精品解析：安徽合肥市肥西县肥西宏图中学2025-2026学年高一下学期第二次段考数学试题

2025～2026学年度（下）高一年级第二次段考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，且，则，的值分别为（ ） A. 1， B. 4，1 C. ，1 D. 1，3 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面 4. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 已知，与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，最大边与最小边之比为，则最大角为（ ）． A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分．） 9. 若复数，则（ ） A. 的共轭复数 B. C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 10. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. __________. 13. 若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_____. 14. 在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则___________. 四、解答题（共77分） 15. 在复平面内，复数（其中为虚数单位，）． （1）若复数z为纯虚数，求a的值； （2）若复数z>0，求a的值． 16. 在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈， （1）说明所得几何体的结构特征； （2）求所得几何体的表面积和体积． 17. 向量，，． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k． 18. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知． （1）求角A的大小； （2）已知，，求的面积． 19. 如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． （1）证明：平面； （2）在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度（下）高一年级第二次段考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，，且，则，的值分别为（ ） A. 1， B. 4，1 C. ，1 D. 1，3 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数相等的定义，列式求解即可. 【详解】因为，，且，则，，解得. 故选：C 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 圆心和圆上两点确定一个平面 D. 两条相交直线确定一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中平面公理即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,空间中三个不共线的点确定唯一的平面，故A错误， 对于B，一条直线以及直线外一点可以确定一个平面,故B错误， 对于C，圆心和不与圆心在同一直线上的两个点才可以确定一个平面，故C错误， 对于D，两相交直线可以确定一个平面，故D正确. 故选:D 4. 已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（ ）． A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且. 所以． 5. 已知，与的夹角为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积公式计算可得答案. 【详解】. 故选：A． 6. 若圆台上、下底的面积分别为，，高为2，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定条件结合圆台侧面积公式求解即可. 【详解】因为圆台上、下底的面积分别为，，设上底半径为，下底半径为， 所以，，解得，(负根舍去)， 设圆台母线为，由勾股定理得，且设圆台侧面积为， 故，故C正确. 故选：C 7. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由可计算出，再根据模长公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，最大边与最小边之比为，则最大角为（ ）． A. 45° B. 60° C. 75° D. 90° 【答案】C 【解析】 【详解】设C为最大角，则A为最小角，因为， 所以 ， 所以，所以． 又因为A为锐角，所以，． 二、多选题（每题6分，共18分，错选或多选不得分，少选得部分分．） 9. 若复数，则（ ） A. 的共轭复数 B. C. 复数的实部与虚部相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】先化简，再计算即可； 【详解】 选项A：，故正确； 选项B：，故正确； 选项C：，实部为，虚部为，故错误； 选项D：在复平面对应坐标为，在第四象限，故正确； 故选:ABD 10. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质和模长公式依次判断选项即可. 【详解】对选项A，由题意可知，，则， 故选项A正确； 对于选项B，， 故选项B错误； 对于选项C，， 则，故选项C正确； 对于选项D，，即， 故选项D错误. 故选：AC. 11. 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知条件得平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得平面，由此可判断B，C正确；由折叠而成，所以由知，从而判断D正确；假设，由线面垂直的判定定理可推得矛盾，判断A. 【详解】因为在平面BCD上的射影O恰好在CD上， 所以平面BCD．又平面BCD，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以， 又，CD，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 显然，由折叠而成，所以由知，故B，C，D正确； 假设，因为平面BCD，平面BCD，所以． 又，，平面，则得平面． 因为平面，所以，显然不成立. 所以假设不成立，故A错误． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法以及乘方运算可得结果. 【详解】易知. 故答案为： 13. 若∠AOB=120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_____. 【答案】60°## 【解析】 【分析】由题意可得的补角为a与OB所成角，结合补角的概念即可. 【详解】∵a∥OA，根据等角定理，又异面直线所成的角为锐角或直角， 所以的补角为a与OB所成角， 又, 所以a与OB所成角的大小为. ∴a与OB所成的角为60°. 故答案为：60° 14. 在平行四边形中，、分别为边、的中点，连接、，交于点.若（），则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】延长、相交于点，可得是的中点，由得，根据平面向量线性运算法则计算得到，可求得的值，即可得解. 【详解】延长、相交于点，因为，， 所以是的中点，所以， 因为，所以，所以， 所以 ， 又， 所以，故 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 在复平面内，复数（其中为虚数单位，）． （1）若复数z为纯虚数，求a的值； （2）若复数z>0，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得的值. （2）根据复数能比较大小列式，从而求得的值. 【小问1详解】 由于为纯虚数， 所以，可得． 【小问2详解】 由于与可以比较大小，所以为实数，且， 所以，可得． 16. 在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈， （1）说明所得几何体的结构特征； （2）求所得几何体的表面积和体积． 【答案】（1）所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体 （2）表面积为；体积为． 【解析】 【分析】（1）根据旋转体与圆锥和球的关系叙述即可； （2）根据圆锥、圆柱和球的表面积以及体积公式计算即可. 【小问1详解】 根据题意知，将所得平面图形绕直线旋转一圈后， 所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体； 【小问2详解】 该组合体的表面积为 ， 组合体的体积为 ． 17. 向量，，． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示和向量相等的条件，得方程组，解出m，n即可； （2）由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标表示求解即可. 【小问1详解】 向量，， 若，则有，解得； 【小问2详解】 ，， 由，则有，解得. 18. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知． （1）求角A的大小； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，正弦定理，及同角三角函数的关系即可求解； （2）根据余弦定理，及解一元二次方程可得到，进而根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 因为， 则由诱导公式得， 则由正弦定理得， 在中，有， 所以，即，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理有， 得， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以的面积为． 19. 如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． （1）证明：平面； （2）在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由正三棱柱的定义可知是等边三角形， 因为D为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以． 因为，平面，且， 所以平面 （2）存在点E， 【解析】 【分析】（1）利用正三棱柱的特征及线面垂直的判定证明即可； （2）先作于E点，利用线面垂直的判定证明面面垂直即可，再根据等面积法计算线段比即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 存在．在中，作，垂足为E，连接BE． 由（1）知平面，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面BCE，所以平面平面． 设，则，，故． 因为，所以， 则，， 所以． 故在上存在点E，使得平面平面，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $