14n mile/h的速度前去营救，甲最少需要（ ）小时才能靠近乙． A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 1.2 【答案】A 【解析】 【分析】设甲乙相遇在点B处，需要的时间为t小时，则，在△ABC中，由余弦定理求解． 【详解】解：设甲乙相遇在点B处，需要的时间为t小时，则， 又， 在△ABC中，由余弦定理得：， 则，即，解得或（舍去）， 故选：A． 7. 在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得. 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 故选：D. 8. 已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析； 【详解】因为， 当时，因为，则， 因为函数在上存在最值， 则，解得， 当时，， 因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得， 所以，解得， 又因为，则． 当时，； 当时，； 当时，． 又因为2，因此的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心； 二、多选题 9. 已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若共面，共面，则共面 【答案】AC 【解析】 【分析】应用线线位置关系，结合平行垂直及异面判断各个选项即可. 【详解】已知表示空间中三条不同的直线， 若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期是 B. 的图象关于点中心对称 C. 是偶函数 D. 在上恰有4个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得，然后由正弦型函数的性质，对选项逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为， 所以的图像关于点中心对称，所以B正确， 对于C，， 令， 则， 所以不是偶函数，故C错误， 对于D，由，得， 所以，或， 得或， 因为，所以，，，， 所以在上恰有4个零点，所以D正确， 故选：ABD 11. 已知等腰梯形，，，P是该梯形内一点（含边界），，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】如图，以为原点，所在的直线为轴，以过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据已知条件求出点的轨迹方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线为轴，以过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设， 过作于，过作于， 因为等腰梯形，，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为， 所以，化简得， 设直线AB的方程为，则，得， 由，得， 所以点的轨迹与直线交于点，恰为线段的中点， 对于，当时，， 得点的轨迹与交于点，恰为线段的中点，所以∥， 所以点的轨迹方程为， 对于A，因为， 所以，所以A正确， 对于B，因为点的轨迹为线段，∥，为的中位线， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，且，则实数的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程式，解得. 【详解】因为，，且， 所以，得. 故答案为：. 13. 函数的值域是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式转化为关于的二次型函数，结合正弦函数的有界性及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 又因为，所以，所以， 即函数的值域是. 14. 复数满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算以及模长公式求解即可. 【详解】设，则， 由，， 得，解得， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15. 南京市某报社发起过建党周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； （3）根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和百分位数（结果保留一位小数）． 【答案】（1） （2）人 （3），第百分位数为 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果； （2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可； （3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到；设第百分位数为，由百分位数的估计方法可直接构造方程求得结果. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 应从选出参加座谈会的人数为：人. 【小问3详解】 由题意得：； 假设第百分位数为，则， 解得：，即第百分位数为. 16. （1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解， （2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解. 【详解】（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得， 由，则， ， 由于，故 17. 如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. （1）证明：； （2）求直线和所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，在上取点，使，可得为异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ， 于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，，过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角A的大小； （2）法一：根据直角三角形角的关系可设，则PA，PD，PC均可用x表示，利用余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出的最小值；法二：由，，可知P，E，B，D四点共圆，从而表示，转化为求BP最小值，数形结合，当时，BP最小，在直角三角形中求出BP最小值即可求出DE的最小值；法三：以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，求出E点坐标，利用两点距离公式可求出DE的最小值． 【小问1详解】 在中，，． 由及正弦定理得，， 整理得． 由于，，则．又，故． 【小问2详解】 如图1，在中，， 且， 由正弦定理得，，即，得． 由于，则与B互补，故． 方法1：单变量法 设，则，，，． 则．当时，， 所以DE取得最小值为． 方法2：四点共圆 如图1，由，，故P，E，B，D四点共圆，且BP为该圆直径． 由正弦定理得， 故求DE的最小值等价于求BP的最小值．当时，BP最小， 此时，， 故DE取得最小值为． 方法3：建系坐标法 以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 如图2，则，， 直线BC：，直线AC：． 设，则，直线PE：． 联立方程，得， ． 当时，，所以DE取得最小值为． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． （3）若，当的周长最小时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角转化，三角函数的辅助角公式，结合三角形内角的范围求解； （2）利用正弦定理和三角恒等变换，把面积的取值范围转化为求角的正切值的取值范围，根据正切函数的单调性进行求解； （3）利用余弦定理用单一变量来表示三角形的周长，结合基本不等式进行求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. 【小问2详解】 由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． 【小问3详解】 由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $