9.3 向量基本定理及坐标表示分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 分层设计科学，从基础概念到综合应用梯度递进，通过选择、填空、解答题系统巩固向量基本定理及坐标表示，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|基底概念、坐标表示、线性运算|直接考查基底判断（第1题）、向量分解（第2题），夯实基础，体现推理意识| |B层|坐标运算综合应用|结合向量数乘（第8题）、坐标求解（第7题），提升运算能力，衔接基础与综合| |C层|三点共线、平行四边形向量关系|多步骤解答题（第10题），需逻辑推理与综合应用，发展创新意识|

9.3　向量基本定理及坐标表示 A层 基础达标练 1.设{e1,e2}是平面内的一组基底,则下面的四组向量不能构成基底的是(　　) A.2e1+e2和e1-e2 B.3e1-e2和2e2-6e1 C.e1+3e2和e2+3e1 D.e1和e1+e2 2.已知向量a,b,c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,用基底{a,b}表示c,则(　　) A.c=-2a+3b B.c=2a-3b C.c=3a-2b D.c=-3a+2b 3.已知M(-2,7),N(10,-2),点P是线段MN上的点,且=-2,则点P的坐标为(　　) A.(-14,16) B.(22,-11) C.(6,1) D.(2,4) 4.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若+λ(λ∈R),则当点P在第三象限时,实数λ的取值范围为(　　) A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-1,+∞) 5.已知G是△ABC的重心,若=x+y(x,y∈R),则x-2y=(　　) A.-1 B.1 C. D.- 6.(多选题)在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD和DC的中点,BE与BF分别与AC交于M,N两点,则有(　　) A. B. C. D. B层 能力提升练 7.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c的坐标为　　　　.  8.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,则点M的坐标为　　　　.  9.如图,已知边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角,求的坐标. C层 拓展探究练 10.已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,=2e1+e2,=-e1+λe2,=-2e1+e2,且A,E,C三点共线. (1)求实数λ的值; (2)已知e1=(2,1),e2=(2,-2),点D(3,5),若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,求点A的坐标. 参考答案 1.B　对于A,可设2e1+e2=λ(e1-e2),可知λ=2且λ=-1,显然不成立,所以这两个向量可作为基底,同理可知,C,D选项中的两个向量都可构成基底;对于B,2e2-6e1=-2(3e1-e2),两向量共线,所以这两个向量不能构成基底.故选B. 2.C　建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3), 设c=xa+yb,则得x=3,y=-2,故c=3a-2b.故选C. 3.D　设P(x,y),则=(10-x,-2-y),=(-2-x,7-y), =-2, ∴点P的坐标为(2,4).故选D. 4.B　由已知得+=(5-2,4-3)+λ(7-2,10-3)=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ), 设点P(x,y),则=(x-2,y-3). 于是(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),即 又点P在第三象限,所以解得λ<-1.故选B. 5.D　由题意,画图如下: 由重心的定义,可知)=)=x+y, 所以则x-2y=-故选D. 6.BC　如图,连接BD,与AC交于点O,易得O为BD的中点,又由E,F分别是边AD和DC的中点,则M,N分别为△ABD和△BCD的重心,M,N是线段AC的三等分点,M,N分别是线段BE,BF的三等分点, 所以)=,故B正确,A错误;因为,所以,故C正确,D错误.故选BC. 7.(-23,-12)　由3a-2b+c=0,得c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12),∴c=(-23,-12).故答案为(-23,-12). 8.(0,20)　由题意得=(-2+3,4+4)=(1,8), ∴=3=(3,24). 设M(x,y),则=(x+3,y+4)=(3,24), ∴解得故点M的坐标为(0,20). 故答案为(0,20). 9.解 由题意知B,D分别是30°,120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义, 得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=,∴B; x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=,∴D ∵A(0,0),∴ ∴ 10.解 (1)=(2e1+e2)+(-e1+λe2)=e1+(1+λ)e2. ∵A,E,C三点共线,∴存在实数k,使得=k,即e1+(1+λ)e2=k(-2e1+e2),得(1+2k)e1=(k-1-λ)e2. ∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量, ∴解得k=-,λ=- (2)=-3e1-e2=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2). ∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形, ∴ 设A(x,y),则=(3-x,5-y), ∵=(-7,-2),∴解得 即点A的坐标为(10,7). 5 学科网（北京）股份有限公司 $