9.2.3 向量的数量积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

**基本信息** 同步练习按A、B、C三层设计，题量6:3:1，梯度从基础运算到综合应用再到拓展探究，强化向量数量积概念理解与运算能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|数量积基本运算、单位向量、投影向量、运算律|单选+多选题，直接考察概念与基础运算，培养运算能力| |B层|多向量模长计算、最值问题、夹角与投影综合|填空+解答题，需方程思想与综合运算，发展推理能力| |C层|参数范围探究、夹角为钝角的分类讨论|解答题，含批判性思维（排除反向共线），提升创新意识|

9.2.3　向量的数量积 A层 基础达标练 1.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 2.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(　　) A.a是单位向量 B.∥b C.a·b=1 D.⊥(4a+b) 3.设e为单位向量,|a|=4,当a,e的夹角为时,a在e上的投影向量为(　　) A.-e B.e C.e D.2e 4.在四边形ABCD中,,且()·()=0,则四边形ABCD为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 5.(多选题)已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是(　　) A.a·b=b·a B.(λa)·b=a·(λb) C.(a+b)·c=a·c+b·c D.(a·b)·c=a·(b·c) 6.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·(a-2b)=2,则a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° B层 能力提升练 7.已知不共线的平面向量a,b,c两两所成的角相等,且|a|=1,|b|=4,|a+b+c|=,则|c|=　　　　　.  8.已知e1,e2是单位向量,其夹角为,若|me1+ne2|=(m,n∈R),则m+2n的最大值为　　　　.  9.已知|a|=5,|b|=2,(a+3b)·(a-2b)=6. (1)求a与b的夹角; (2)若向量c为a在b上的投影向量,求|a+c|. C层 拓展探究练 10.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,设m=3a-b,n=ta+2b. (1)求a·b; (2)试用t来表示m·n的值; (3)若m与n的夹角为钝角,试求实数t的取值范围. 参考答案 1.B　因为向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3.故选B. 2.ABD　因为△ABC是边长为2的等边三角形,所以||=2,又=2a,所以a是单位向量,故选项A正确; 因为=2a,=2a+b,所以=b,所以b,故选项B正确; 因为a=,b=,所以a·b=2×2×cos 120°=-1,故选项C错误; 因为b=,a·b=-1,所以(4a+b)=b·(4a+b)=4a·b+b2=-4+4=0, 所以(4a+b),故选项D正确. 故选ABD. 3.D　因为e为单位向量,|a|=4,a与e的夹角为,所以a在e方向上的投影向量为|a|cose=2e.故选D. 4.C　由,可得四边形ABCD是平行四边形.由()·()=0,得=0,,所以||=||,所以四边形ABCD为菱形.无法判断其是不是矩形、正方形.故选C. 5.ABC　由向量数量积的运算律可知选项A,B,C正确; 对于D,令m=a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,a·(b·c)=na,又a,c均为任意向量,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选ABC. 6.B　因为a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2a·b=4-2a·b=2,所以a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cos θ=因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.故选B. 7.2或3　∵平面向量a,b,c不共线,且两两所成的角相等,∴它们两两所成的角为120°. ∵|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos 120°+2|b||c|cos 120°+2|a||c|cos 120°, 又|a|=1,|b|=4,|a+b+c|=,∴|c|2-5|c|+6=0, 则|c|=2或|c|=3. 故答案为2或3. 8.2　已知e1,e2是单位向量,其夹角为,则e1·e2=|e1||e2|cos 由等式|me1+ne2|=两边平方得2=(me1+ne2)2=m2+2mne1·e2+n2=m2+mn+n2=m2, =2-m2≤2,可得-m+n, ∴-2m+2n≤2 因此,m+2n的最大值为2故答案为2 9.解 (1)设a与b的夹角为θ,因为|a|=5,|b|=2, 所以(a+3b)·(a-2b)=a·a+a·b-6b·b=|a|2+|a||b|cos θ-6|b|2, 所以52+5×2cos θ-6×22=6,即cos θ=, 又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为 (2)因为c=b, 所以|a+c|= = = 10.解 (1)a·b=1×2×cos 60°=1. (2)m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2=3t+6-t-2×4=2t-2. (3)由于m与n的夹角为钝角,所以m·n<0且m与n不平行. m·n<0⇒2t-2<0⇒t<1, m∥n⇒3×2=-1×t⇒t=-6, 于是实数t的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,1). 4 学科网（北京）股份有限公司 $