9.3.3 向量平行的坐标表示 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.3.3　向量平行的坐标表示 [课时跟踪检测] 1.下列各组向量中，能作为基底的是 (　　) A.e1=(0，0)，e2=(1，1) B.e1=(1，2)，e2=(-2，1) C.e1=(-3，4)，e2= D.e1=(2，6)，e2=(-1，-3) 解析：选B　A中，零向量与任意向量共线，故不能作为基底;C中，e1=-5e2;D中，e1=-2e2，向量e1与e2共线，不能作为基底;B中，e1与e2不共线，所以可作为一组基底. 2.若向量a=(，1)，b=(0，-2)，则与a+2b共线的向量可以是 (　　) A.(，-1) B.(-1，-) C.(-，-1) D.(-1，) 解析：选D　若向量a=(，1)，b=(0，-2)，则a+2b=(，1)+2(0，-2)=(，-3)=-(-1，)，D选项满足要求，而其他选项不合题意. 3.若向量a=(x，2)，b=，c=a+2b，d=2a-b，且c∥d，则c-2d= (　　) A. B. C.(1，2) D.(-1，-2) 解析：选D　由题意得c=a+2b=(x，2)+(1，2)=(x+1，4)， d=2a-b=(2x，4)-=， ∵c∥d，∴3(x+1)=4，解得x=1， ∴c=(2，4)，d=， ∴c-2d=(2，4)-(3，6)=(-1，-2). 4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 解析：选C　因为a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3，所以x=-3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±，故B、D错误. 5.设向量=(1，-2)，=(a，-1)，=(-b，0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则+的最小值为 (　　) A.4 B.6 C.8 D.9 解析：选C　=-=(a-1，1)，=-=(-b-1，2)， ∵A，B，C三点共线，∴∥. ∴2(a-1)=-b-1，∴2a+b=1. 又a>0，b>0，∴+=(2a+b) =2+2++≥4+2=8， 当且仅当 即a=，b=时取等号. 故+的最小值为8，故选C. 6.已知A(-1，2)，B(2，8)，C(0，5)，若⊥∥，则点D的坐标是 (　　) A. B. C. D. 解析：选A　设D(x，y)，则=(x+1，y-2)， =(x-2，y-8)，=(-2，-3). ∵⊥，∴-2(x+1)-3(y-2)=0，即2x+3y=4.∵∥，∴-3(x-2)=-2(y-8)， 即3x-2y=-10. 联立解得 ∴D.故选A. 7.(多选)已知向量a=(2，1)，b=(1，-1)，c=(m-2，-n)，其中m，n均为正数，且(a-b)∥c，下列说法正确的是 (　　) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b方向上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 解析：选CD　∵a=(2，1)，b=(1，-1)， ∴a·b=2-1=1>0，∴a与b的夹角为锐角，故A错误;∵a=(2，1)，b=(1，-1)，∴a·b=1，|a|=，|b|=，∴向量a在b方向上的投影向量为|a|··=b，故B错误; ∵a=(2，1)，b=(1，-1)，∴a-b=(1，2)， 又(a-b)∥c，c=(m-2，-n)， ∴-n=2(m-2)，∴2m+n=4，故C正确; ∵2m+n=4，而m，n均为正数， ∴mn=(2m·n)≤=2， 当且仅当2m=n，即m=1，n=2时等号成立， ∴mn的最大值为2，故D正确.故选CD. 8.(5分)已知向量a=(3x-1，4)与b=(1，2)平行，则实数x的值为　　　　.  解析：∵向量a=(3x-1，4)与b=(1，2)平行， ∴2(3x-1)-4×1=0，解得x=1. 答案：1 9.(5分)已知向量a=(-2，3)，b∥a，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为　　　 　.  解析：由b∥a，可设b=λa=(-2λ，3λ).设B(x，y)， 则=(x-1，y-2)=b. 由⇒又B点在坐标轴上， 则1-2λ=0或3λ+2=0，所以B或. 答案：或 10.(5分)已知向量a=(1，2)，b=(x，1)，u=a+2b，v=2a-b，且u∥v，则实数x的值为　　　　.  解析：因为a=(1，2)，b=(x，1)，所以u=a+2b=(1，2)+2(x，1)=(2x+1，4)，v=2a-b=2(1，2)-(x，1)=(2-x，3).又因为u∥v，所以3(2x+1)-4(2-x)=0，解得x=. 答案： 11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(-2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为　　　　.  解析：由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形. 设D(x，y)，则有=， 即(6，8)-(-2，0)=(8，6)-(x，y)， 解得(x，y)=(0，-2)，即D点的坐标为(0，-2). 答案：(0，-2) 12.(10分)如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(3，1)，C(4，3)，D(1，2)，M，N分别为DC，AB的中点，求的坐标，并判断是否平行. 解：由已知可得M(2.5，2.5)，N(1.5，0.5)， 所以=(2.5，2.5)，=(-2.5，-2.5). 又2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0，所以平行. 13.(10分)已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(5-x，-3-y). (1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件;(5分) (2)若=2，求x，y的值.(5分) 解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形， 所以A，B，C三点共线，所以∥. 由题意得=(3，1)，=(2-x，1-y)， 所以3(1-y)=2-x，即x-3y+1=0. 所以x，y满足的条件为x-3y+1=0. (2)由题意得=(-x-1，-y)， 由=2得(2-x，1-y)=2(-x-1，-y)， 所以解得 即x，y的值分别为-4，-1. 14.(10分)已知A(1，1)，B(-1，4)，C(a，b)，A，B，C三点共线. (1)求a与b满足的关系式;(5分) (2)若||=2||，求点C的坐标.(5分) 解：(1)因为A(1，1)，B(-1，4)，C(a，b)， 所以=(-2，3)，=(a-1，b-1). 因为A，B，C三点共线，则∥， 所以-2(b-1)=3(a-1)，即3a+2b-5=0. 故a与b满足的关系式为3a+2b-5=0. (2)因为A，B，C三点共线，||=2||， 所以=2或=-2. 当=2时，有(a-1，b-1)=2(-2，3)， 解得a=-3，b=7; 当=-2时，有(a-1，b-1)=(4，-6)， 解得a=5，b=-5. 所以点C的坐标为(-3，7)或(5，-5). 15.(15分)已知a=(1，1)，b=(0，-2)，当k为何值时： (1)ka-b与a+b共线;(6分) (2)ka-b与a+b的夹角为120°.(9分) 解：(1)因为a=(1，1)，b=(0，-2)， 所以ka-b=(k，k)-(0，-2)=(k，k+2)， a+b=(1，1)+(0，-2)=(1，-1). 因为ka-b与a+b共线， 所以k+2-(-k)=0，解得k=-1. (2)因为ka-b=(k，k+2)，a+b=(1，-1)， 所以|ka-b|=，|a+b|=， (ka-b)·(a+b)=k-(k+2)=-2. 因为ka-b与a+b的夹角为120°， 所以cos 120°= ==-. 化简得k2+2k-2=0，解得k=-1±. 学科网（北京）股份有限公司 $