9.2.3 第1课时 向量的数量积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（苏教版）

9.2.3 第1课时 向量的数量积 [课时跟踪检测] 1.在等腰Rt△ABC中，若C=90°，AC=，则·的值等于 (　　) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析：选B　·=||||cos B=2××cos 45°=2. 2.已知a，b是互相垂直的单位向量，若c=a-2b，则b·c= (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.2 解析：选A　b·c=b·(a-2b)=b·a-2b2=0-2=-2.故选A. 3.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影向量的模为 (　　) A.2 B. C.2 D.4 解析：选C　因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×=4××=b，所以a在b的方向上的投影向量的模为|b|=2，故选C. 4.已知|a|=3，|b|=6，当a∥b时，a·b= (　　) A.18 B.-18 C.±18 D.0 解析：选C　若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b=|a||b|cos 0°=3×6×1=18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b=|a||b|·cos 180°=3×6×(-1)=-18. 5.已知|a|=|b|=1，向量a与b的夹角为60°，则|3a-4b|= (　　) A.5 B.13 C.3 D. 解析：选D　因为|3a-4b|2=(3a-4b)2 =9|a|2+16|b|2-24a·b =9×12+16×12-24×1×1×=13，所以|3a-4b|=，故选D. 6.在四边形ABCD中，=，且(+)·(-)=0，那么四边形ABCD为 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 解析：选C　由=，可得四边形ABCD是平行四边形.由(+)·(-)=0，得-=0，即=，所以||=||.所以四边形ABCD为菱形.故选C. 7.已知a，b是单位向量，c=a+2b，若a⊥c，则|c|= (　　) A.3 B. C. D. 解析：选C　因为a，b是单位向量，所以|a|=|b|=1.又a⊥c⇒a·c=0，即(a+2b)·a=a2+2a·b=0⇒a·b=-.又c=a+2b⇒|c|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=1-2+4=3，所以|c|=. 8.我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则·= (　　) A.9 B.-9 C.12 D.-12 解析：选B　由题意可知，AD=5，HE=1，设AH=x，由勾股定理可得(x+1)2+x2=52，解得x=3，所以sin∠ABH==cos∠GBC，所以·=||||cos(π-∠GBC)=5×3×=-9. 9.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设=2a，=b，则下列结论正确的是 (　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 解析：选CD　分析知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角是120°，故B错误；∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=3，∴|a+b|=，故A错误；∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0，∴(4a+b)⊥b，故C正确；a·b=1×2×cos 120°=-1，故D正确. 10.已知|a|=，b是非零向量，e是与向量b方向相同的单位向量，向量a在向量b上的投影向量为-e，则a与b的夹角为 (　　) A.45° B.60° C.120° D.135° 解析：选D　设向量a与b的夹角为θ.由题意可知向量a在向量b上的投影向量为e，则e=-e，所以=-1，即cos θ=-1， 所以cos θ=-.因为0°≤θ≤180°，所以θ=135°. 11.(5分)若|a|=3，|b|=4，a·b=-12，则向量a和b的夹角为　　　　　.  解析：设向量a和b的夹角为θ， 则cos θ===-1. 因为0°≤θ≤180°，所以θ=180°. 答案：180° 12.(5分)已知△ABC中，BC=7，AC=8，C=60°，则·=　　　　.  解析：因为C=60°，BC=7，AC=8，所以·=-·=-7×8×cos 60°=-28. 答案：-28 13.(5分)已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α-2β)，则|2α+β|的值是　　　　.  解析：由α⊥(α-2β)知，α·(α-2β)=0，则2α·β=1，所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10.故|2α+β|=. 答案： 14.(15分)在△ABC中，已知||=5，||=4，||=3，求： (1)·；(5分) (2)在上的投影向量；(5分) (3)在上的投影向量.(5分) 解：(1)因为||=5，||=4，||=3， 所以||2+||2=||2，即AC⊥BC， 所以cos B==. 所以·=||||cos(π-B)=5×4×=-16. (2)由(1)知，AC⊥BC，所以cos A==， 所以在上的投影向量为 ||cos A·=3××=. (3)由(1)知，cos B=， 所以在上的投影向量为||cos (π-B)·=5××=-. 15.(15分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2. (1)求|a|；(5分) (2)若a⊥(a+b)，求实数λ的值.(10分) 解：(1)由题意知，e1·e2=1×1×cos=. 因为a=3e1+4e2，所以|a|====. (2)因为向量a=3e1+4e2，b=2e1+λe2， 所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ. 因为a⊥(a+b)， 所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0， 解得λ=-. 学科网（北京）股份有限公司 $