9.2.3 向量的数量积(1) 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

9.2.3 向量的数量积(1) 同步测试-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 一、单项选择题 1 (2024辽阳月考)在正六边形ABCDEF中，向量与的夹角为(　　) A. B. C. D. 2 (2025广州期中)若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为，则m·n等于(　　) A.12 B.12 C.－12 D.－12 3 (2025苏州期中)已知|a|＝2|b|＝2，a·b＝－1，则向量a与b的夹角是(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 4 已知向量a，b满足2≤a·b≤4，且|a|＝2，则|b|的取值范围是(　　) A.(0，1) B.[1，＋∞) C.[2，＋∞) D.[0，2] 5 (2025四川川南地区名校期中联考)已知等边三角形ABC的边长为2，＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a的值为(　　) A.3 B.－3 C.6 D.－6 6 (2025昆明期中)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且b在a上的投影向量为a，则a，b夹角的余弦值为(　　) A.－ B. C.－ D. 二、多项选择题 7 (2025包头期末)已知平面向量a，b，c两两之间的夹角相等，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　) A.3 B.－3 C. D.－ 8 (2025成都棠湖期中)八卦是中国文化的基本哲学概念，图1为八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则下列结论中正确的有(　　) 图1 图2 A.·＝－ 　　 B.＝ C.·＝·　 　　D.||＝|| 三、填空题 9 (2025石嘴山三中月考)在△ABC中，D是BC上一点，且满足BD＝2CD，AD⊥BC，则在方向上的投影向量是________．(用表示) 10 已知||＝1，||＝4，且·＝2，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积是________． 11 北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界(如图1)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点(包含边界)，则·的最大值是________． 图1 图2 四、解答题 12 已知|a|＝2，|b|＝5. (1) 若a∥b，求a·b的值； (2) 若a⊥b，求a·b的值； (3) 若a，b的夹角为60°，求a·b的值． 13 如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，＝λ(<λ<1)，过点F作DF⊥BC交AC于点D，交BA的延长线于点E. (1) 当λ＝时，设＝a，＝b，用向量a，b表示； (2) 当λ为何值时，·取得最大值？并求出最大值． 参 考 答 案 1.B　如图，设AD与BE交于点O，由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形，所以∠OAB＝，即向量与的夹角为. 2.D　由题意，得m·n＝|m||n|cos ＝4×6×＝－12. 3.C　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即向量a与b的夹角是120°. 4.B　设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ＝2|b|cos θ，所以1≤|b|cos θ≤2.又0<cos θ≤1，所以|b|≥1. 5.D　如图，由题意，得a，b的夹角为120°，a，c以及b，c的夹角也为120°，所以a·b＝2×2cos 120°＝－2，同理b·c＝c·a＝－2，故a·b＋b·c＋c·a＝－6. 6.B　设向量a，b的夹角为θ，则|b|cos θ＝a，所以cos θ＝＝＝. 7.AD　因为向量a，b，c两两之间的夹角相等，所以夹角为0或.当夹角为0时，a·b＋b·c＋c·a＝|a|·|b|＋|b|·|c|＋|c|·|a|＝3；当夹角为时；a·b＋b·c＋c·a＝|a|·|b|cos ＋|b|·|c|cos ＋|c|·|a|cos ＝－－－＝－.故选AD. 8.ACD　由正八边形的几何性质，得每个中心角均为45°，OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，故D正确；·＝1×1×cos 135°＝－，故A正确；与的方向相反，故B错误；·＝1×1×cos 45°＝，·＝1×1×cos 45°＝，则·＝·，故C正确．故选ACD. 9.　由·＝||·||cos B，得＝||cos B．又AD⊥BC，则||cos B＝||.又BD＝2CD，则||＝2||，即||＝||，所以＝||，故向量在方向上的投影向量是·＝||·＝. 10.2　由·＝4cos ∠AOB＝2，得cos ∠AOB＝.又0≤∠AOB≤π，所以∠AOB＝，所以该平行四边形的面积S＝2S△OAB＝2××1×4×sin ＝2. 11.　·＝||·||·cos ∠PAB＝(||·cos ∠PAB)·||，当点P在点C处时，||·cos ∠PAB有最大值，此时||＝2×1×cos 30°＝，·＝||·||·cos 30°＝×1×＝，所以·的最大值是. 12.(1) 当a∥b时， 若a，b同向，则它们的夹角为0°， 此时a·b＝|a||b|cos 0°＝10； 若a，b反向，则它们的夹角为180°， 此时a·b＝|a||b|cos 180°＝－10. 综上，a·b的值为10或－10. (2) 若a⊥b，则它们的夹角为90°， 所以a·b＝|a||b|cos 90°＝0. (3) 若a，b的夹角为60°， 则a·b＝|a||b|cos 60°＝5. 13.(1) 由题意可知＝b， 所以||＝3×＝2， 所以||＝2||＝4， 所以＝＝a， 所以＝－＝－a＋b. (2) 由题意，得||＝3λ，||＝3－3λ， ||＝6λ， 所以||＝6λ－3， 所以·＝(6λ－3)(3－3λ)cos 60°＝－9λ2＋λ－， 所以当λ＝－＝∈时，·有最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $