9.3向量基本定理及坐标表示（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

9.3向量基本定理及坐标表示—题型专练 题型一 平面向量基本定理 和是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是( ) A．和 B．和 C．和 D．和· 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型二 用基底表示向量 1. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 1. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ） A． B． C． D． 1. 已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ） A． B． C． D． 1. 如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 1. 已知为所在平面内一点，，则　　 A． B． C． D． 1. 设点为中边上的中点，为边上靠近点的三等分点，则　　 A． B． C． D． 1. 梯形中，，且，对角线、相交于点．若，，　　 A． B． C． D． 1. 设为的边的中点，，则__________． 1. 中，点为上的点，且，若 ，则（    ） A． B． C． D． 1. 中，，是中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 1. 如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 1. 在中，点为边的中点，若，且，则　　． 1. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是　　 A．4 B．9 C．8 D．13 题型三 平面向量的坐标运算 1. 若，，则等于　　 A． B． C． D． 14. 已知向量，则等于　　 A． B． C． D． 15. 1．（已知，是单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 16. 已知向量，，，则（   ） A． B． C．5 D．25 17. （多选）已知向量，，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 18. 在边长为2的正方形中，是的中点，则（       ） A．2 B． C． D．4 19. 已知，则的坐标是 ． 20. 已知向量，，则　　 ． 21. 已知向量，满足，，则　　． 22. 已知正方形的边长为，为的中点，点在上，，则 ． 23. 已知点，，则的坐标为 ．. 24. 已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为 25. 已知向量，，则 ． 26. 已知向量，若，则 ． 27. 已知，，则 ． 题型四 向量共线的坐标表示 1. 已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 1. 向量，，．若三点共线，则的值为（    ） A． B．1 C．或11 D．2或 1. 与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 1. 已知向量，，若，则 ． 1. 已知向量，，且，则实数的值为 ． 1. 已知向量，且与共线，则实数 ． 1. 已知向量，，且，则实数的值为 ． 1. 已知向量，且，则 ． 题型五 向量坐标运算综合应用 1. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 1. 已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 1. 设，，，为平面内的四点，已知，，． （1）若四边形为平行四边形，求点的坐标； （2）若，，三点共线，，求点的坐标． 1. 已知向量，，． （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求与夹角的余弦值． 1. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 1. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点． （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标． 一、单选题 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A．0 B．－2 C．2 D．－4 4．已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 6．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，，.若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 10．已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知点是直线上的动点，在直线上的投影为，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 13．已知向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 14．如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 15．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ） A． B． C． D． 16．已知向量，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 17．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在上的投影向量是 18．已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 19．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．若在上的投影向量为 20．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 21．已知向量，若，则 ． 22．已知，，则点坐标为 ． 23．已知向量，若，则 . 24．已知，则的面积为 ． 25．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 26．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 27．在中，，，若为直角，则实数 . 28．如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 四、解答题 29．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 30．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 31．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 32．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； `(2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3向量基本定理及坐标表示—题型专练 题型一 平面向量基本定理 和是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是( ) A．和 B．和 C．和 D．和· 【解析】由题意和是表示平面内所有向量的一组基底， 选项中，存在一个实数使得，此两向量共线，故不能作为基底，可选； 选项中找不到一个非零实数使得成立，故不能选； 选项与选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底， 综上，选项中的两个向量不能作为基底． 故选：． 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底．故正确． 故选：． 【变式1-1】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底． 故选：C 若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选； 对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选； 对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C； 对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C 下列各组向量中，可以作为基底的是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】对于，因为，与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故错误； 对于，因为，两向量共线，不能做基底，故错误； 对于，因为，两向量共线，不能做基底，故错误； 故选：． 题型二 用基底表示向量 1. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以.故选：C. 1. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A． 1. 已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意所以2，① 同理得2即2.② ①×2＋②得4+2，即3，所以.故选：B. 1. 如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点为中点，所以，又，， 所以 故选：C． 1. 已知为所在平面内一点，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由于， 利用向量的线性运算，， 整理得：． 故选：． 1. 设点为中边上的中点，为边上靠近点的三等分点，则　　 A． B． C． D． 【解析】如图，为中点，为靠近的三等分点，，． 故选：． 1. 如图，梯形中，，且，对角线、相交于点．若，，　　 A． B． C． D． 【解析】，， 且， 则，，而， ， 故选：． 1. 设为的边的中点，，则__________． 【解析】如图， 为的边的中点， ， 又， ． 故答案为：． 1. 中，点为上的点，且，若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 , 又，故，故，故选:B 1. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 ∵，∴， ∴． ∵A，P，D三点共线，∴． ∵，∴． ∵E是边AB的中点，∴． ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故． 故选：A． 1. 如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近的四等分点，CD与AE交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接DE， 由题意可知，，所以，则， 所以，所以， 则， 故． 又，所以，则． 故选：A 1. 在中，点为边的中点，若，且，则　　． 【解析】点为边的中点， ，即 由此可得 ，且， 存在实数，使，即 由此可得，得到，所以 故答案为：1 1. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是　　 A．4 B．9 C．8 D．13 【解析】是线段上一点，，，三点共线， ，，且，， ， 当且仅当，即，又，，时取等号． 的最小值为9． 故选：． 题型三 平面向量的坐标运算 1. 若，，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】由，， 则． 故选：． 14. 已知向量，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】向量，则， 故选：． 15. 1．（已知，是单位向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为，是单位向量，所以，所以， 所以，所以，故选：D 16. 已知向量，，，则（   ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【解析】由，可得 由，可得 又，则，解之得故选：C 17. （多选）已知向量，，，，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】对于A选项，已知，则，解得，故A选择正确； 对于B选项，，由于，则，解得，故B选择正确； 对于C选项，由于，则，得，解得，故，故C选择不正确； 对于D选项，， ， 当时等号成立，即的最小值为，故D选项正确.故选：ABD 18. 在边长为2的正方形中，是的中点，则（       ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【解析】在平面直角坐标系中以为原点，所在直线为轴建立坐标系，则，，，，所以，故选：A 19. 已知，则的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以． 故答案为：． 20. 已知向量，，则　　． 【解析】，， ，，，， 故答案为：． 21. 已知向量，满足，，则　　． 【解析】，， 则，， 故，，，． 故答案为：． 22. 已知正方形的边长为，为的中点，点在上，，则 ． 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则、、、、， 因为，则，可得，， 所以． 故答案为：． 23. 已知点，，则的坐标为 ． 【答案】 【解析】设点的坐标分别为． 由题意得，． 因为， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以，解得， 所以， 所以． 故答案为：． 24. 已知平面直角坐标系内一点，向量，向量，那么中点坐标为 【答案】，， 【解析】设，，，， 由题意可知，， 解得，， ，， 中点坐标为，， 25. 已知向量，，则 ． 【答案】 【解析】由题意可得：， 所以， 故答案为： 26. 已知向量，若，则 ． 【答案】． 【解析】因为向量， 若，则，解得， 即，所以． 故答案为：． 27. 已知，，则 ． 【答案】10 【解析】因为，，则， 所以． 故答案为： 题型四 向量共线的坐标表示 1. 已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，，所以，又， 所以，解得.故选：B 1. 向量，，．若三点共线，则的值为（    ） A． B．1 C．或11 D．2或 【答案】C 【解析】由题可得：， . 因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.故选：C. 1. 与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】因为与向量平行的单位向量是，,所以,故选：D 1. 已知向量，，若，则 ． 【答案】或 【解析】因为向量，，且，则， 即，解得或． 故答案为：或． 1. 已知向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意得， ． 因为， 所以，解得． 故答案为：． 1. 已知向量，且与共线，则实数 ． 【答案】或 【解析】， 由于与共线，所以， 即，解得或． 故答案为：或 1. 已知向量，，且，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】根据题意得， ． 因为， 所以，解得． 故答案为：． 1. 已知向量，且，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 题型五 向量坐标运算综合应用 1. 设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】延长到，使，延长到，使，连接， 因为，所以， 所以为的重心， 所以设，则，, 所以, 所以， 故选：D 1. 已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，AD交BC于点E， ，设. 由B，E，C三点共线可得，解之得 ∴，则 ∴.设，则， 又，则 ∴，∴. 故选：C 1. 设，，，为平面内的四点，已知，，． （1）若四边形为平行四边形，求点的坐标； （2）若，，三点共线，，求点的坐标． 【解析】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以． 1. 已知向量，，． （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若，求与夹角的余弦值． 【解析】（Ⅰ），，， 则，， ，则，解得； （Ⅱ）设与夹角的余弦值为，，， ，， ，则，解得， ，， 则，， 故． 1. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 1. 在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点． （1）若，，三点共线，求的值； （2）若向量与的夹角为，求的值； （3）若四边形为矩形，求点坐标． 【解析】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 一、单选题 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，再根据坐标法计算其模. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：D 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标表示可求出实数的值. 【详解】因为向量，，且，则，解得， 故选：C. 3．已知，则（   ） A．0 B．－2 C．2 D．－4 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标运算可得答案. 【详解】因为， 所以． 故选：A 4．已知平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据向量基本定理分解向量即可. 【详解】 . 故选：A. 5．已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理即可根据求解. 【详解】向量不共线，且， 则有解得所以． 故选：D． 6．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 7．如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意，为线段的中点， 则 ． 故选：D． 8．已知向量，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及模长公式，求得，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，则， 所以，又，所以， 故选：A. 9．已知向量，，.若，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】利用向量垂直坐标运算性质求解即可． 【详解】因为向量，，所以， 所以，解得. 故选：B. 10．已知向量，，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由，，，， 由得，解得. 故选：C. 11．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量共线的向量坐标运算列式求得或，再根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】向量，，由，得， 解得或，由能推出或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 12．已知点是直线上的动点，在直线上的投影为，则的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的几何意义可得，设出点的坐标，将问题转化为求二次函数的最小值，再结合二次函数最小值的求解办法，求解即可. 【详解】根据题意，作图如下所示： 因为点在直线上，故可设点的坐标为， 根据向量数量积的几何意义，易知， 又，， 故，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故选：B. 13．已知向量，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】应用向量数量积的运算律及已知条件得，再由数量积的坐标表示列方程求参数. 【详解】将两边同时平方，得，整理得. 因为，解得. 故选：B 14．如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量线性运算可得，根据平面向量基本定理得，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 15．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 16．已知向量，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解. 【详解】因为，得到，化简得，所以， 又，所以，得到， 所以，则，， 所以的面积为， 故选：A. 二、多选题 17．已知向量，则（    ） A． B．向量的夹角为 C． D．在上的投影向量是 【答案】BD 【分析】由向量垂直的坐标表示计算即可求出判断A；由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解判断B；由向量模长公式即可计算求解判断C；由投影向量公式计算即可求解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，故A错误； 对于B，由A可得， 又，故，即向量的夹角为.故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量是，故D正确. 故选：BD. 18．已知向量，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．已知，若，则 D．与夹角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 19．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．若在上的投影向量为 【答案】AD 【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由已知可得，，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 20．如图，在四边形中，，为的中点，与交于点，与交于点，设，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．若，则 【答案】AC 【分析】对于A，根据条件，利用几何关系得到，即可判断选项A的正误；选项B，先假设，从而可得，与题设条件相矛盾，即可判断选项B的正误；选项C，结合条件，利用向量的中线公式，即可求解；选项D，法一，设，根据条件，利用向量的线性质运算，再结合条件，即可求解；法二，利用共线向量定理的推论，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，且， 所以，所以，故选项A正确， 对于选项B，若，则为的中点，因为为的中点， 所以，与相交于点矛盾，故选项B错误， 对于选项C，因为为的中点，所以，故选项C正确， 对于选项D，解法一：由题意可设，， 所以， 又，所以，，所以，故选项D错误， 解法二：因为三点共线，所以，且， 又，，所以，，，故选项D错误， 故选：AC. 三、填空题 21．已知向量，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用共线向量的坐标表示，列式计算得解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为：3 22．已知，，则点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设，利用向量的线性坐标运算列式求解即可. 【详解】设，则 ，， 由，得解得故． 故答案为： 23．已知向量，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】依题意，，则，所以. 故答案为： 24．已知，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【详解】因为，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 25．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】结合三点共线的向量形式，利用向量基本定理得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故答案为：4 26．已知.若的夹角为钝角，则的范围为 . 【答案】且 【分析】由已知且与不平行，结合向量的坐标运算可得出的取值范围. 【详解】若，的夹角为钝角，则，且与不平行， 即，且，求得且， 故答案为： 且. 27．在中，，，若为直角，则实数 . 【答案】 【分析】计算的坐标，根据垂直利用数量积为0可求的值. 【详解】由题意得，， ∵为直角，∴，即，解得. 故答案为：. 28．如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 四、解答题 29．如图，的内角的对边分别为是边的中点，点在边上，且满足与交于点． (1)试用表示和； (2)若，求． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 设，所以， 又三点共线，所以，解得， 所以. （2）因为， 设， 又三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 30．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得，所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 31．如图，在平行四边形中，对角线相交于点，设. (1)以为基底表示和； (2)将平行四边形放到平面直角坐标系中，若点，且与共线，求实数的值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何图形求得结果. （2）利用向量坐标表示及共线向量的坐标表示列式求解. 【详解】（1）在中，对角线相交于点，则； 由，得. （2）由，得， 由与共线，得，所以. 32．如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． (1)用表示； (2)若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）点满足，点是边上的中点， 故， ； （2）点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$