精品解析：安徽省合肥市肥西县宏图中学2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月月考）数学试题

宏图大地中学2024-2025学年度（下）高一年级 数学学科第一次段考试卷 命题人：李青； 审题人：董朝辉； 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 2. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，则（ ） A B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 6. 已知向量，．若，则（ ） A B. C. D. 7. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A. 若向量与不相等，则 B 若，则向量 C. 若向量与不共线，则与都是非零向量 D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 10. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 11. 已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（ ） A. 的周长为12 B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，，且，，则等于__________． 13. 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为_________（精确到整数位）（参考数据：） 14. 在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为_____． 四、解答题 15. 已知，，与的夹角.求： （1）在方向上的投影向量； （2）； （3）. 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 17. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宏图大地中学2024-2025学年度（下）高一年级 数学学科第一次段考试卷 命题人：李青； 审题人：董朝辉； 考试时间：120分钟； 试卷分值：150分. 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 2. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 3. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义可求得的值. 【详解】因为向量与的夹角为，，， 则，解得. 故选：C. 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，结合向量的夹角公式可求答案. 【详解】由模长公式， 由夹角公式. 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的坐标表示即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 6. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由模长公式即可求解； 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 故选：B 7. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求得答案. 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：A 8. 在中，，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理建立一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ） A. 若向量与不相等，则 B. 若，则向量 C. 若向量与不共线，则与都是非零向量 D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可； 【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确； 对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确； 对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确； 对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确， 故选：ABD. 10. 已知，，均为单位向量，且，则（ ） A. B. C. 当实数变化时，的最小值是 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，求出，计算可判断A的真假；利用计算可判断B的真假；利用结合二次函数的值域可判断C的真假；结合数量积的运算法则可判断D的真假. 【详解】由.得.解得（舍去）或. 因为、均为单位向量.则，故正确. ，故错误 ，当且仅当时取等号，故正确. 由.则，所以，整理得，即.故正确. 故选：ACD. 11. 已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（ ） A. 的周长为12 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，，且，，则等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列式求出，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，因为，所以， 解得，所以， 因为，所以， 解得，所以， 所以， 所以. 故答案为： 13. 月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，南北距离的长大约，则该月牙泉的面积约为_________（精确到整数位）（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理，求得三角形外接圆半径，利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】设的外接圆的半径为， 则，得， 因为月牙内弧所对的圆心角为， 所以内弧的弧长， 所以弓形的面积为， 以为直径的半圆的面积为， 所以该月牙泉的面积为． 故答案为： 14. 在中，内角所对的边分别为，若，，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边角转化得，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果. 【详解】∵，∴由正弦定理得， ∴，即， ∴，即， 由正弦定理得， ∵，∴， 由余弦定理得，得， ∴的面积． 故答案为：． 四、解答题 15. 已知，，与的夹角.求： （1）在方向上的投影向量； （2）； （3）. 【答案】（1） （2）88 （3）156 【解析】 【分析】（1）应用投影向量公式计算即可； （2）（3）应用数量积公式及运算律计算求解. 【小问1详解】 在方向上的投影向量为. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设． （1）用表示； （2）如果，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量； （2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， ； 【小问2详解】 因为，所以， 所以，由，可得， 又，所以， 所以． 17. 已知分别为三个内角的对边，向量，. （1）求； （2）若.求的面积. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示可得，利用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和定理、和差公式及辅助角公式即可求解； （2）利用向量的线性运算可得，结合题意由、向量数量积及面积公式即可求解. 【小问1详解】 因，所以， 所以， 所以， 所以， ，即， 又，故，即. 【小问2详解】 ，所以， ， , 又,即, , 或（舍）, 故. 18. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角； （2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知， 即， 又在中，， 则， 可得，即， 又由正弦定理可知， 即， 又， 所以； 小问2详解】 由（1）可得，， 则， 又在中，， 即， 由，，则， 所以当，即时，取最大值为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $