第1、2章 数学与我们同行、有理数 -2026-2027学年苏科版七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 以“概念生成-运算深化-综合应用”为主线，系统整合数学与生活联系及有理数知识，提炼拆项法、倒数法等实用技巧，强化数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念认知|10+基础题|正负数意义、数轴三要素|从生活观察引入有理数，通过数轴构建数与形联系| |运算技能|15+运算题|加减统一转化、乘除符号法则|从单一运算到混合运算，强化符号处理与顺序规则| |综合应用|20+优质题|拆项法、倒数法、数轴动点分析|结合规律探究、新定义运算等，培养推理与应用意识|

第1、2章 数学与我们同行、有理数 思维导图 第1章 数学与我们同行 1.1 生活 观察 1. 数学来源于生活：生活中处处存在数学，从日常消费的收支计算、房屋装修的面积测量，到出行路线的规划设计，都离不开数学知识的应用，数学帮助我们解决生活中的实际问题。 2. 观察的方法与意义：观察是获取数学信息的基础方法，需要结合目的有顺序、有重点地对事物进行查看，比如观察商品包装上的数字信息、图形图案的规律，从观察中发现数量关系和图形特征。 3. 常见生活中的数学观察点： · 数字信息：商品价格、身份证编号、邮政编码、车次航班号等，数字中包含特定的编码规则与含义。 · 图形规律：地砖铺设的排列规律、四季温度变化的折线趋势、商品折扣的变化规律等。 · 数量关系：购物时总价与数量、单价的关系，出行时路程、速度与时间的关系。 1.2 活动 思考 1. 数学活动的类型：包括动手操作活动（如折叠裁剪图形、测量实物长度、拼摆几何体）、调查统计活动（如统计班级同学身高、调查小区每日用水量）、探究规律活动（如探究数字排列规律、图形变化规律）。 2. 活动中思考的要点： · 操作中记录变化：动手折叠纸张时，记录折叠次数与得到的层数、折痕数量的变化，从中总结规律。 · 从特殊到一般推导：通过多个具体例子的结果，推导适用于所有同类情况的一般规律，比如通过多个三角形内角和测量，推导所有三角形内角和的结论。 · 验证猜想：得到初步猜想后，需要用新的例子验证猜想是否正确，判断猜想是否存在例外情况。 3. 找规律的常用方法： · 列表法：把每次操作得到的结果整理到表格中，对比相邻项的变化，更容易发现规律。 · 画图法：把变化过程用图形表示出来，直观观察变化趋势。 1.3 交流 表达 1. 数学交流的要求：交流数学内容时，需要使用准确、规范的数学语言，避免模糊的口语化表述，比如描述图形位置时，要说明“在直线的左侧”而非“在这边”。 2. 数学表达的形式： · 文字语言：用文字描述数学概念、结论和解题过程，要求表述清晰严谨。 · 图形语言：用图形、图表展示数学信息，更加直观清晰。 · 符号语言：用数学符号（数字、字母、运算符号等）表示数量关系和规律，简洁准确，比如用“”表示加法交换律。 3. 倾听与反思：交流过程中需要倾听他人的思路，对比自己的思考过程，反思方法的优劣，优化解决问题的思路。 第2章 有理数 2.1 正数与负数 1. 正数与负数的定义： · 大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写，比如可以写作3。 · 在正数前面加上符号“”（负号）的数叫做负数，负数小于0，负号不能省略。 · 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。 2. 正负数的意义：用正负数可以表示具有相反意义的量，生活中常见的相反意义量包括： · 收入与支出：收入500元记作元，支出300元记作元； · 升高与下降：温度升高记作，温度下降记作； · 向东与向西：向东走4千米记作千米，向西走2千米记作千米。 3. 有理数的分类： · 按定义分类： 注意：有限小数和无限循环小数都属于分数，因此也都是有理数。 · 按符号分类： 常见概念：非负数指正数和0；非正数指负数和0；非负整数指正整数和0（也就是自然数）。 2.2 数轴 1. 数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这三个要素称为数轴三要素，缺一不可。 · 原点：数轴上表示0的点，是数轴的基准点； · 正方向：通常规定向右（或向上）为正方向，用箭头表示； · 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度必须统一。 2. 数轴与有理数的关系： · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不都表示有理数（后续会学到无理数也可以用数轴上的点表示）。 · 数轴上，原点右侧的点表示正数，原点左侧的点表示负数，原点表示0。 3. 数轴上数的大小比较： · 在数轴上，右边的点所表示的数总大于左边的点所表示的数； · 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 2.3 绝对值与相反数 1. 绝对值的定义：数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用符号“|a|”表示，读作“a的绝对值”。 例如：表示3的点到原点距离是3，所以；表示的点到原点距离是2.5，所以。 2. 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身：若a>0，则； · 负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则； · 0的绝对值是0：若，则； · 对任意有理数a，都有，也就是绝对值具有非负性，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，例如，则，。 3. 相反数的定义： · 符号不同、绝对值相等的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0； · 数a的相反数是，这里a可以是正数、负数或0。 4. 相反数的性质： · 若a与b互为相反数，则；反过来，若，则a与b互为相反数； · 互为相反数的两个数（0除外）在数轴上，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 5. 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 例如：比较和，因为，，$3>2$，所以。 2.4 有理数的加法与减法 2.4.1 有理数的加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； 例如：(-2)+(-3)=-(2+3)=-5，。 2. 异号两数相加： · 绝对值相等时，和为0（即互为相反数的两个数相加得0）； · 绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 例如：(-5)+3=-(5-3)=-2，，(-4)+4=0。 3. 一个数与0相加，仍得这个数；例如：。 2.4.2 有理数加法运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，公式表示：。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，公式表示：(a+b)+c=a+(b+c)。 利用运算律可以简化计算，通常先把同号的数相加、互为相反数的数相加、能凑整的数相加。 2.4.3 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式表示：。 减法计算的步骤：先把减号变成加号，把减数变成它的相反数，再按照加法法则计算。 2.4.4 有理数的加减混合运算 1. 方法：先把减法统一转化为加法，再按照加法法则和运算律进行计算； 2. 省略加号的和的形式：在和式里，可以省略各个加号和括号，例如(-3)+(+5)+(-2)可以写成，读作“负3加5减2”或者“负3、正5、负2的和”。 2.5 有理数的乘法与除法 2.5.1 有理数的乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 例如：，。 2. 任何数与0相乘，都得0；例如：。 3. 多个有理数相乘的法则： · 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正； · 几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 2.5.2 有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，公式：。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，公式：(ab)c=a(bc)。 3. 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加，公式：，反过来也成立，，可以用来简化计算。 2.5.3 倒数 乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数；若，则a的倒数是，若a和b互为倒数，则。 注意：倒数等于本身的数是1和。 2.5.4 有理数的除法法则 1. 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：。 2. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.6 有理数的乘方 1. 乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 注意：当底数是负数或分数时，底数需要加括号，比如(-2)3表示3个相乘，表示，二者意义不同。 2. 乘方的符号规律： · 正数的任何次幂都是正数； · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； · 0的任何正整数次幂都是0； · 特殊结论：(-1)的奇次幂是，(-1)的偶次幂是1；1的任何次幂都是1。 3. 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 例如：，其中n等于原数的整数位数减1。对于小于的数，也可以用科学记数法表示，只需要在前面添加负号即可，比如。 2.7 有理数的混合运算 1. 运算顺序法则： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序依次进行； 3. 如果有括号，先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 2. 运算技巧：计算过程中灵活运用加法、乘法的运算律，可以简化运算，减少计算错误，同时要注意符号的处理，避免符号错误。 【类型一】正反意义的量 1．如果零上记为，那么零下可记为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵零上与零下是一对具有相反意义的量，题目规定零上记为，即零上记为正， ∴零下应记为负，因此零下可记为． 2．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作元，则支出20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵题目规定收入元记作元， ∴收入用正数表示， 又∵收入与支出是一对相反意义的量， ∴支出应当用负数表示， ∴支出元记作元． 3．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________． 【答案】 【详解】解：收入元记作， ∴收入记为正，支出记为负， 支出元记作． 【类型二】科学记数法 1．以“灯绘华夏・筑梦未来”为主题的第32届自贡国际恐龙灯会，截至当年5月20日，累计接待游客约180万人次．180万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示方法，先将180万转化单位，再根据科学记数法的定义确定和的值即可. 【详解】先将180万转化单位， 得万， 科学记数法的表示形式为，要求，为整数， ∵ 将1800000的小数点向左移动6位可得到符合要求的， ∴ ， 因此180万用科学记数法表示为． 2．2026年春节假期，合肥市包河区因春晚分会场效应，文旅市场火爆．截至2月22日，8天接待游客262．14万人次，实现收入亿元，创历史新高．其中亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把亿写成，然后表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿，将原数表示为科学记数法时，需满足，将1310000000的小数点向左移动9位，可得，所以亿用科学记数法表示为． 3．2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 【答案】 【详解】解：. 【类型三】相反数的定义 1．3的相反数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：3的相反数是． 2．已知：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 3．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键. 【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点与点表示的数互为相反数， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数是． 【类型四】有理数的大小比较 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】解：负数小于0，0小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∵，，且 ∴， ∴ 因此最小的数是. 2．下列四个数中，绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴比较大小得 ， ∴是四个数中最大的绝对值，即绝对值最大的数是． 3．比较大小：______________． 【答案】 【分析】先求出两个负数的绝对值，比较绝对值的大小，根据两个负数绝对值大的反而小得到结果． 【详解】解：，， 又， ． 【类型五】绝对值的定义 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据“负数的绝对值等于它的相反数”即可求解． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，又， ∴． 2．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 3．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 【类型六】倒数的定义 1．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数为． 2．如图，数轴上点P表示的数的倒数可能是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】解：设点P表示的数是x， 由数轴可知点P表示的范围为， ∴点P的倒数． 观察各选项的数字，只有，故选项A符合题意． 3．若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 【类型七】有理数的加减混合运算 1．计算∶ (1) ； (2) 【答案】(1)3 (2)4 【分析】（1）根据有理数加减法从左往右计算即可； （2）利用加法交换律和加法结合律计算即可． 【详解】（1）解： （2） 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 【类型八】有理数的乘除混合运算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)0 (3) (4) 【分析】（1）先计算乘法，再计算除法即可得出结果； （2）根据有理数的乘除混合运算法则计算即可得出结果； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可得出结果； （4）将带分数化为假分数，再计算乘法即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【类型九】含乘方的混合运算 1．计算：． 【答案】 4 【详解】解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【类型十】数轴上表示有理数(含比较大小) 1．用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 2．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接： ，，，， 【答案】数轴见解析， 【分析】此题考查了用数轴的点表示数和利用数轴比较有理数的大小．把各数按照对应位置表示在数轴上，再按从小到大的顺序用“<”连接即可． 【详解】解：各数在数轴上表示如下： 按从小到大的顺序用“<”连接如下： 3．（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数； （2）用数轴上的点表示下列各数，并用“”将这些数连接起来． 【答案】（1）各点表示的有理数分别为，，，；（2）见解析，． 【分析】本题考查了有理数与数轴，利用数轴比较有理数大小 （1）根据数轴写出有理数即可； （2）先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数，按从小到大的顺序排列即可．． 【详解】（1）解：各点表示的有理数分别为，，，； （2）在数轴上表示如下： 【类型一】绝对值的非负性 1．已知，则的值是（    ） A． B．10 C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，求代数式的值，根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，和为零则每个部分必为零，从而求出和的值，代入所求代数式计算即可得出结果，掌握非负数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了互为相反数的两个非负数的性质，求代数式的值，掌握互为相反数的两个非负数的性质是关键；根据互为相反数的条件，绝对值表达式均需为零，从而求出a和b的值，再代入计算． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴； ∵且， ∴且， ∴且， ∴， ∴． 故选：C． 3．已知，且，求___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义和绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．由绝对值的意义和绝对值的非负性可确定m和n的值，再代入中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时， 当时，， 故答案为：或． 【类型二】绝对值的分类讨论 1．已知的绝对值为，的绝对值为，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义，有理数的大小比较，代数式求值，掌握绝对值的定义是解题关键． 根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，再结合条件，筛选出满足条件的和的组合，然后计算的值． 【详解】解：由，则或， 由，则或， 又， 可知当时，，当时，， 当，时，， 当，时，． 故的值为或． 故选：． 2．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 3．已知，，，则等于__________． 【答案】5或1 【分析】本题考查的是绝对值的含义，求解代数式的值，根据绝对值的性质，由，，可得，．再根据，可得．从而确定x和y的值，进而求出的值． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴，即． 当，时，，不符合题意，舍去， 当时，或． 当，时，； 当，时，． ∴的值为5或1． 故答案为：5或1． 【类型三】日历问题 1．下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，，，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是_______． 【答案】7或﹣7/﹣7或7/ 【分析】根据题意得∶可选取：1，2，8，9，再根据方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，即可求解． 【详解】解：根据题意得∶可选取：1，2，8，9， 则2×8﹣1×9＝7， 1×9﹣2×8＝﹣7． 故答案为：7或﹣7． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，理解方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数是解题的关键． 3．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 【答案】(1)50；65；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍 (2)见解析 (3)70 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算： （1）先根据有理数加法计算法则求出两个式子的和，可以发现式子的和都是对应C位置上的数字的5倍； （2）设设“X”字型框架中位置上的数为，则位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，位置上的数为，再根据整式的加减计算法则求出这五个数字的和即可证明结论； （3）根据日历可得和的最大值时，，和取最小值为40时，，由此根据（2）的结论求出最大值和最小值得，进而求差． 【详解】（1）解： ，， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； 故答案为：；；“X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍. （2）证明： 设“X”字型框架中位置上的数为， 则位置上的数为，位置上的数为， 位置上的数为，位置上的数为， ， “X”字型框架中的五个数的和等于位上的数的5倍； （3）当位上的数是24时，“X”字型框架中的五个数的和取最大值，和为， 当位上的数是9时，“X”字型框架中的五个数的和取最小值，和为， “X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为． 【类型四】幻方问题 1．在一个方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（   ） A．33 B．36 C．39 D．42 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，根据“每行每列每条对角线上的三个数之和相等”可得第一行第三个方格中的数字，根据对角线上两数之和等于中间数的2倍即可列出方程，据此即可求解． 【详解】解：第一行第三个方格中的数字为 由题意得：， ∴， 故选：B． 2．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、乘方及代数式求值，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由题意可得到关于m、n的两个方程，解方程即可求出的值，再把m、n的值代入计算即可求解． 【详解】解：设右上角数字为x，右下角数字为y， 由题意可得，， 解得，， ， 故答案为： ． 3．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将、2、3、、0、1、4、5、6这9个数中，除、2、3、5外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方，即它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等． 【提升】（2）如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求出x的值． 【拓展】（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图5所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时， 则的值为多少？ （写出求解过程） ． 【答案】（1）见解析；（2）3．（3） 【分析】本题考查了有理数的运算，整式加减中的化简求值，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据题意计算并填入数字即可； （2）根据题意得到，解方程即可得到答案； （3）用x、y、m、n表示a、b、c、d，代入可得答案． 【详解】解：（1）三个数的和为：， ∴， ， 如图所示． 4 3 6 2 1 0 5 （2）由题意知， 解得， 故答案为3． （3）解：∵每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 【类型五】规律问题 1．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①，② 【分析】考查了图形的变化类问题，有理数的混合运算； （1）根据图形结合规律直接写出答案即可； （2）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可； （3）由（1）的结论可知是 个连续奇数的和，得出结果； （4）① 是连续个奇数的和，直接得出结果； ② 是连续个奇数的和，根据结论计算得出结果 【详解】解：（1）由图片知： 第1个图案所代表的算式为： ， 第 2 个图案所代表的算式为： ； 第3个图案所代表的算式为：； 第4个图案所代表的算式为：； 依此类推：第5个图案所代表的算式为： 故答案为：． （2）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； 当 、4 时分别为： 、； 故当 ， 即 时， （3）依此类推：第个图案所代表的算式为： ； （4）①； ② 2．观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 【答案】(1)7；7 (2)10000 (3) 【分析】本题考查有理数的加减运算，数字类规律探索，熟练根据题意得出规律是解题的关键． （1）根据题中的式子即可得出规律； （2）利用（1）中得出的规律计算即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ．．．．．． 所以第n个等式可表示为：， 所以当时，， 所以， 故答案为：7，7． （2）解：当时，， 所以， 故答案为：10000； （3）解：原式 ． 3．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【答案】(1)5151 (2) 【分析】本题考查了规律探索，有理数的混合运算，观察所给算式，得出运算的规律是解决问题的关键． （1）根据所给算式得出，然后代入计算即可； （2）利用规律对原式进行变形，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得出规律：， ∴， 故答案为：5151； （2）解： ． 【类型六】拆项法 1．阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 2．阅读下题中的计算方法，解决问题． (1) 解：原式 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的拆项法可将拆为_________，拆为_________． (2)类比上述计算方法计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算； （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；； （2）解： ． 3．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 【类型七】倒数法 1．项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键． 仿照题意的“倒数法”进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数： ， 故原式． 2．先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 3．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 【类型一】格子乘法 1．在中国明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入格子上面，乘数记入格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论正确的个数有（   ） ①b的值为5                              ②a为偶数 ③乘积结果可以表示为    ④a的值为1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用等知识点，理解题中的利用“铺地锦”计算两个数相乘的方法是解题关键．根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立等式即可得． 【详解】运用“铺地锦”的方法将图2补全完整，如图所示， 则，故①错误； ， ，为奇数，故②④错误； 乘积结果为，故③正确； 正确的个数有1个， 故选：A. 2．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53记入上行，乘数24记入右行，然后用乘数53的每位数字乘以乘数24的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得1272．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论正确的是（    ） 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1 A．的值小于3 B．的值为7 C．为奇数 D．乘积结果可以表示为 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数的乘法计算，根据题意可得解析图中的计算结果，则可得的结果是大于等于10且小于20的数，则可求出a的取值范围，进而确定a的值，再逐一判断即可． 【详解】解：根据题意，计算的结果如图所示， ，故B说法正确，符合题意； ∵且， ∴， ∴或，故A、C说法错误，不符合题意； 当时，，而， 当时，，而， ∴乘积结果不一定可以表示为，故D说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．“格子乘法”的算例源自15世纪意大利的《算术之钥》，因其形如中国古代织出的锦缎，又名“铺地锦”． 如图1，当计算时，将第一个乘数写在格子上边，第二个乘数写在格子右边，将第一个乘数的每个数字分别与第二个乘数的每个数字相乘，将乘积依次填在相应的格子中：十位数字填在左上半格，个位数字填在右下半格，十位上没有数字用“0”补足．填完后，把斜行数字相加，并将结果写在格子外相应位置上，从左上至右下沿格子外依次写出每个数字，则乘积为．如图2，利用“格子乘法”表示两位数相乘，则代数式的值是__________． 【答案】 【分析】此题考查有理数的运算，一元一次方程的应用等知识，正确理解题中的“格子乘法”的计算方法，熟练运用有理数的运算求解是解题的关键． 根据已知条件补全图形，求出，即可得解； 【详解】根据题意补全图形如下： ，，， ，， ， ， ； 故答案是：． 【类型二】二进制 1．在日常生活中，我们用十进制来表示数，二进制是计算机世界的“语言”，二进制在多个领域都有着广泛应用，如计算机系统、数字通信、条形码及二维码等，十进制数与二进制数可以相互转化．如二进制中的101可以按如下方式转换为十进制：，二进制中的100可以按如下方式转换为十进制：，那么二进制数110对应的十进制数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二进制数转换为十进制数的方法，利用每一位乘以2的相应次幂再求和即可． 【详解】解：∵二进制数110转换为十进制：， ∴对应的十进制数是6． 故选：B． 2．计算机使用二进制，它共有两个数码．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可．如，为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（   ） A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数 【答案】B 【分析】本题主要考查十进制数与二进制数的转换，读懂题意，理解题中十进制转换为二进制的方法是解决问题的关键． 按照题中方法，先将十进制数拆分为若干个数的和，再转化为二进制数表示方法，即可判断其位数． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 则十进制是二进制下的位数， 故选：B． 3．我们常用的数是十进制，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．如十进制在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1．如二进制，相当于十进制数中的6；二进制，相当于十进制数中的53．(注意：非零有理数的零次幂都为1即，二进制中的1011等于十进制中的数是________． 【答案】11 【分析】本题考查有理数的的混合运算，读懂题意，掌握知识点的应用是解题的关键．依据题中的二进制的换算方式将二进制转化为十进制计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：11． 【类型三】程序流程图 1．小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，设输入的结果是，由题意可得，解方程即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设输入的结果是， 由题意可得，， 解得 ∴输入的结果是， 故选：． 2．如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的流程图运算，熟练掌握运算法则和分析每一步的输出结果找出规律是解题的关键． 把代入运算，分析每一步的运算结果找出规律即可解答． 【详解】解：第一次输入，则， 第二次输入，则， 第三次输入，则， 第四次输入，， 第五次输入，则， 第六次输入，， ∴在接下来的输入中，奇数输出的结果为，偶数的输出结果为， ∵为奇数， ∴输出的结果为， 故选：A． 3．如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 【答案】 4 【分析】此题考查了程序的流程图，有理数的混合运算，解方程，弄清题中的程序流程是解本题的关键．根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3，将代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果；输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，即，解方程即可． 【详解】解：把代入可得： ， ， ， ， ∵， ∴再把代入可得： ， ， ， ， 故最后输出的结果是； ∵输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为， ∴， ， ， ， ． 故答案为：，4． 【类型四】新定义运算 1．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，有理数的运算，先比较和的大小，由于，即，故使用定义，代入计算即可． 【详解】解：当， 时， ∵， ∴， ∴， 故选A． 2．若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新运算．解决本题的关键是根据新运算规定的运算法则把新运算转化为一般的有理数运算，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方，正确理解题意是解题的关键．根据新定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【类型五】算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 3．有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，3，2，7，请你列出一个“24点”算式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 【类型六】有理数的圈次方 1．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 【答案】(1) (2)C (3) ，， (4) (5) 【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果； （2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断； （3）观察例题得到规律，一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的次方，按规律得到结果； （4）根据定义写出答案即可； （5）根据圈a的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果. 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，4． （2）解：，， 由于， ， 其它三个选项均正确， 所以选项错误， 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；； （4）解：的圈次方， 故答案为：； （5）解： ． 2．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作读作：“的圈4次方”．一般地，把个非零有理数相除，记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方， 乘方幂的形式 探索发现：有理数的圈次方写成幂的形式： ； 计算： 【答案】[初步探究]C；[深入思考] 探索发现： ；计算：． 【分析】本题考查了乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． [初步探究]根据除方的定义和有理数除法的运算法则逐一计算判断即可； [深入思考] 探索发现：根据除方的定义和乘方的运算法则计算即可 计算：根据除方的定义计算即可． 【详解】解：[初步探究] A、，即何非零数的圈2次方都等于1，说法正确，不符合题意； B、多少个1相除结果都为1，则对于任何正整数，1的圈次方都等于1，说法正确，不符合题意； C、，，则，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，说法正确，不符合题意； 故选：C [深入思考] 探索发现：， 故答案为：； 计算： ． 3．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【答案】（1）1，；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查含乘方有理数的混合运算、新定义，理解除方的定义是解题关键． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； 故答案为：1，． （2）A、∵，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； B、∵多少个1相除都等于1，对于任何正整数，1的圈n次方都等于1；正确； C、，故，错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．正确； 故选C； （3）， 故答案为：； （4） ． 【类型七】绝对值中的最值问题 1．【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)请求出方程中的x：； (2)的几何意义是_________，请你结合数轴探究：的最小值是_____； (3)请你结合数轴探究：的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时所在的位置，由此可以得出的值为_____． 【答案】(1)或 (2)a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3 (3)2；2 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义： （1）根据绝对值的几何意义直接求解即可； （2）仿照题干【阅读理解】作答即可； （3）仿照题干根据的几何意义，结合数轴讨论即可得到答案． 【详解】（1）解： 或； （2）解：的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和； 由【阅读理解】可知，当a在2和5之间时（包括2，5上），a到2和5的距离之和等于3，此时取得最小值是3； 故答案为：a这个数在数轴上对应的点到2和5两个点的距离之和；3； （3）解：由题可知，的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到1，2，3这三个点的距离之和， ①如图，a在1的左边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； ②如图，a在1上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ③如图，a在1的右边2的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ④如图，a在2上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于2； ⑤如图，a在2的右边3的左边时，可以得到a到1，2，3的距离之和大于2小于3； ⑥如图，a在3上时，可以得到a到1，2，3的距离之和等于3； ⑦如图，a在3的右边，可以得到a到1，2，3的距离之和大于3； 可知的最小值是2，取得最小值时a的值为2，图如下： 故答案为：2；2． 2．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是 ； ②当 时，有最小值，最小值是 ； ③有最小值，最小值是 ； ④求的最小值． 【答案】(1)5；2 (2)①8或；②3，0；③9；④1025156 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，绝对值的几何意义，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离计算公式求解即可； （2）①根据绝对值的几何意义求解即可；②根据绝对值的几何意义即可得到答案；③表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点和到表示的点的距离之和，则当时，有最小值，据此求解即可；④根据绝对值的几何意义可得当时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是； （2）解：①由题意得，表示的是数轴表示数a的点与表示数3的点的距离为5， ∴或； ②∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值是0； ③∵表示的是数轴上表示数a的点到表示数的点和到表示的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； ④由（2）③可知当时，有最小值，最小值为， 同理当时，有最小值，最小值为， 当时，有最小值，最小值为， ……， 当时，有最小值，最小值为， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，，，…，，能同时取得最小值， ∴当时 有最小值， ∴的最小值为． 3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【答案】（）；（）；（）或；（），；（）；（）或；（），，，；（）或． 【分析】（）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值代数意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； （）根据绝对值的几何意义解答即可； 本题主要考查了数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 【详解】解：（）解决问题，的值是， 故答案为：； （）的最小值是， 故答案为：； （）若的最小值是，则的值为或， 故答案为：或；    拓展提升： （）的最小值是，最大值是，理由如下： 令， 当时，； 当时，， ∴， 当时，， 综上可知：， 故答案为：，； （）由可知：的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离，的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离， 则当与重合时，有最小值， 故答案为：； （）若的最小值是， 则当时，有最小值， 所以，则； 当时，有最小值， 所以，则； 则的值是或， 故答案为：或； （）∵，且为整数， ∴， 则的值为，，，， 故答案为：，，，； （）∵， ∴时，，则； 时，，则； 所以的值为或， 故答案为：或． 【类型八】数列求和(错位相减) 1．根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：______； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： …， …， …， … 通过探索，我们发现______；（用含n的代数式表示） (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查数字规律，找到数字变化规律是解答本题的关键． （1）观察前3个式子发现规律：，据此即可得到结果； （2）利用（1）的规律将每一项（到100）表示为，然后裂项相消即可得到结果； （3）类比（1）的思路可解答． （4）类比（2）的思路可解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， …… ∴， ， 故答案为：； （2）∵，，…， ∴ ； （3）∵， ， 同理，， 故答案为； （4）∴ ． 2．观察下列各式：①； ②； ③； … (1)请你找规律，写出第n个等式为 ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的运算与规律探究，找到规律是解题的关键． （1）根据前3个式子总结出来的规律即可求解； （2）直接根据规律即可得出答案； （3）利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵； ； ； ∴第n个等式可表示为：， 故答案为：． （2）由（1）知， ． （3）由（1）知，， 则， ∴原式． 3．【阅读】求值． 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由得：， 即： 【运用】仿照此法计算： （1）； （2）． 【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2024次，依次得到小正方形． 完成下列问题： （3）求正方形的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）正方形的面积和为 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算及数字规律，解题的关键是理解题中所给方法； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）根据题中所给方法可进行求解； （3）由题意易得，，则令，然后根据题中所给方法可进行求解． 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以3得：② 由得：， ∴， ∴； （2）设① 将等式①的两边同时乘以得：② 由得：， ∴， ∴； （3）由图形可知：， ∴， ∴， 令，① 得：，② 由得：， ∴， ∴， 即正方形的面积和为． 【类型九】数轴动点求t ( 含新定义) 1．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点M，A，B，N依次为数轴上从左至右的四个点，且点M，N到原点O的距离均为10，A，B两点之间的距离为7．点P从点M出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点N移动，设点P的移动时间为秒． 操作一：（1）以点P为折点，折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，此时 ，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）当时，以点P为折点，折叠纸面． ①表示5的点与数轴上的点C重合，求点C表示的数； ②若A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数； 操作三： （3）以点P为折点，折叠纸面． ①若折叠后M，N两点之间的距离为6，求此时点P所表示的数； ②当P从原点开始，沿数轴向右移动秒后再折叠纸面，试求点M，N之间的距离与t的关系． 【答案】（1）10，4；（2）①；②点A表示的数为，点B表示的数为；（3）①或3；②折叠后M、N之间的距离为 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，一元一次方程的应用，解决数轴中的折叠问题，关键是找到折痕经过的数轴上表示的点． （1）根据表示1的点与表示的点重合，可得对折中心为原点，据此求解即可； （2）①根据时，以点表示的数为，即对折中心表示的数为1，根据互相重合的两个点到对折中心的距离相等即可求解；②同理①即可求解； （3）①由题意得，点P表示的数为，则折叠后点M表示的数为，根据折叠后M，N两点之间的距离为4，得到，解方程即可得到答案；②折叠后点M表示的数为，进而得到折叠后M、N之间的距离为． 【详解】解：（1）∵左右折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合， ∴对折中心表示的数为， ∴点P表示的数为0， ∵点M，N到原点O的距离均为10，且点M在点N的左边， ∴，即点P所走的路程为10， ∴， ∵对折中心表示的数为0， ∴表示的点与表示4的点重合； （2）①∵点M，N到原点O的距离均为10，且点M在点N的左边， ∴点M表示的数为， ∴当时，点P表示的数为，即此时的对折中心表示的数为1， ∵表示5的点与数轴上的点C重合， ∴点C表示的数为； ②∵A，B两点折叠后重合，且A，B两点之间的距离为7， ∴A，B两点到对折中心的距离都为， ∵点A在点B左边， ∴点A表示的数为，点B表示的数为； （3）①由题意得，点P表示的数为，则折叠后点M表示的数为， 由（2）可知，点N表示的数为10， ∵折叠后M，N两点之间的距离为6， ∴， ∴或， 解得或， 则或， ∴点P表示的数为或3； ②当点P从原点开始，沿数轴向右移动秒后再折叠纸面，则折叠后点M表示的数为， ∴折叠后M、N之间的距离为； 2．已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．如图，若用，，分别表示点与点，点，点之间的距离，试回答以下问题． (1)运动秒时， ， ， ； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示点与点，点，点之间的距离： ， ， ； (3)经过几秒后，点到点，点的距离相等此时点表示的数是多少 (4)如图，当动点从点出发以单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动，，两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2)，， (3)，表示的数是 (4)存在，秒或秒 【分析】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． （1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向右移动， ∴，， 当时，，，， 故答案为：，，； （2）解：依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ，， 故答案为：；，； （3）解：， ， 即或， 解得：， 点表示的数为； （4）解：点在上的运动时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒； 点在上运动的时间为秒，在上运动时间为秒，在上运动时间为秒； 当时，点在上，表示的数为，点在上，表示的数是， ， 解得：（不符合题意）； 当时，点在上，表示的数为，点在上，表示的数是， ， 方程无解； 当时，点，都在上，当，两点重合时，它们到的距离相等，表示的数为，表示的数为， ， 解得； 当时，点在上，点在线段上， 此时不存在点，两点到点的距离相等； 当时，在射线上，在射线上，表示的数为，表示的数为， ， 解得， 综上所述，的值为秒或秒． 3．对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述： 【类型十】绝对值“1”与“-1”分类 1．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）分四种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由已知可得，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； 本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可分为四种情况： ①当，时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当，时，； 综上，的值为或； （2）解：∵， ∴，，， 又∵， ∴三个有理数有两个正数一个负数， 不妨设，，， ∴． 2．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的除法法则，运用分类讨论的思想解答是解题的关键． （1）根据题意化简可得前两问，根据讨论的正负即可解答； （2）由已知可得，，，，，三个有理数有两个正数一个负数，进而仿照题例解答即可求解； （3）得到，可得的正负性，根据题意可得，根据，，的正负即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，可得异号， 当，时，， 当，时，， 所以当时，， 故答案为：；；； （2）解：， ，，， ， ， ，，三个有理数有两个正数一个负数， 假设， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 1．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）中国海军共有七艘以云南地名命名的舰艇，其中888抚仙湖号综合补给舰，于2007年服役．满载排水量：15000吨左右，数据15000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 3．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 4．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 5．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）微信钱包零钱明细收入100元记作元，那么支出65元记作________元． 【答案】 【详解】解：由题意可知，收入用正数表示，支出用负数表示， 因此支出元记作元． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小．（填“>”“<”或“=”） （1）______；         （2）______． 【答案】 【分析】先化简待比较的数，再分别求出两个数的绝对值，根据负数比较大小的法则：绝对值大的负数反而小，即可判断大小． 【详解】（1）解： ，， ， （2）解：，，，， ，即 7．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据、、的大小关系，以及中点的位置情况，对各结论依次进行判断即可． 【详解】解：若， 则， 又∵点在中点右边， ∴， 故，结论①正确； 若， 则、异号， ∵， ∴， ∴， 即，故结论②正确； 若， 即到原点的距离大于到原点距离， 则原点可能在右侧，也可能在点到中点之间，故结论③错误； ∵， ∴，， ∴，故结论④正确； 综上，正确的结论有①②④． 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 【答案】，，；，，；， 【分析】根据有理数的分类进行逐个分析，即可得答案． 【详解】解：分数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{，，…}． 9．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫回到了出发点 (2)小虫离开出发点最远是12厘米 (3)小虫共可得到18粒芝麻 【分析】（1）将数据相加即可求解； （2）分别求出每一次离开出发点的距离，再比较即可； （3）把各数的绝对值相加求出爬行的路程和，再除以3即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， 故小虫回到原点； （2）解：第一次爬行，此时离开出发点5厘米， 第二次爬行，此时离开出发点厘米， 第三次爬行，此时离开出发点厘米， 第四次爬行，此时离开出发点厘米， 第五次爬行，，此时离开出发点厘米 第六次爬行，此时离开出发点厘米， 第7次爬行，此时离开出发点厘米， 故小虫离开出发点最远是12厘米； （3）解：小虫共爬行的路程为： 厘米， 粒， 小虫共可得到18粒芝麻． 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4)22 (5) (6)9 (7) (8) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一袋大米的包装上标有“净重”的字样，表示它最轻是（   ）． A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】“净重”表示大米的标准质量为，实际质量允许在标准质量基础上上下浮动，要求最轻质量，只需用标准质量减去允许的浮动值即可． 【详解】解：∵“净重”中，最轻质量为标准质量减去浮动值， ∴最轻质量为． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨四月份的某天，中午最高气温达到之后，直到第二天凌晨气温下降了，则第二天凌晨的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中午最高气温为，气温下降了， ∴第二天凌晨的气温为． 3．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查乘法和乘方的意义，只需根据定义分别化简分子和分母，即可得到结果，选出正确选项． 【详解】解：根据乘法的意义，个相同加数相加，可得 根据乘方的意义，个相同因数相乘，可得 原式． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 5．（25-26六年级下·上海金山·期中）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 6．（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 【答案】3 【分析】根据程序流程图计算即可得出结果． 【详解】解：若开始输入的值为48， 我们发现第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为． 7．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 8．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【分析】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【详解】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 9．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 【答案】(1)达到了，见解析 (2)元 【分析】（1）计算，与０比较，求解即可； （2）根据总收益＝周销售量乘以每千克的净利润，求解即可； 【详解】（1）解：达到了 理由如下： （千克）． 因为，所以小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量． （2）解：小明本周销售量为：（千克） 本周总收益为：（元） 答：小明这一周实际销售柚子的总量达到了计划量，销售柚子的收益一共元． 10．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 【答案】（1）点B表示的数为5，点C表示的数为；（2），点M表示的数为；（3）点表示的数是，见解析 【分析】（1）根据题意得到点表示的数为5，两点间的距离求出点C表示的数； （2）根据时间等于路程除以速度求出，进而求出点表示的数即可； （3）根据题意，得到点每移动2次，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】解：（1）点A表示的数为，且点B与点A到原点的距离相等， 所以点B表示的数为5．                 又因为点C在原点的左侧，且到点B的距离为7， 所以点C表示的数为．                     （2）当M、N相遇前，且相距1个单位长度时， 则， 此时点M表示的数为．                   （3）根据题意可知，动点P第2024次运动后向右运动个单位长度，      即此时点P表示的数为，               又因为第2025次点P是向左运动2025个单位长度， 所以点表示的数是． 1．（25-26七年级下·全国·期末）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用数形结合思想，通过数轴上的点的位置关系得到对应的数的大小关系，进而判断各算式的正误． 【详解】解：由数轴知：，，，， ∴，，． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（   ） 天峨县城区供水价格表 一、居民生活用水 价格（元） 第一阶梯：月用水量立方米/户 3.99 第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户 5.44 第三阶梯：月用水量立方米/户 6.88 A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元 【答案】B 【分析】根据收费规则，列出算式进行计算即可. 【详解】解：（元）. 3．（24-25七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数中，负有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】负有理数指小于0的有理数，包括负整数和负分数. 【详解】解：∵在中，负有理数为，，，，共4个. 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，数轴上的刻度对应不同城市的时区（单位：时），规定数轴正方向为东，时区数值越大表示当地时间越早，各城市对应的时区如图所示．则北京时间2026年1月5日20时对应的4个城市的时间中，正确的是（   ） A．巴黎时间2026年1月5日14时 B．伦敦时间2026年1月5日12时 C．纽约时间2026年1月5日6时 D．首尔时间2026年1月5日19时 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，有理数的加减的应用． 根据数轴上的国际标准时间得到北京时间与其它四个城市时间差即可得到答案． 【详解】解：A．巴黎在北京左侧个单位，，巴黎时间2026年1月5日时，原选项正确； B．伦敦在北京左侧个单位，，伦敦时间2026年1月5日时，原选项错误； C．纽约在北京左侧个单位，，纽约时间2026年1月5日时，原选项错误； D．首尔在北京右侧个单位，，首尔时间2026年1月5日时，原选项错误； 故选：A． 5．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 6．（25-26六年级上·山东东营·期末）定义一种新运算*，规定运算法则为：(，均为整数，且)．例：，则_______． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的有理数运算，核心是准确理解新运算的规则，将指定的数值代入定义式中，再依据有理数的运算法则进行计算．解题时，先明确新运算“*”的运算法则为，再把，代入该式，依次计算乘方、乘法，最后计算减法即可得到结果． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，，，，，这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，，已填入如图所示的位置，则______ 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算．根据题意，图2中大圆，小圆的数字之和为2，每一横线，每一竖线的数字之和也是2即可得到结果． 【详解】解：∵，且8个数分成一个大圆，一个小圆， ∴每个圆中的4个数之和为2， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据可得答案； （2）根据和解答；②根据解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①，， 则； ②， 则． 9．（25-26七年级上·浙江金华·期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 【答案】(1)两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数； (2)； (3)B 【分析】（1）根据所给算式总结即可； （2）根据（1）中的运算法则计算即可； （3）可通过举反例来判断； 本题主要考查了新定义，有理数的混合运算，根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：②观察归纳得异号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值的相反数； ③0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果仍为这个数． 故答案为：两数差的绝对值的相反数（答案不唯一）；仍为这个数． （2） ． （3）假设 则 ， ， 此时，则结合律不成立； 故选：B． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1、2章 数学与我们同行、有理数 思维导图 第1章 数学与我们同行 1.1 生活 观察 1. 数学来源于生活：生活中处处存在数学，从日常消费的收支计算、房屋装修的面积测量，到出行路线的规划设计，都离不开数学知识的应用，数学帮助我们解决生活中的实际问题。 2. 观察的方法与意义：观察是获取数学信息的基础方法，需要结合目的有顺序、有重点地对事物进行查看，比如观察商品包装上的数字信息、图形图案的规律，从观察中发现数量关系和图形特征。 3. 常见生活中的数学观察点： · 数字信息：商品价格、身份证编号、邮政编码、车次航班号等，数字中包含特定的编码规则与含义。 · 图形规律：地砖铺设的排列规律、四季温度变化的折线趋势、商品折扣的变化规律等。 · 数量关系：购物时总价与数量、单价的关系，出行时路程、速度与时间的关系。 1.2 活动 思考 1. 数学活动的类型：包括动手操作活动（如折叠裁剪图形、测量实物长度、拼摆几何体）、调查统计活动（如统计班级同学身高、调查小区每日用水量）、探究规律活动（如探究数字排列规律、图形变化规律）。 2. 活动中思考的要点： · 操作中记录变化：动手折叠纸张时，记录折叠次数与得到的层数、折痕数量的变化，从中总结规律。 · 从特殊到一般推导：通过多个具体例子的结果，推导适用于所有同类情况的一般规律，比如通过多个三角形内角和测量，推导所有三角形内角和的结论。 · 验证猜想：得到初步猜想后，需要用新的例子验证猜想是否正确，判断猜想是否存在例外情况。 3. 找规律的常用方法： · 列表法：把每次操作得到的结果整理到表格中，对比相邻项的变化，更容易发现规律。 · 画图法：把变化过程用图形表示出来，直观观察变化趋势。 1.3 交流 表达 1. 数学交流的要求：交流数学内容时，需要使用准确、规范的数学语言，避免模糊的口语化表述，比如描述图形位置时，要说明“在直线的左侧”而非“在这边”。 2. 数学表达的形式： · 文字语言：用文字描述数学概念、结论和解题过程，要求表述清晰严谨。 · 图形语言：用图形、图表展示数学信息，更加直观清晰。 · 符号语言：用数学符号（数字、字母、运算符号等）表示数量关系和规律，简洁准确，比如用“”表示加法交换律。 3. 倾听与反思：交流过程中需要倾听他人的思路，对比自己的思考过程，反思方法的优劣，优化解决问题的思路。 第2章 有理数 2.1 正数与负数 1. 正数与负数的定义： · 大于0的数叫做正数，正数前面的“+”号可以省略不写，比如可以写作3。 · 在正数前面加上符号“”（负号）的数叫做负数，负数小于0，负号不能省略。 · 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点。 2. 正负数的意义：用正负数可以表示具有相反意义的量，生活中常见的相反意义量包括： · 收入与支出：收入500元记作元，支出300元记作元； · 升高与下降：温度升高记作，温度下降记作； · 向东与向西：向东走4千米记作千米，向西走2千米记作千米。 3. 有理数的分类： · 按定义分类： 注意：有限小数和无限循环小数都属于分数，因此也都是有理数。 · 按符号分类： 常见概念：非负数指正数和0；非正数指负数和0；非负整数指正整数和0（也就是自然数）。 2.2 数轴 1. 数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这三个要素称为数轴三要素，缺一不可。 · 原点：数轴上表示0的点，是数轴的基准点； · 正方向：通常规定向右（或向上）为正方向，用箭头表示； · 单位长度：选取适当的长度作为单位长度，同一数轴上单位长度必须统一。 2. 数轴与有理数的关系： · 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点不都表示有理数（后续会学到无理数也可以用数轴上的点表示）。 · 数轴上，原点右侧的点表示正数，原点左侧的点表示负数，原点表示0。 3. 数轴上数的大小比较： · 在数轴上，右边的点所表示的数总大于左边的点所表示的数； · 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 2.3 绝对值与相反数 1. 绝对值的定义：数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，绝对值用符号“|a|”表示，读作“a的绝对值”。 例如：表示3的点到原点距离是3，所以；表示的点到原点距离是2.5，所以。 2. 绝对值的性质： · 正数的绝对值是它本身：若a>0，则； · 负数的绝对值是它的相反数：若a<0，则； · 0的绝对值是0：若，则； · 对任意有理数a，都有，也就是绝对值具有非负性，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，例如，则，。 3. 相反数的定义： · 符号不同、绝对值相等的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0； · 数a的相反数是，这里a可以是正数、负数或0。 4. 相反数的性质： · 若a与b互为相反数，则；反过来，若，则a与b互为相反数； · 互为相反数的两个数（0除外）在数轴上，位于原点两侧，且到原点的距离相等。 5. 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 例如：比较和，因为，，$3>2$，所以。 2.4 有理数的加法与减法 2.4.1 有理数的加法法则 1. 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加； 例如：(-2)+(-3)=-(2+3)=-5，。 2. 异号两数相加： · 绝对值相等时，和为0（即互为相反数的两个数相加得0）； · 绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 例如：(-5)+3=-(5-3)=-2，，(-4)+4=0。 3. 一个数与0相加，仍得这个数；例如：。 2.4.2 有理数加法运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，公式表示：。 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，公式表示：(a+b)+c=a+(b+c)。 利用运算律可以简化计算，通常先把同号的数相加、互为相反数的数相加、能凑整的数相加。 2.4.3 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数，公式表示：。 减法计算的步骤：先把减号变成加号，把减数变成它的相反数，再按照加法法则计算。 2.4.4 有理数的加减混合运算 1. 方法：先把减法统一转化为加法，再按照加法法则和运算律进行计算； 2. 省略加号的和的形式：在和式里，可以省略各个加号和括号，例如(-3)+(+5)+(-2)可以写成，读作“负3加5减2”或者“负3、正5、负2的和”。 2.5 有理数的乘法与除法 2.5.1 有理数的乘法法则 1. 两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 例如：，。 2. 任何数与0相乘，都得0；例如：。 3. 多个有理数相乘的法则： · 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正； · 几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0。 2.5.2 有理数乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，公式：。 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，公式：(ab)c=a(bc)。 3. 乘法分配律：一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加，公式：，反过来也成立，，可以用来简化计算。 2.5.3 倒数 乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数；若，则a的倒数是，若a和b互为倒数，则。 注意：倒数等于本身的数是1和。 2.5.4 有理数的除法法则 1. 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，公式：。 2. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.6 有理数的乘方 1. 乘方的定义：求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 注意：当底数是负数或分数时，底数需要加括号，比如(-2)3表示3个相乘，表示，二者意义不同。 2. 乘方的符号规律： · 正数的任何次幂都是正数； · 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； · 0的任何正整数次幂都是0； · 特殊结论：(-1)的奇次幂是，(-1)的偶次幂是1；1的任何次幂都是1。 3. 科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 例如：，其中n等于原数的整数位数减1。对于小于的数，也可以用科学记数法表示，只需要在前面添加负号即可，比如。 2.7 有理数的混合运算 1. 运算顺序法则： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序依次进行； 3. 如果有括号，先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序依次计算。 2. 运算技巧：计算过程中灵活运用加法、乘法的运算律，可以简化运算，减少计算错误，同时要注意符号的处理，避免符号错误。 【类型一】正反意义的量 1．如果零上记为，那么零下可记为（     ） A． B． C． D． 2．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作元，则支出20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，其中有“把卖出货物收入的钱记作正，把买入货物支出的钱记作负”．如果收入16元记作，那么支出12元记作________． 【类型二】科学记数法 1．以“灯绘华夏・筑梦未来”为主题的第32届自贡国际恐龙灯会，截至当年5月20日，累计接待游客约180万人次．180万用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．2026年春节假期，合肥市包河区因春晚分会场效应，文旅市场火爆．截至2月22日，8天接待游客262．14万人次，实现收入亿元，创历史新高．其中亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长，全市重点文旅区域在九天内累计接待游客5850400人次．将5850400用科学记数法表示为_______． 【类型三】相反数的定义 1．3的相反数是（     ） A． B． C．3 D． 2．已知：，则（    ） A． B． C． D． 3．在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【类型四】有理数的大小比较 1．下列四个数中，最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D． 2．下列四个数中，绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 3．比较大小：______________． 【类型五】绝对值的定义 1．的绝对值是（     ） A． B． C． D． 2．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【类型六】倒数的定义 1．的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 2．如图，数轴上点P表示的数的倒数可能是（   ） A． B． C．0 D． 3．若，则“”表示的数是______． 【类型七】有理数的加减混合运算 1．计算∶ (1) ； (2) 2．计算： (1) (2) 3．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【类型八】有理数的乘除混合运算 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【类型九】含乘方的混合运算 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【类型十】数轴上表示有理数(含比较大小) 1．用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 2．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“<”连接： ，，，， 3．（1）指出图中数轴上各点分别表示的有理数； （2）用数轴上的点表示下列各数，并用“”将这些数连接起来． 【类型一】绝对值的非负性 1．已知，则的值是（    ） A． B．10 C．25 D． 2．已知与互为相反数，则（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知，且，求___________． 【类型二】绝对值的分类讨论 1．已知的绝对值为，的绝对值为，且，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 3．已知，，，则等于__________． 【类型三】日历问题 1．下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是_______． 3．在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： (1)我们用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数和为：______，______；不难发现，“X”字型框架中的五个数的和与位上的数的关系为______． (2)设“X”字型框架中位置上的数为，请利用所学知识对（1）中的规律加以证明； (3)如图的日历中，求“X”字型框架框住的5个数之和的最大值与最小值的差为______． 【类型四】幻方问题 1．在一个方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等．若方格中9个数的和为m，则称这个三阶幻方为“m幻方”．例如：图1中的三阶幻方为“45幻方”．如果图2中的三阶幻方为“m幻方”，则m的值为（   ） A．33 B．36 C．39 D．42 2．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则______． 3．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如图1，把洛书用今天的数学符号翻译出来就是图2的三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为15． 【实践】（1）将、2、3、、0、1、4、5、6这9个数中，除、2、3、5外的数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方，即它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和相等． 【提升】（2）如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求出x的值． 【拓展】（3）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图5所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时， 则的值为多少？ （写出求解过程） ． 【类型五】规律问题 1．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛． 【规律探索】请观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在⑤后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④；⑤___________； 【规律归纳】 （2）__________； （3）试用含有n的式子表示这一规律：___________=（n为正整数）； 【规律应用】 （4）请用上述规律计算： ①；        ②． 2．观察下面每个图形中圆圈的总个数，也可以用相对应算式表达． ①； ②； ③； ④； ．．．．．． (1)根据你发现的规律填空：（___________）=___________2； (2)根据上面规律，计算： ___________；（直接填结果） (3)根据上面规律，计算：．（要写必要的计算过程） 3．阅读下列计算过程，发现规律，然后利用规律计算：   (1)利用上述规律计算： (2)计算： 【类型六】拆项法 1．阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. (1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； (2)用拆项法计算：． 2．阅读下题中的计算方法，解决问题． (1) 解：原式 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的拆项法可将拆为_________，拆为_________． (2)类比上述计算方法计算： ． 3．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【类型七】倒数法 1．项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 2．先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 3．课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【类型一】格子乘法 1．在中国明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入格子上面，乘数记入格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论正确的个数有（   ） ①b的值为5                              ②a为偶数 ③乘积结果可以表示为    ④a的值为1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数53记入上行，乘数24记入右行，然后用乘数53的每位数字乘以乘数24的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，即得1272．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论正确的是（    ） 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1 A．的值小于3 B．的值为7 C．为奇数 D．乘积结果可以表示为 3．“格子乘法”的算例源自15世纪意大利的《算术之钥》，因其形如中国古代织出的锦缎，又名“铺地锦”． 如图1，当计算时，将第一个乘数写在格子上边，第二个乘数写在格子右边，将第一个乘数的每个数字分别与第二个乘数的每个数字相乘，将乘积依次填在相应的格子中：十位数字填在左上半格，个位数字填在右下半格，十位上没有数字用“0”补足．填完后，把斜行数字相加，并将结果写在格子外相应位置上，从左上至右下沿格子外依次写出每个数字，则乘积为．如图2，利用“格子乘法”表示两位数相乘，则代数式的值是__________． 【类型二】二进制 1．在日常生活中，我们用十进制来表示数，二进制是计算机世界的“语言”，二进制在多个领域都有着广泛应用，如计算机系统、数字通信、条形码及二维码等，十进制数与二进制数可以相互转化．如二进制中的101可以按如下方式转换为十进制：，二进制中的100可以按如下方式转换为十进制：，那么二进制数110对应的十进制数是（   ） A．3 B．6 C．8 D．10 2．计算机使用二进制，它共有两个数码．将十进制数转化为二进制，只需把该数写成若干个数的和，依次写出或即可．如，为二进制下的五位数，则十进制是二进制下的（   ） A．7位数 B．8位数 C．9位数 D．10位数 3．我们常用的数是十进制，十进制数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．如十进制在电子计算机中用的是二进制，只要2个数码：0和1．如二进制，相当于十进制数中的6；二进制，相当于十进制数中的53．(注意：非零有理数的零次幂都为1即，二进制中的1011等于十进制中的数是________． 【类型三】程序流程图 1．小明在自学了简单的电脑编程后，设计了如图的程序.若一次性输出的数是，则执行了程序后，输入的结果是（    ） A． B． C．或 D．或 2．如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 【类型四】新定义运算 1．定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，；按上述定义计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 3．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______． 【类型五】算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，3，2，7，请你列出一个“24点”算式：______． 【类型六】有理数的圈次方 1．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：________， =________． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； B．对于任何正整数n，； C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． =________；=_________；=_______ (4)想一想∶的圈次方写成幂的形式等于 ． (5)算一算： 2．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作读作：“的圈4次方”．一般地，把个非零有理数相除，记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方， 乘方幂的形式 探索发现：有理数的圈次方写成幂的形式： ； 计算： 3．【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1： C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→→乘方幂的形式 （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算： 【类型七】绝对值中的最值问题 1．【问题提出】的最小值是多少? 【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示： （1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1． （2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1． （3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，有最小值1． 【问题解决】 (1)请求出方程中的x：； (2)的几何意义是_________，请你结合数轴探究：的最小值是_____； (3)请你结合数轴探究：的最小值是_____，并在图④的数轴上描出得到最小值时所在的位置，由此可以得出的值为_____． 2．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是 ，数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则 ①若，那么a的值是 ； ②当 时，有最小值，最小值是 ； ③有最小值，最小值是 ； ④求的最小值． 3．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为．所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 发现问题：代数式的最小值是多少？ 探究问题：如图，点，，分别表示的是，，，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． （1）解决问题，的值是 ． （2）的最小值是 ． （3）若的最小值是，则的值为 ．    拓展提升： （4）的最小值是 ，最大值是 ． （5）的最小值是 ． （6）若的最小值是，则的值是 ． （7）若，且为整数，则的值为 ． （8）若，则的值为 ． 【类型八】数列求和(错位相减) 1．根据乘方的定义，我们可以写出以下等式： ， ， ， … 利用上述规律，回答下列问题： (1)填空：______； (2)计算：； (3)类比上述规律，我们也可以探索底数为3的幂的类似运算： …， …， …， … 通过探索，我们发现______；（用含n的代数式表示） (4)计算：． 2．观察下列各式：①； ②； ③； … (1)请你找规律，写出第n个等式为 ； (2)计算：； (3)计算：． 3．【阅读】求值． 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由得：， 即： 【运用】仿照此法计算： （1）； （2）． 【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2024次，依次得到小正方形． 完成下列问题： （3）求正方形的面积和． 【类型九】数轴动点求t ( 含新定义) 1．某数学小组在一张白纸上画了一条数轴，点M，A，B，N依次为数轴上从左至右的四个点，且点M，N到原点O的距离均为10，A，B两点之间的距离为7．点P从点M出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向终点N移动，设点P的移动时间为秒． 操作一：（1）以点P为折点，折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，此时 ，则表示的点与表示 的点重合； 操作二： （2）当时，以点P为折点，折叠纸面． ①表示5的点与数轴上的点C重合，求点C表示的数； ②若A，B两点折叠后重合，求A，B两点表示的数； 操作三： （3）以点P为折点，折叠纸面． ①若折叠后M，N两点之间的距离为6，求此时点P所表示的数； ②当P从原点开始，沿数轴向右移动秒后再折叠纸面，试求点M，N之间的距离与t的关系． 2．已知数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为秒．如图，若用，，分别表示点与点，点，点之间的距离，试回答以下问题． (1)运动秒时， ， ， ； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示点与点，点，点之间的距离： ， ， ； (3)经过几秒后，点到点，点的距离相等此时点表示的数是多少 (4)如图，当动点从点出发以单位秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位秒速度向左运动，，两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的，使，两点到点的距离相等．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【类型十】绝对值“1”与“-1”分类 1．“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数满足，求的值． 解：由题意得：三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当都是正数，即，，时， 则：； ②当有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上：的值为或． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知是有理数，当时，求的值． (2)已知是有理数，，，求的值． 2．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 3．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，则_____；当时，则______；当时，则______． (2)若，求的值． (3)若，且，请分析的正负性，并求出的值． 1．（25-26九年级下·湖南邵阳·阶段检测）王老师本月体重较上月减少了，记作，的绝对值为（     ） A． B．2 C． D． 2．（25-26九年级下·云南曲靖·阶段检测）中国海军共有七艘以云南地名命名的舰艇，其中888抚仙湖号综合补给舰，于2007年服役．满载排水量：15000吨左右，数据15000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 4．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·福建莆田·阶段检测）微信钱包零钱明细收入100元记作元，那么支出65元记作________元． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）比较大小．（填“>”“<”或“=”） （1）______；         （2）______． 7．（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）如图，已知点，，在数轴上对应的数分别是，，，小明通过探究得到如下结论：①若，则；②若，则；③若，则原点一定在点的右侧；④．其中正确的结论是________．（填写序号） 8．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）把各数填到相应的集合中，，，，，，，． 分数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 非负整数集合：{ …}． 9．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 10．（25-26六年级下·黑龙江绥化·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 1．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一袋大米的包装上标有“净重”的字样，表示它最轻是（   ）． A． B．5 C． D．6 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨四月份的某天，中午最高气温达到之后，直到第二天凌晨气温下降了，则第二天凌晨的气温是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北保定·期中）（） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·上海金山·期中）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 6．（25-26六年级下·四川成都·期中）在如图的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为，，则第4次输出的结果为__________． 7．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 8．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 9．（25-26七年级上·福建漳州·期中）当前电商直播销售火爆，许多农户采用直播销售的方式进行营销．小明把自家种的柚子进行直播销售，计划每天销售500千克，实际每天的销售量超过计划量记为正，不足记为负．下表是小明第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值（单位：千克） (1)小明这一周实际销售柚子的总量达到计划量了吗？请说明理由． (2)若小明按6元/千克进行柚子销售，成本为元/千克，且平均运费为1元/千克，则小明这一周销售柚子的收益一共多少元？ 10．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）【问题背景】已知数轴上有不重合的三个点A、B、C，点A表示的数为，点B与点A到原点的距离相等，点C在原点的左侧，且到点B的距离为7． 【问题初现】（1）求点B、C表示的数； 【问题推广】（2）假设动点M、N分别从点B、C同时出发相向而行，动点M的速度为每秒2个单位长度，动点N的速度为每秒1个单位长度，当动点M与动点N距离为1个单位长度时，设运动时间为t，求动点M与动点N相遇前的时间t及此时动点M表示的数； 【拓展提升】（3）在数轴上，有一个动点P，从点A出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点A出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点，向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点，……，按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，求点表示的数，并说明理由． 1．（25-26七年级下·全国·期末）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西河池·期末）居民生活用水通常按户计费，下表是我县居民生活用水的收费标准（户口不超过5人），称这样的收费方式为阶梯计价．冬冬家有4个人，2025年12月的用水量为48立方米，则冬冬家12月应交水费为（   ） 天峨县城区供水价格表 一、居民生活用水 价格（元） 第一阶梯：月用水量立方米/户 3.99 第二阶梯：35立方米/户<月用水量立方米/户 5.44 第三阶梯：月用水量立方米/户 6.88 A．191.52元 B．210.37元 C．261.12元 D．330.24元 3．（24-25七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数中，负有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，数轴上的刻度对应不同城市的时区（单位：时），规定数轴正方向为东，时区数值越大表示当地时间越早，各城市对应的时区如图所示．则北京时间2026年1月5日20时对应的4个城市的时间中，正确的是（   ） A．巴黎时间2026年1月5日14时 B．伦敦时间2026年1月5日12时 C．纽约时间2026年1月5日6时 D．首尔时间2026年1月5日19时 5．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 6．（25-26六年级上·山东东营·期末）定义一种新运算*，规定运算法则为：(，均为整数，且)．例：，则_______． 7．（25-26七年级上·山东青岛·期末）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，，，，，这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，，已填入如图所示的位置，则______ 8．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）古埃及与我国一样拥有着悠久恒远的古老文明．在古埃及为解决一碗食物分给多个人的生活问题，古埃及人发明了“埃及分数”，如写作，写作，符号中的“碗”代表分子1，“竖线”代表分母．但同时由于书写的方式，使得古埃及人对于分子不为1的分数难以表达．如需写作＋，即．现在请你帮助古埃及人用多个分数相加的方式表示出以下分数（括号内均填入不同的正整数）． (1)； (2)小明在探究时发现，可以尝试选择分母的因数对原来的分子进行拆分，再利用分数的基本性质化简后即可得到所需分数．如：． 根据以上方法，请尝试表示： ①（填写两组不同答案） ②． 9．（25-26七年级上·浙江金华·期末）研究新定义的有理数运算“☆”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； ②；；；； ③；；；；． (1)【归纳法则】补全“☆”运算的运算法则： ①同号两数进行“☆”运算，结果为两数差的绝对值； ②异号两数进行“☆”运算，结果为_______； ③特别地，0和任何数进行“☆”运算，或任何数和0进行“☆”运算，结果为________． (2)【应用法则】计算：． (3)【拓展延伸】探究结合律是否成立？_______． A．成立     B．不成立 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 学科网（北京）股份有限公司 $