精品解析：安徽滁州市第四中学2025-2026学年高一下学期第一次学习质量检测数学试卷

2025～2026学年下学期第一次学习质量检测 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 3. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 5. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则（ ） A. 或 B. C. D. 8. 若平面向量模长相等，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角是锐角 11. 在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（ ） A. B. 角B为钝角 C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 平面向量，满足，，，则______． 13. 平面向量，同向，，，则的坐标是______. 14. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，； （1）若，，，求； （2）若，，，求边. 16. 已知向量，． （1）求，的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量． 17. 如图，在平行四边形中，是的中点，． （1）用表示； （2）若，证明：． 18. 已知两个单位向量与的夹角为，设，. （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围. 19. 在中，内角的对边分别是，且， . （1）求角B； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年下学期第一次学习质量检测 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 2. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为平面向量，，且， 所以 . 3. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直， 所以，，， 所以. 所以. 4. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数乘与加法的坐标运算法则，计算的坐标，进而结合垂直向量的数量积为0建立关于的方程并求解. 【详解】由，，可得：， 所以. 由，得：， 代入坐标计算：， 解得. 5. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 6. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 7. 在中，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求得，由角的取值范围即可求得. 【详解】由正弦定理可知， 即， ∵，∴. 故选：C. 8. 若平面向量模长相等，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将给定向量等式变形后两边平方，结合三个向量模长相等的条件，利用向量数量积运算及夹角公式求解余弦值． 【详解】设。 由， 等式两边同时平方，， 等式两边同时除以，． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】CD 【解析】 【详解】基底向量由不共线的非零向量组成， 选项A：为零向量，A选项错误； 选项B：，共线，B选项错误； 选项C：，不共线，且不为零向量，C选项正确； 选项D：，不共线，且不为零向量，D选项正确. 10. 下列关于向量的命题，错误的是（ ） A. B. 在边长为的等边中， C. 若，则 D. 若，则向量，的夹角是锐角 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：，故，A选项正确； 选项B：等边三角形边长为，任意两边夹角为， 则，，B选项错误； 选项C：，即为相反向量，故，C选项正确； 选项D：当向量，的夹角为时，满足，D选项错误. 11. 在斜三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列正确的有（ ） A. B. 角B为钝角 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题干等式结合两角和公式和诱导公式可验证A，B，C选项；通过正弦定理可验证D选项. 【详解】由，得，得， 对于A，B，由，可得，因为， 且均不为，则，且不为，则或， 即或，因为为斜三角形，故，即角为钝角， 故A，B均正确； 对于C，由A项已得角为钝角，则，因为，故，故C错误； 对于D，由正弦定理，，又，将代入得，故D正确. 故选ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 平面向量，满足，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对两边平方可得，再计算从而可得结果. 【详解】由，两边平方可得，解得， 则，. 故答案为：. 13. 平面向量，同向，，，则的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】设，结合题意建立关于的方程并求解即可. 【详解】因为与同向，可设； 已知，代入得； 所以，解得； 故的坐标为. 14. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，； （1）若，，，求； （2）若，，，求边. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解； （2）由余弦定理可得关于的一元二次方程，求解即可. 【小问1详解】 若，，， 由余弦定理， ， 所以. 【小问2详解】 若，，， 由余弦定理， 则， 可得，解得或（舍去）. 16. 已知向量，． （1）求，的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）求在上的投影向量． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标规则，对应坐标分别运算； （2）根据平面向量夹角的坐标运算公式即可求解； （3）根据投影向量的计算公式即可求解． 【小问1详解】 ． ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 在上的投影向量为。 17. 如图，在平行四边形中，是的中点，． （1）用表示； （2）若，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及垂直关系的向量表示即可证明. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形，是的中点，， 所以， ． 【小问2详解】 证明：由（1）可知 ， 因为，所以， 则，即， 从而． 18. 已知两个单位向量与的夹角为，设，. （1）求最小值； （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得，，然后利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且，不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【小问1详解】 由题意， 因为，，所以 所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以最小值是； 【小问2详解】 因为，， 所以， 设，共线，即设， 因为向量与不共线， 所以，解得， 若与的夹角为钝角， 则，且， 解得的取值范围是. 19. 在中，内角的对边分别是，且， . （1）求角B； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 即， 即， 所以，因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由及余弦定理得，又，所以， 由得， 所以，所以，解得. 【小问3详解】 因为为的中点，所以， 则， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $